习题1.1
5..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立. Hint:
根据除法的定义不难证明:
? 如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;
? 如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.
对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。
数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。故gcd(m,n)=gcd(n,r)
6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次? Hint:
对于任何形如0<=m gcd(m,n)=gcd(n,m) 并且这种交换处理只发生一次. 7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次) b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次) gcd(5,8) 习题1.2 1.(农夫过河) P—农夫 W—狼 G—山羊 C—白菜 2.(过桥问题) 1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒 4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数) 算法Quadratic(a,b,c) //求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法 //输入:实系数a,b,c //输出:实根或者无解信息 1 If a≠0 D←b*b-4*a*c If D>0 temp←2*a x1←(-b+sqrt(D))/temp x2←(-b-sqrt(D))/temp return x1,x2 else if D=0 return –b/(2*a) else return “no real roots” else //a=0 if b≠0 return –c/b else //a=b=0 if c=0 return “no real numbers” else return “no real roots” 5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法 a.用文字描述 b.用伪代码描述 解答： a.将十进制整数转换为二进制整数的算法 输入：一个正整数n 输出：正整数n相应的二进制数 第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n 第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步 第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出 b.伪代码 算法 DectoBin(n) //将十进制整数n转换为二进制整数的算法 //输入：正整数n //输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中 i=1 while n!=0 do { Bin[i]=n%2; n=(int)n/2; i++; } while i!=0 do{ print Bin[i]; i--; } 9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进. 算法 MinDistance(A[0..n-1]) //输入:数组A[0..n-1] //输出:the smallest distance d between two of its elements 2 习题1.3 1. 考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去. a.应用该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序 b.该算法稳定吗? c.该算法在位吗? 解: a. 该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序的过程如下所示: b.该算法不稳定.比如对列表‖2,2*‖排序 c.该算法不在位.额外空间for S and Count[] 4.(古老的七桥问题) 3 习题1.4 1.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i个元素(1<=i<=n) b.删除有序数组的第i个元素(依然有序) hints: a. Replace the ith element with the last element and decrease the array size of 1 b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the ith position is empty. (―lazy deletion‖) 第2章 习题2.1 7.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n)∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解: a. 这个断言是正确的。它指出如果t(n)的增长率小于或等于g(n)的增长率，那么 g(n)的增长率大于或等于t(n)的增长率 由 t(n)≤c·g(n) for all n≥n0, where c>0 1 则：()t(n)?g(n) for all n≥n0 cb. 这个断言是正确的。只需证明?(?g(n))??(g(n)),?(g(n))??(?g(n))。 设f(n)∈Θ(αg(n)),则有： f(n)?c?g(n) for all n>=n0, c>0 f(n)?c1g(n) for all n>=n0, c1=cα>0 即：f(n)∈Θ(g(n)) 又设f(n)∈Θ(g(n)),则有：f(n)?cg(n) for all n>=n0,c>0 f(n)?c??g(n)?c1?g(n) for all n>=n0,c1=c/α>0 4