中考二次函数压轴题———解题通法研究

二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题，在成都，绵阳，泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选内容。我通过近６年的研究，思考和演算了上1000道二次函数大题，总结出了解决二次函数压轴题的通法，供大家参考。

几个自定义概念：

① 三角形基本模型：有一边在X轴或Y上，或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。

② 动点（或不确定点）坐标“一母示”：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵”。如：动点P在y=2x+1上， 就可设 P（t, 2t+1）.若动点Ｐ在ｙ＝3x?2x?1，则可设为Ｐ（ｔ，3t22?2t?1）当然

若动点M 在X轴上，则设为（t, 0）.若动点M在Ｙ轴上，设为（０，ｔ）．

③ 动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。

④ 动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。

⑤ 定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。

⑥ 定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。如：ｙ＝３ｘ－６。 ⑦ X标，Y标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x标，纵坐标称为y标。

⑧ 直接动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的。

1.求证“两线段相等”的问题：

借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；

然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x轴（y轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。

２、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：

由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高

低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式

y上-y下，把动线段的长度就表示成为一个

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自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。

3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题： 先用点斜式（或称K点法）求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。

4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题：

（方法1）先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式（注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率（k）相等），再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二

次方程，由题有△=b-4ac=0（因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以b-4ac=0）从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。

（方法2）该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。

（方法3）先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。

5.常数问题：

（1）点到直线的距离中的常数问题：

“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：

先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

（2）三角形面积中的常数问题：

“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：

先求出定线段的长度，再表示出动点（其坐标需用一个字母表示）到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

（3）几条线段的齐次幂的商为常数的问题：

用K点法设出直线方程，求出与抛物线（或其它直线）的交点坐标，再运用两点间的距离公式和根与系数的关系，把问题中的所有线段表示出来，并化解即可。

6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题：

先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最

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小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出（利用求交点坐标的方法）。

7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题：

① “在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题（简称“一边固定两边动的问题）：

由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度可利用两点间距离公式计算），只需另两边的和最小即可。

② “在抛物线上是否存在一点，使之到定直线的垂线，与y轴的平行线和定直线，这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题（简称“三边均动的问题）：

在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形，在动点坐标一母示后，运用

C动斜边动，把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解。 =C定斜边定

8.三角形面积的最大值问题：

① “抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题（简称“一边固定两边动的问题”）：

(方法1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法，

求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式

1 底·高。2即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。

（方法2）过动点向y轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后，进一步可得到

题来求出最大值。

② “三边均动的动三角形面积最大”的问题（简称“三边均动”的问题）： 先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形）面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似（常为图中最大的那一个三角形）。利用相似三角形的性质（对应边的比等于对应高的比）可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。

9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”： 由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。

10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案： 方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和； 方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）

1S动三角形?(y上（动）-y下（动）)?（x右（定）-x左（定））2，转化为一个开口向下的二次函数问

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11.“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：

（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。

（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。

一个定三角形和动三角形相似： （1）已知有一个角相等的情形：

先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（一母示），然后把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。

（2）不知道是否有一个角相等的情形：

这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。

１2.、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题： 首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。

１3、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：

这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。

进一步有：

① 若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。

② 若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。

③ 若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。

１4、“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：（此

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为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。）

先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。

１5、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：

若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标（一母示），视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线（没有与y轴平行的直线）垂直的斜率结论（两直线的斜率相乘等于-1），得到一个方程，解之即可。

若夹直角的两边中有一边与y 轴平行，此时不能使用斜率公式。补救措施是：过余下的那一个点（没在平行于y轴的那条直线上的点）直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。

１6、“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。 ① 若定点为直角顶点，先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式（如斜率不存在，根据定直角点，可以直接写出另一直角边所在直线的方程），利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否？若等，该交点合题，反之不合题，舍去。

② 若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式，再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率，把这两个斜率相乘，看其结果是否为-1？若为-1，则就说明所求交点合题；反之，舍去。

１7、“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题： 题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。

18.“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下，题中又含有某动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或线段长”的问题：

（此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，本类型实际上是前面14的特殊情形。）

先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形（有一边在x轴或ｙ轴上，或者有一边平行于x轴或y轴）面积的和或差，设出相关点的坐标（一母示），按化分后的图形建立一个面积关系的方程，解之即可。一句话，该问题简称“单动问题”，解题方法是“设点（动点）标，图形转化（分割），列出面积方程”。

19.“在相关函数解析式不确定（系数中还含有某一个参数字母）的情况下，题中又含有动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或参数的值”的问题：

此为“双动问题”（即动解析式和动图形相结合的问题）。 如果动图形不是基本模型，就先把动图形的面积进行转化或分割（转化或分割后的图形须为基本模型），设出动点坐标（一母示），利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程（或方程组）。解此方程，求出相应点的横坐标，再利用该点所在函数图象的解析式，表示出该点的纵坐标（注意，此时，一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式，这样会把所有字母消掉）。再注意图中另一个点与该点的位置关系（或其它关系，方法是常由已知或利用（2）问的结论，从几何知识的角度进行判断，表示出另一个点的坐标，最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式，得到仅含一个字母的方程，解之即可。如果动图形是

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基本模型，就无须分割（或转化）了，直接先设出动点坐标（一母式），然后列出面积方程，往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同。一句话，该问题简称“双动问题”，解题方法是“转化（分割），设点标，建方程，再代入，得结论”。

常用公式或结论：

（1）横线段的长 = 横标之差的绝对值 = 纵线段的长=纵标之差的绝对值=（2）点轴距离：

点P（x0 ，y0）到X轴的距离为y0，到Y轴的距离为xo。 （3）两点间的距离公式： 若A（x1,y1）,B(x2,y2), 则 AB=

x大-x小=x右-x左

y大-y小=y上-y下

(x1?x2)2?(y1?y2)2

（4）点到直线的距离：

点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便计算)的距离为：

d?Ax0?By0?CA?B22

d?或

（5）中点坐标公式:

kx0?y0?b1?k2 若A(x1,y1)，B（x2,y2），则线段AB的中点坐标为（（6）直线的斜率公式：

若A（x1,y1），B（x2,y2）x1?x2x1?x2y1?y2） ,22，则直线AB的斜率为：

kAB=y1?y2,x1?x2x1?x2,?注：当x1?x2时，直线AB与y轴平行，斜率不存在?

（7）两直线平行的结论：

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已知直线l1:① 若l1② 若1y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2;

l2?k1?k2;

k?k2,且b1?b2?l1l2

（8）两直线垂直的结论： 已知直线1① 若l1l:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2;

?l2?k1.k2??1;

② 若1k.k2??1?l1?l2.

已知点的坐标或线段的长度中若含有2、3等敏感数字信息，那很可能有特（9）由特殊数据得到或猜想的结论：

①

殊角出现。

② 在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决。

③ 还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率K的值，若K=?003，则直线3与X轴的夹角为30；若K=?1；则直线与X轴的夹角为45；若K=?3，则直线与X轴的夹角为60。这对计算线段长度或或点的坐标或三角形相似等问题创造条件。

二次函数基本公式训练：

_______________破解函数难题的基石

（1）横线段的长度计算：【特点：两端点的y标相等，长度=x大-x小】。 ① 若A（2,0），B（10,0），则AB=————。

② 若A（-2,0），B（-4,0），则AB=————。

③ 若M（-3,0），N（10,0），则MN=—————。

④ 若O（0,0），A（6,0），则OA=——————。

⑤ 若O（0,0），A（-4,0），则OA=——————。

⑥ 若O（0,0），A(t,0),且A在O的右端，则OA=——。

⑦ 若O（0,0），A(t,0),且A在O的右端，则OA=——。

0

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⑧ 若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端，则AB=——。

⑨ 若A（4t,m）,B(1-2t,m),且B在A的左端，则AB=——————。 ⑩ 若P（2m+3,a）,M(1-m,a),且P在B的右端，则PM=——————。

注意：横线段上任意两点的y标是相等的，反之y标相等的任意两个点都在横线段上。

（2）纵线段的长度计算：【特点：两端点的x标相等，长度=

y大-y小】。

① (若A(0,5)，B（0,7），则AB=——————。

② 若A（0，-4），B（0，-8),,则AB=——————。

③ 若A（0,2），B（0，-6），则AB=——————。

④ 若A（0,0），B（0，-9),则AB=——————。

⑤ 若A(0,0)，B(0,-6)，则AB=——————。

⑥ 若O(0,0)，A(0,t),且A在O的上端，则OA=——。

⑦ 若O（0,0），A（0，t),且A在O的下端，则OA=——。

⑧ 若A（6，-4t),B(6,3t),且A在B的上端，则AB=——————。 ⑨ 若M（m,1-2t),N(m,3-4t),且M在N的下端，则MN=——。 ⑩ 若P（t,3n+2),M(t,1-2n),且P在M的上端，则PM=——。

注意：纵线段上任意两点的x标是相等的，反之x标相等的任意两个点都在纵线段上。

（3）点轴距离：

一个点(x标，y标）到x轴的的距离等于该点的y标的绝对值（即y轴的距离等于该点的x标的绝对值（即

y标），到

x标）。

① 点（-4,-3)到x轴的距离为————，到y轴的距离为————。

② 若点A（1-2t,t?2t?3)在第一象限，则点A到x轴的距离为————，到y轴的距离为__________。

③ 若点M（t,t?4t?3)在第二象限，则点M到x轴的距离为——————，到y轴的距离为——————。

④ 若点A（-t,2t-1)在第三象限，则点A到x轴的距离为——————，到y轴的距离为——————。

⑤ 若点N（t，?t?2t?3)点在第四象限，则点N到x轴的距离为——————，到y轴的距离为————。

⑥ 若点P（t ,t?2t?3)在x轴上方，则点Ｐ到ｘ轴的距离为——————。

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2222

⑦ 若点Ｑ（ｔ，t?2t?6）在ｘ轴下方，则点Ｑ到ｘ轴的距离为————————。 ⑧ 若点Ｄ（ｔ，t?4t?5）在ｙ轴左侧，则点Ｑ到ｙ轴的距离为————————。 ⑨ 若点Ｅ（ｎ，２ｎ＋６）在ｙ轴的右侧，则点Ｅ到ｙ轴的距离为————————。 ⑩ 若动点Ｐ（ｔ，t?2t?3）在ｘ轴上方，且在ｙ轴的左侧，则点Ｐ到ｘ轴的距离为———————，到ｙ轴的距离为————————。

11 若动点Ｐ（ｔ，t?2t?3）在ｘ轴上方，且在ｙ轴的右侧，则点Ｐ到ｘ轴的距离为————————，到ｙ轴的距离为——————。

12 若动点Ｐ（ｔ，t?2t?3）在ｘ轴下方，且在ｙ轴的左侧，则点Ｐ到ｘ轴的距离为————————，到ｙ轴的距离为————————。

13 若动点Ｐ（ｔ，t?2t?3）在ｘ轴下方，且在ｙ轴的右侧，则点Ｐ到ｘ轴的距离为————————，到ｙ轴的距离为————————。

注意：在涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标“一母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域（例如：动点Ｐ在抛物线ｙ＝x?2x?3上位于ｘ轴下方，ｙ轴右侧的图象上运动），以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围，以及点轴距离是

2222222（或y标）等于相应x标的相反数，还是其本身。

（４）中点坐标的计算：

若【Ａ（x1,y1），Ｂ（x2,y2），则线段ＡＢ的中点坐标为（① 若Ａ（－４，３），Ｂ（６，７），则ＡＢ中点为

————————。 ② 若M（0，-6），N（6，-4），则MN的中点坐标为

————————。 ③ 若P（，，Q（，），则PQ的中点坐标为 -3）

————————。

④ 若A(1,2),B(-3,4),且B为AM的中点，则M点的坐标为——————。 ⑤ 若A(-1,3),B(0,2),且A为ＢＰ中点，则Ｐ点坐标为 ——————————。

⑥ 点Ｐ（－５,０）关于直线ｘ＝２的对称点的坐标为 ————————。

⑦ 点Ｐ（６,０）关于直线ｘ＝１的对称点的坐标为__.

⑧ 点Ｐ（６,２）关于直线ｘ＝３的对称点的坐标为 ___________。

⑨ 点Ｑ（－４,３）关于直线ｘ＝－３的对称点的坐标为——————。

x1?x2y1?y2）】 ,22121132 第 9 页 共 38 页

⑩ 11 12 13 14 15

点Ｍ（－４，－２）关于直线ｘ＝２的对称点的坐标为——————。 点Ｐ（４，－３）关于直线ｘ＝－１的对称点的坐标为——————。 点Ｍ（－４,２）关于直线ｙ＝－１的对称点的坐标为————————。 点Ｔ（４，－３）关于直线ｙ＝１的对称点的坐标为————————。 点Ｑ（０，－３）关于ｘ轴的对称点的坐标为——————————。 点Ｎ（４,０）关于ｙ轴的对称点的坐标为————。

(5)由两直线平行或垂直，求直线解析式。【两直线平行，则两个k值相等；两直线垂直，则两个k值之积为-1.】

① 某直线与直线y=2x+3平行，且过点（1，-1），求此直线的解析式。

1x+1平行，且过点（2，3），求此直线的解析式。 22③ 某直线与直线y=?x?5平行，且过点（-3，0），求此直线的解析式。

31某直线与y轴交于点P（0,3），且与直线y=x?1平行,求此直线的解析式。

2④ 1⑤ 某直线与x轴交于点P（-2,0），且与直线y=?x?4平行，求此直线的解析式。

2② 某直线与直线y=?⑥ 某直线与直线y=2x-1垂直，且过点（2,1），求此直线的解析式。 ⑦ 某直线与直线y=-3x+2垂直，且过点（3,2），求此直线的解析式。

2，求此直线的解析式。 x?1垂直，且过点（2，-1）

31⑨ 某直线与直线y=?x?4垂直，且过点（1，-2），求此直线的解析式。

22⑩ 某直线与x轴交于点P（-4,0），且与直线y=?x?5垂直，求此直线的解析式。

3⑧ 某直线与直线y=(6)两点间的距离公式：

若A(x1,y1)，B（x2,y2),

则AB=(x1?x2)2?(y1-y2)2

① 若A（-2,0），B（0，3），则AB=——————。

② 若P（-2,3），Q（1，-1），则PQ=————————。

③ 若M（0,2），N（-2,5），则MN=————————。

11,00,?④ 若P（2），Q（，则PQ=————————。 3）11,?3?⑤ 若A（2),B(-1,2),则AB=——————————。

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311,?,?1⑥ 若P(42),B(4),则ＰＢ＝————————。 311,?,?1⑦ 若P(42),B(4),则ＰＢ=——————————。 121?,?,1⑧ 若P(43)，M(2)，则PM=——————。

2112?,?,?⑨ 若Ａ（53），Ｂ（53），则ＡＢ＝——————。 21?,11,?⑩ 若Ａ（3），Ｂ（，则ＡＢ＝———————。 2）

11 若Ａ（－２,０），Ｂ（３,０），则ＡＢ＝————。

12 若P(0，-4)，Q(0，-2)，则PQ=——————。

13 若P(3,0)，Q(4,0)，则PQ=——————。

14

若P(1，-4)，Q(2,0)，则PQ=——————。

（7）直线的斜率公式：【注：所谓斜率，就是一次函数y=kx+b中k的值；可由两个点

的坐标直接求得：若A( 以对应的x标之差）】

x1,y1)，B(

x2,y2)（

x1?x2y1?y2kAB?），则x1?x2，（y标之差除

第 11 页 共 38 页

例题：若A(2，-3)，B(-1,4)，则

kAB?

解：

A(2，-3)，B(-1,4)，

?(?3)?47??kAB=

2?(?1)3

① ②

若A(0,2)，B(3，0)，则kAB?————。 若A(1,-2)，B(-3，1)，则kAB?——————。

③

若M(-3,1)，N(-2，-4)，则kMN?——————。

④

若P(1，-4)，Q(-1，2)，则kPQ?

————————。

11若C(-1，1)，Q(-，-)，则kCQ?23⑤ ——————。

211若E(，-1)，F(-，-)，则kEF?332⑥ ——————。

211若M(-，-)，Q(-1，-)，则kMQ?532⑦ ————————。

231若P(-，-)，Q(-1，-)，则kPQ?344⑧ ——————。

(8)点到直线的距离公式：

点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0（为了方便计算，A,B,C最好化为整系数）的距离公式

第 12 页 共 38 页

为：

d?Ax0?By0+CA2+B2；运用该公式时，要先把一次函数y=kx+b化为一般式Ax+By+C=0

的形式（即：先写x项，再写y项，最后写常数项，等号右边必须是0）。

y?例题：求点P(2,-3)到直线

12x?23的距离。

12y?x?23化为一般式 解：先把直线

3x-6y-4=0

d?所以

3?2?6?(?3)?432?(?6)24?53

注：Ax0?By0?C的值就是把点(x0,y0)对应代入代数式Ax+By+C中。

y?kx?bkx?y?b?0或者把通过移项化为

项，最后写常数项，等号右边必须是0）。

（同样要先写x项，再写y

d?从而另解：因为

kx0?y0?b1?k2 y?12x?23，P(2,-3)

12?2?(?3)?(?)423d?=53121?()所以(注：由于系数中有分

2数，计算比较繁杂)。

①

② 求点Q（1,-4）到直线y=2x-1的距离。

求点P（-2,1）到直线y=x+2的距离

第 13 页 共 38 页

求点A（1,2）到直线y=1x-1的距离③ 2。

求点M（0,-3）到直线y=1④ 3x-1的距离。

求点P（-2,0）到直线y=1x-1的距离⑤ 24。

⑥ 求点K（-3,-2）到直线y=1-3x的距离。

求点P（-3,-1）到直线y=1x-1⑦ 23的距离。

求点P（-1,-1）到直线y=1x+1的距离⑧ 232。

求点Q（-1131⑨ 2,-3）到直线y=4x-2的距离。

求点P（-2,-331⑩ 34）到直线y=2x-4的距离。

求点N（-3,-1）到直线y=-1x+2的距离11 2323。

求点D（-231112 5,4）到直线y=2x-3的距离。

求点E（-3,-2）到直线y=3-1x的距离13 5324。第 14 页 共 38 页

在一个题中设计若干常见问题：

如图示，已知抛物线y?x2?2x?3 与y轴交于点B，与x 轴交

于C,D（C在D点的左侧），点A为顶点。 Y

Ｂ

① 判定三角形ABD的形状？并说明理由。

y?x2?2x?3

C O D X

Ａ Y 0 D x

B A 【通法：运用两点间的距离公式，求出该三角形各边的长】

第 15 页 共 38 页

② 三角形ABD与三角形 BOD是否相似？说明理由。 Y O B A

X D

【通法：用两点间的距离公式分别两个三角形的各边之长，再用相似的判定方法】

第 16 页 共 38 页

③ 在x轴上是否存在点P，使PB+PA最短？若存在求出点P的坐标，并求出最小值。若不存在，请说明理由。

Y X O B Ａ

【通法：在两定点中任选一个点（为了简单起见，常常取轴上的点），求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与余下定点相连】

④ 在y轴上是否存在点P，使三角形PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标，并求出周长的最小值;若不存在，请说明理由。

Y Ｏ D X A

【通法：注意到AD是定线段，其长度是个定值，因此只需ＰＡ＋ＰＤ最小】

第 17 页 共 38 页

⑤ 在对称轴ｘ＝１上是否存在点Ｐ，使三角形ＰＢＣ是等腰三角形？若存在，求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由。

Y C O X B x＝1

【通法：对动点Ｐ的坐标一母示（１，ｔ）后，分三种情况，若Ｐ为顶点，则ＰＢ＝ＰＣ；若B为顶点，则BP=ＢＣ；若Ｃ为顶点，则ＣＰ＝ＣＢ。分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度】。

⑥ 若平行于ｘ轴的动直线ｌ与直线ＢＤ交于点Ｆ，与抛物线交于点P，若三角形ODF为等腰三角形，求出点P的坐标. Y O X D l F P B

【通法：分类讨论，用两点间的距离公式】。

第 18 页 共 38 页

⑦

在直线BD下方的抛物线上是否存在点P，使sPBD的面积最大？若存在，求出点P

的坐标，若不存在，请说明理由。

Y O D X

?P B 【通法：SPBD1?(y上（动）-y下（动）)?（x右（定）-x左（定））】 2

⑧ 在直线BD下方的抛物线上是否存在点P，使四边形DOBP的面积最大？若存在，求出点P的坐标，并求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由。

Y

O D X ?P B

【通法：S四边形DOBP=S

DOB+SDBP或

S四边形DOBP=SBOP+SDPO】

第 19 页 共 38 页

⑨ 在直线BD下方的抛物线上，是否存在点P，使四边形DCBP的面积最大？若存在，求出点P的坐标，并求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由.

Y C O ?P B 【通法：四边形DCBPD X

S=SDCB+SDBP】

⑩ 在直线ＢＤ下方的抛物线上，是否存在点Ｐ，使点Ｐ到直线BD的距离最大？若存在，求出点P的坐标，并求出最大距离；若不存在，请说明理由。

Y O D Ｘ

B ?P 【通法：因为ＢＤ是定线段，点Ｐ到直线ＢＤ的距离最大，意味着三角形ＢＤＰ的面积最大】

第 20 页 共 38 页

11 在抛物线上，是否存在点Ｐ，使点Ｐ到直线BD的距离等于2，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Y O D X B

【通法：在动点坐标一母示后，用点到直线的距离公式，列出方程，求解即可】。

12

在抛物线上是否存在点P，使SPBC=2SABD，若存在，求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由。

Y O D X C B A

【通法;在动点P的坐标一母示后，把到图形三角形ABD的面积算出，借助于动点坐标把动三角形PBC的面积表示出来，再代入已知中的面积等式】。

第 21 页 共 38 页

13 若点P在抛物线上，且?PDB=90，求点P的坐标。

【通法：利用KBD?KPB??1Y O D X

B ，及点B的坐标，求出直线PB的解析式，再把此解析式

与抛物线方程组成方程组，即可求出P点的坐标】。

14 若Q是线段CD上的一个动点（不与C,D重合），QEBD,交BC于点E，当三角形QBE的面积最大时，求动点Q的坐标。

【通法：三角形QBE是三边均动的动三角形，把该三角形分割成两个三角形基本模型的差，即SQBEY O Q C D E B X

?SQCB?SQCE，题中平行线的作用是有两个三角形相似，从而有对应边的比

等于对应高的比，最后该动三角形的面积方可表示为，以动点Q(t,0)的坐标有关的开口向】 下的二次函数。

第 22 页 共 38 页

15 若E为x轴上的一个动点，F为抛物线上的一个动点，使B,D,E,F构成平行四边形时，求出E点的坐标。

Y O Ｄ X Ｂ

【通法：以其中一个已知点（如：点B）作为起点，列出所有对角线的情况（如：BD，BE，BF），分别设出两个动点（点E，点F），运用中点坐标公式，求出每一种情况下，两条对角线的中点坐标，注意到两个中点重合，其坐标对应相等，列出方程组，求解即可】。

第 23 页 共 38 页

中考二次函数压轴题分析

（一）【2012宜宾中考】如图，抛物线上。

（1）求抛物线顶点A的坐标。

（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C，D（C点在D点的左侧），试判断三角形ＡＢＤ的形状；

（3）在直线ｌ上是否存在一点Ｐ，使以点Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｄ为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由。 Y C O D X Ｂ A

y?x2?2x?c的顶点A在直线l:y=x-5

第 24 页 共 38 页

（二）【2012凉山州中考】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A,B,两点，抛物线y??x?bx?c经过A,B,两点，并与x轴交于另一点C（点C在点 A的右侧），点P是抛物线上一动点。

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标.

(2)若点P在第二象限内，过点P作PD?x轴于D，交AB于点E.当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时ＰＥ等于多少？

(3)如果平行于ｘ轴的动直线ｌ与抛物线交于点Ｑ，与直线ＡＢ交于点Ｎ，点Ｍ为ＯＡ的中点，那么是否存在这样的直线ｌ，使得三角形ＭＯＮ是等腰三角形？若存在，请求出点Ｑ的坐标；若不存在，请说明理.

Y P B C A O

2X 第 25 页 共 38 页

（三）【2012广安市中考】在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠

o

AOB=3/4。将△OAB绕着原点O逆时针旋转90，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中

o2

点旋转180，得到△OA2B1，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标；

（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

2？若存在，2第 26 页 共 38 页

（四）【2012乐山中考】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已

2

知实数m、n（m＜n）分别是方程x﹣2x﹣3=0的两根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标.

第 27 页 共 38 页

（五）【2012成都中考】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?5x?m (m4为常数)的图象与x轴交于点A(?3，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线

y?ax2?bx?c (a，b，c 为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点

B．

（1）求m的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1，y1) ，M2(x2，y2)两点，试探究定值，并写出探究过程．

M1P?M2P 是否为

M1M2

第 28 页 共 38 页

（六）【2012黄冈中考】如图，已知抛物线的方程C1：y??1(x?2)(x?m)（m>0)m与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧。

（1）若抛物线C1过点M(2,2)，求实数m的值。

（2）在(1)的条件下，求三角形BCE的面积。

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点Ｈ的坐标。

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点Ｆ，使得以点Ｂ,Ｃ,Ｆ为顶点的三角形与三角形BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。

Y

E B

O

C X 第 29 页 共 38 页

（七）【2013宜宾中考】如图，抛物线y?ax?bx?4a经过A（-1,0），C(0,4)两点，与x轴交于另一点B。 （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且?DBP?45’求点P的坐标。

Y C 2A O B X

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（八）【2013山西中考】如图，抛物线y?123x?x?4与X轴交于A,B,两点（点B42在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作棱形BDEC，

点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m,0）,过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.

（1）求点A,B,C的坐标.

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N.试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由. （3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使三角形BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标;若不存在，请说明理由. Y D X E A O B

C

第 31 页 共 38 页

（九）【2013重庆中考】如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y?ax?bx?c（a?0）与 x轴交于A,B两点，其中点A的坐标为（-3,0）. （1）求点B的坐标；

（2）已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.

① ②

2若点P在抛物线上，且SPOC?4SBOC，求点P 的坐标；

设点Q是线段AC上的动点，

作QD?x轴抛物线于点D，求线段QD长度的最大.

X=-1 Y A O B X

C 第 32 页 共 38 页

（十）【2013浙江绍兴市中考】抛物线y=(x-3) (x+1)与x轴交于A,B,两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点.

（1）求点B及点D的坐标.

（2）连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E.

① 若线段BD上一点P，使?DCP??BDE，求点P的坐标.

② 若抛物线上一点M，作MN?CD，交直线CD于点N，使?CMN??BDE，求点M的坐标.

Y A O E B X C D

Y A O E B X C D 【备 用 图】

第 33 页 共 38 页

（十一）【2013菏泽市中考】如图，三角形ＡＢＣ是以ＢＣ为底边的等腰三角形，

3y??x?3的图象与ｙ轴，ｘ轴的交点，点Ｂ在二次函数点Ａ，Ｃ分别是一次函数

41y?x2?bx?c的图象上，且该二次函数图象上存在一点Ｄ使四边形ＡＢＣＤ能构成

8平行四边形．

（１）试求ｂ，ｃ的值，并写出该二次函数的表达式．

（２）动点Ｐ从Ａ到Ｄ，同时动点Ｑ从Ｃ到Ａ都以每秒１个单位的速度运动，问： ① 当点Ｐ运动到何处时，有PQ?AC？

② 当点Ｐ运动到何处时，四边形ＰＤＣＱ的面积最小？此时四边形ＰＤＣＱ的面积是多少？

Ｙ

Ａ Ｄ ＢＯ Ｃ Ｘ

第 34 页 共 38 页

(十二)【2013绵阳市中考】如图，二次函数y=ax+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。

（1）求二次函数的解析式和B的坐标； （2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；[来*源%:zz#step&@.com]

（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

Y

[中~国&%教*育出^版网] [来&*~源:中^教%网]

X BB D A O ＢＢ

C l [来%^~&源#:中教网]

2

第 35 页 共 38 页

（十三）【2013泸州市中考】如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2,0），点B的坐标为(1,?3)，已知抛物线y?ax2?bx?c（a?0）经过三点A,B,O（O为原点）. (1)求抛物线的解析式.

(2)在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使三角形BOC的周长最小.若存在，求出点Ｃ的坐标，若不存在，请说明理由．

(3)如果点Ｐ是该抛物线上ｘ轴上方的一个动点，那么三角形ＰＡＢ是否有最大面积．若有，求出点Ｐ的坐标及三角形ＰＡＢ的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）．

Y A Ｏ ? X

? Ｂ

第 36 页 共 38 页

（十四）【2013自贡市中考】如图，已知抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2

第 37 页 共 38 页

（十五）【2013巴中市中考】如图，抛物线y?ax?bx?c经过点A(-3,0)，B(1,0)，C(0，-3).

（1）求抛物线的解析式。

（2）若点P为第三象限内抛物线上的点，记三角形PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标。

（3）设抛物线的顶点为D，DE?x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得三角形ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Y E B X A O C D

2 第 38 页 共 38 页