习 题 一
1．下列随机试验各包含几个基本事件？
（1）将有记号a,b的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个一个地放入盒中；a球可放入的任一个，其放法有 C3?3 种，b球也可放入三个盒子的任一个，其放法有C3?3 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为C3?C3?9种。 （2）观察三粒不同种子的发芽情况。
解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有C2?C2?C2?8种不同情况。 （3）从五人中任选两名参加某项活动。
解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，
所以此试验的基本事件个数 n?C5?10。
（4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。
解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，?n?101。 （5）将a,b,c三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。
解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一个一个放入盒子内（按要求）。a球可放入三个盒子中的任一个有C3?3种方法。b球因为试验要求每只盒子只装一个球，所以a球放入的盒子不能再放入b球，b球只能放入其余（无a球 的盒子）两个中任一个，其放法有C2?2个。c只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为
11C3?C2?1?6种。
12111111112． 事件A表示“五件产品中至少有一件废品”,事件B表示“五件产品都是合格品”，则A?B,AB各表示什么事件？A、B之间有什么关系？
解： 设Ak?“五件中有k件是不合格品” B?“五件都是合格品”。此随机试验E的样本空间可以写成：S??A0,A1,A2,A3,A4,B? 而 A?A0?A1?A2?A3?A4
?A?B?S,AB??，A与B是互为对立事件。
3. 随机抽验三件产品，设A表示“三件中至少有一件是废品”，设B表示“三件中至少
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有两件是废品”，C表示“三件都是正品”，问 A,B,C,A?B,AC各表示什么事件？ 解 A?“三件都是正品”，B?“三件中至多有一件废品”，
C?“三件中至少有一件废品”， A?B?A,AC??.
4. 对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A1表示“第一次射击击中飞机”，A2表示“第二次射击击中飞机”，试用A1,A2及它们的对立事件表示下列各事件:
B?“两弹都击中飞机”； C?“两弹都没击中飞机” D?“恰有一弹击中飞机”； E?“至少有一弹击中飞机”。并指出B,C,D,E中哪些是互不相容，哪些是对立的。
解 B?A1A2,C?A1A2,D?A1A2?A1A2,E?A1?A2，B与C , B与D ,
D与C , C与E 是互不相容的，C与E是相互对立的。
5． 在某班任选一名学生。记A?“选出的是男生”;B?“选出的是运动员”; C?“选出的是北方人”。问：（1） ABC,ABC各表示什么事件？
（2）C?B,AB?C 各表示什么意义。（3）在什么条件下，ABC?A.
解 （1）ABC=“选出的是南方的不是运动员的男生”。 （2） C?B表示该班选出北方的学生一定是运动员。
AB?C 表示选出的不是运动员的男生是南方的。（3） 当 A?BC 时 ABC?A。
6、 设 A1,A2,A3,A4是四个随机事件，试用这几个事件表示下列事件： （1） 这四个事件都发生； （2） 这四个事件都不发生；
（3） 这四个事件至少有一个发生； （4）A1,A2 都发生，而A3,A4都不发生； （5） 这四个事件至多一个发生。 （6） 这四个事件恰有一个发生。 解 （1）A1A2A3A4; （2）A1A2A3A4; （3）A1?A2?A3?A4; （4）A1A2A3A4; （5）A2A3A4?A1A3A4?A1A2A4?A1A2A3; (6) A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4;
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7． 从一副扑克牌（52张，不计大小王）中任取4张，求取得4张花色都不相同的概率。 解 从52张牌中任取4张共有情况C52种，每一种情况看作每一种基本事件，所以此试验的样本空间中基本事件的个数n?C52。设事件 A?“任取的4张花色都不相同”，
44A中包含的基本事件个数K可以用乘法原理求， 事件A完成要从四种花色中各取一张，
k134故 k?13, P(A)??4?0.1055
nC5248． 某房间里有4个人，设每个人出生于1月至12月中每一个月是等可能的。求至少有1人生日在10月的概率。
解 设事件A?“至少有1人生日在10月” A?“4个人生日都不在10月”
?11?P(A)?1?P(A)?1????1?0.7?0.3
?12?9． 袋中有10只形状相同的球，其中4只红球，6只白球，现从袋中一个接一个地任意取球抛掷出去，求第3次抛掷的是红球的概率。
解 此随机试验E为：从袋中每次任取一球，不放回地连取三次，相当于从10只球中任取3只排列在三个不同的位置上，其不同的排列数为P10,即其基本事件共有n?P10个, 设事件 “第三次抛掷的是红球”所包含的基本事件个数k求法如下：首先事件A表示第三次抛掷的是红球，即第三个位置应放红球，可从4个红球中任取一个放入，共有C4种放法；前两个位置任从剩下的9个球中取两个放在不同的位置，其放法有P9种。由乘法原理可知
24331k?CP1249
12P9kC42?P(A)??? 3n5P1010． 将一枚硬币连续抛掷10次，求至少有一次出现正面的概率。 解 设事件 A?“至少出现一次正面” ， A?“全不出现正面”
若一枚硬币连续——10次，每次有正、反两种情况，所以随机试验E的基本事件个数
n?210，A所包含的基本事件个数 k?1. 则P(A)?1?P(A)?1?新球2只旧球的概率。
3
k1?1?10?0.999 n211． 盒中有10个乒乓球，其中6只新球，4只旧球。今从盒中任取5只，求正好取得3只
解 从盒中10只球任取5只的取法共有C10种，即为此随机试验的基本事件的个数，
5?n?C10. 设事件A?“正好取得3只新球2只旧球”
35事件A所包含的基本事件的个数k的考虑方法：先从6只新球中任取3只，其取法有C6种；再从4只旧球中任取2只，其取法有C4种。由乘法原理得 k?C6C4,
32C410kC6??0.476 ?P(A)??5n21C1023212.10件产品中有6件正品，4件次品。甲从10件中任取1件（不放回）后，乙再从中任取1件。记A? “甲取得正品”；B?“乙取得正品”。求P(A),P(B/A),P(B/A).
解 求P(A)的问题是甲从10个球中任取1球，其方法有10种，事件A是甲取得1件是正品，只能从6件正品中任取1件，所以取法是6种。?P(A)?63? 105求 P(B/A)问题是在甲取得一件正品的条件下不放回，求乙再任取一件是正品的概率， 样本空间?1是：甲从10件产品中取出一件正品后，再从剩下的9件产品中任取1件的问题。此时基本事件个数 m?C9?9,在此?1中正品是5件，事件B包含的基本事件个数
15，求P(B/A)的问题可用上面两种方法，所不同的是 A?“甲962取得一件是次品”， P(B/A)??
93k1?5. ?P(B/A)?13． 甲、乙两城市位于长江下游，据气象资料知道：甲、乙两城市一年中雨天的比例分别是20％和18％，两地同时下雨的比例为12％：
（1）已知乙市为雨天，求甲市也是雨天的概率；（2）已知甲市为雨天，求乙市也是雨天的概率；（3）求甲、乙两市至少有一城市为雨天的概率。
解 设事件 A?“甲市为雨天”; 事件 B?“乙市为雨天”。则 P(A)?0.20P(B)?0.18P(AB)?0.12 所求的问题： （1）P(A/B)?P(AB)0.122P(AB)0.123???0.67;???0.6; （2） P(B/A)?P(B)0.183P(A)0.205（3）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.2?0.18?0.12?0.26
14． 甲袋中有3个白球，7个红球，15个黑球；乙袋中有10个白球，6个红球，9个黑
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球。今从两袋中各任取一球，求下列事件的概率。
（1） 事件A?“取得2个红球”; （2） 事件 B?“取得的两球颜色相同” 解 (1) 随机试验为从甲袋25个球中任取1球，从乙袋25个球任取1个，其基本事件总数 n?C25C25?625. 由乘法原理知道事件A包含的基本事件个数
11k?C7C6?7?6?42.?p(A)?11k42. ?n625用 A1,A2,A3分别表示从甲袋取得白球、红球、黑球；用 B1,B2,B3分别表示从乙袋取得白球、红球、黑球。则 A?A2B2。
?A2与 B2相互独立。?P(A)?P(A2)P(B2)?7642 ??2525625（2） ?B?A1B1?A2B2?A3B3 Ak与 Bk(k?1,2,3)相互独立, 且
A1B1,A2B2,A3B3三种情况互不相容，
则 P(B)?P(A1B1)?P(A2B2)?P(A3B3)?P(A1)P(B1)?P(A2)P(B2)?P(A3)P(B3)
?31076159207 ??????25252525252562515. 制造某种零件可以采用两种不同的工艺：第一种工艺要经过三道工序，经过各道工序时出现不合格品的概率分别为 0.1,0.2,0.3；第二种工艺只要经过两，道工序，但经过各道工序时出现不合格品的概率均为0.3。如果采用第一种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.9, 而采用第二种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.8。试问采用何种工艺获得一级品的概率较大。（注：各道关系出现不合格品时相互独立的） 解 设事件A?“采用第一种工艺获得一级品”;事件B?“采用第二种工艺获得一级品”; 第一种工艺经过三道工艺，第k道工序出合格品事件记为Ak由题设知道：P(A1)?1?P(A1)?1?0.1?0.9.
(k?1,2,3),
P(A2)?1?P(A2)?1?0.2?0.8. P(A3)?1?P(A3)?1?0.3?0.7.
第二种工艺二道工序，第k道工序出合格品的事件记为 Bk由题设知道： P(B1)?1?P(B1)?1?0.3?0.7?P(B2).
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(k?1,2).
P(A)?P(A1A2A3)?0.9?P(A1)P(A2)P(A3)?0.9?0.9?0.8?0.7?0.9?0.45
P(B)?P(B1B2)?0.8?P(B1)P(B2)?0.8?0.7?0.7?0.8?0.39
所以采用第一种工艺获得一级品的概率较大。
16．一箱产品共100件，其中有5件有缺陷，但外观难区别，今从中任取5件进行检验。按规定，若未发现有缺陷产品，则全箱判为一级品；若发现一件产品有缺陷，则全箱判为二级品；若发现两件以上有缺陷，则全箱视为次品。试分别求该箱产品被判为一级品（记为A），二级品（记为B）,次品（记为C）的概率。
解 随机试验E是100件产品任取5件，其基本事件的个数 n?C100。
事件A包含的基本事件个数nA求法是：从95件没缺陷的产品取5件的个数nA?C95
5nAC95?P(A)??5?0.76
nC10055事件B包含的基本事件个数nB求法：从5件有缺陷的产品中任取一件，个数为C5,再从95件无缺陷的产品中任取4件，个数为 nB?C5C95，由乘法原理知P(B)?141nB?0.22 n?C?A?B P(C)?P(A?B)?P(A)?P(B) (因为A,B互不相容)
P(C)?1?P(C)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?1?0.76?0.22?0.02
17．车间内有10台同型号的机床独立运转，已知在1小时内每台机床出故障的概率为 0.01，其在1小时内正好有3台机床出故障的概率。
解 此问题是独立重复试验问题。 设事件A? “10台机床中任3台出故障”，
3P(A)?C10(0.01)3(0.99)7?0.0001
18． 据医院经验，有一种中草药对某种疾病的治疗效果为0.8。现在10人同时服用这种中草药治疗该疾病，求至少对6人有疗效的概率。 解 设事件A? “至少对6人有疗效”,P(A)??Ck?610k100.8k0.210?k?0.967
19．加工某产品需经过两道工序，如果经过每道工序合格的概率为0.95，求至少有一道工序不合格的概率。
解 设事件A?“至少有一道工序不合格”; A?“两道工序后都合格”.
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P(A)?1?P(A)?1?0.952?0.0975
20． 已知 P(A)?0.2,（1） P(AB),(3) P(A/B),P(B)?0.45,P(AB)?0.15 求：
P(AB)P(AB); (2) P(A?B),P(A?B),P(A?B); P(B/A),P(A/B).
解 (1) P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0.05;
P(AB)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)?0.3; P(AB)?1?P(A?B)?1?0.5?0.5.
(2) P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.2?0.45?0.15?0.5
P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.8?0.15?0.95 P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?0.85. (3) P(A/B)?P(AB)0.151??;
P(B)0.453P(B/A)?P(AB)0.051P(AB)0.153??. ??; P(A/B)?0.5511P(A)0.24P(B)21、 某气象台根据历年资料，得到某地某月刮大风的概率为概率为
11，在刮风的条件下下雨的307。求即刮风又下雨的概率。 8解 设事件A?“某地某月刮大风”; B? “某地某月下雨”.
11777 P(AB)?P(A)P(B/A)? ?30824022． 10个零件中有7个正品，3个次品。每次无放回地随机抽取一个来检验，求： （1）第三次才取到正品的概率；（2）抽三次至少有一个正品的概率。
解 设事件A? “第三次才取到正品”,因为第三次才取到正品，前两次取得的是次品，
?P(A)?3277 ???1098120 B? “抽三次至少有一个正品”， B?“抽三次全是次品”
P(B)?1?P(B)?1?321119 ???10981207
23．一个工人看管三台机床，在1h内机床不需要工人照管的概率：第一台为0.9，第二台
为0.8，第三台为0.7。求在1h内（1）三台机床都不需要工人照管的概率；（2）三台机床中最多有一台需要工人照管的概率。
解 设事件 Ak=“第k台机床不用照管” (k?1,2,3) （1）P(A1A2A3)?0.9?0.8?0.7?0.504 (2)
设事件 B?“三台中最多有一台需要照管”每台机床都是相互独立的。
P(B)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?0.504?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.902
24．有两个电路如图1-24所示，每个开关闭合的概率都是p，诸开关闭合与否彼此独立，分别求两电路由a至b导通的概率。
（1） k1 k2
a k3 b
k1 k3 k5
（2）a b
k2 k4 k6 解 记 Ak?｛第k个开关闭合｝ k?1,2,3,4,5,6
（1）（a至b导通）?A1A2?A3 ， 两事件A1A2与A33 是相容的。
P（a至b导通）?P(A1A2)?P(A3)?P(A1A2A3)
?P(A1)P(A2)?P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P2?P?P3
（a至b导通）?(A1?A2)(A3?A4)(A5?A6) Ai与Aj 是相容的，
(A1?A2)、(A3?A4)、(A5?A6)是相互独立的，且概率相同。
8
P（a至b导通）?P?(A1?A2)(A3?A4)(A5?A6)??[P(A1?A2)]3
?[P(A1)?P(A2)?P(A1A2)]3?[P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2)]3 ?(p?p?p2)3?(2p?p2)3
25．大豆种子保存于甲仓库，其余保存于乙仓库，已知它们的发芽率分别为0.92和0.89，现将两个仓库的种子全部混合，任取一粒，求其发芽率。
解 设事件 A1?“大豆种子保存于甲仓库”; A2?“大豆种子保存于乙仓库”; B=“取到的一粒种子发芽” 由题意可得
2523 ， P(A2)? ， 由全概公式得： 5523P(B)?P(A1)P(B/A1)?P(A2)P(B/A2)??0.92??0.89?0.902
55P(A1)?26．有三个盒子，在甲盒中装有2支红芯圆珠笔，4支蓝芯圆珠笔；乙盒中装有4支红的，2支蓝的；丙盒中装有3支红的，3支蓝的。今从中任取一支（设到三个盒子中取物的机会相同），问取到红芯圆珠笔的概率是多少？
解 设事件A1? “笔取于甲盒”;A2? “笔取于乙盒”; A3?“笔取于丙盒”;
B?“取到的是红圆珠笔” ,由题意可得P(A1)? 由全概公式得：
111， P(A2)?， P(A3)? 33311211P(B)?P(A1)P(B/A1)?P(A2)P(B/A2)?P(A3)P(B/A3)?(??)?
3332227．射击队里有编号为1,2,3,4,5的五名射手，其射击命中率分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9。今从该队任选一名射手对靶射击一次。（1）求命中目标的概率；（2）已见命中目标，求选取的是1号射手的概率。
解 记AK?“选取第k号射手” k?1,2,3,4,5 .B? “命中目标”,
B的发生可能是第一号射手击中目标，可能是第二号射手击中目标，?，可能是第五号射
手击中目标，即P(B)??P(A)P(B/A)。 求P(B)用全概公式。
kkk?15P(B)??P(Ak)P(B/Ak)?k?1n11111?0.5??0.6??0.7??0.8??0.9?0.7 555559
问题是求已知目标被击中恰好是一号射手击中目标的概率即P(A1/B).由贝叶斯公式：
P(A1/B)?P(A1)P(B/A1)0.1??0.143
P(B)0.728．转炉炼高级钢，每炉钢的合格率为0.7，假定各次冶炼互不影响，若要求以99%的把握至少能炼出一炉合格钢，问至少需要炼几炉？
解 设至少炼了n 炉才能以99％的把握炼出合格的钢。
事件 Ai?“炼出的一炉是合格的” Ai?“炼出的一炉是不合格的”i?1,2,?n。 事件B? “炼出合格的钢” ， P(Ai)?0.7,P(Ai)?0.3
P(B)?P(A1?A2???An)?1?P(A1A2?An) ?1?P(A1)PA2)?P(An)?1?0.3n?0.99
1?0.3n?0.99 ， 0.3n?0,01 ， n?ln0.01?4。 所以必须炼4炉。
ln0.329．甲盒中有两只白球，一只黑球，乙盒中有一只白球，五只黑球。求从甲盒中任取一球投入乙盒后，随机地从乙盒取出一球而恰为白球的概率，求从甲盒中取得的是白球的概率。 解 设事件A1? “从甲盒中取出的是白球”； A2? “从甲盒中取出的是黑球”； B?“从乙盒中取出的是白球” 由题意可得
2121 ， P(A2)? ， P(B/A1)?P(B/A2)? 337722115P(B)?P(A1)P(B/A1)?P(A2)P(B/A2)?????
373721P(A1)?P(A1/B)?P(A1)P(B/A1)4?
P(B)530、一猎人用猎枪向一只野兔射击，第一枪距离野兔200m远，如果未击中，他追到距野兔150m远处再进行第二次射击，如果仍未击中，他追到距野兔100m远处再进行第三次射击，此时击中的概率为击中野兔的概率。
解 设 p1,p2,p3分别表示3次击中的概率，且p3?1。如果这个猎人射击的击中率与他到野兔的距离平方成反比，求猎人21k，由已知得pi?2，i?1,2,3. 2r10
k?112?1002?1502p2?2002p1，解得 p1?,p2?。 289设事件Ak? “第k抢击中”； (k?1,2,3), B?“击中”.
P(B)?P(A1?A1A2?A1A2A3)?P(A1)?P(A1A2)?P(A1A2A3)
1?P(A1)P(A2/A1)?P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)817277195?????????0.6597 88989214417795或 P(B)?1?P(A1A2A3)?1? ?289144?11