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【考点】MC：切线的性质；1H：近似数和有效数字；M5：圆周角定理． 【专题】11 ：计算题；14 ：证明题．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；

（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵直线CD与⊙O相切， ∴OC⊥CD， ∵点C是

的中点，

∴∠DAC=∠EAC， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠EAC， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD， ∴AD⊥CD；

（2）解：∵∠CAD=30°， ∴∠CAE=∠CAD=30°，

由圆周角定理得，∠COE=60°，

∴OE=2OC=6，EC=OC=3，==π，

∴蚂蚁爬过的路程=3+3

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+π≈11.3．

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【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．

23．（12分）（2018?德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．

（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 【考点】AD：一元二次方程的应用；FH：一次函数的应用． 【专题】523：一元二次方程及应用；533：一次函数及其应用．

【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．

【解答】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0）， 将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：

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，解得：，

∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．

（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，

根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000， 整理，得：x2﹣130x+4000=0， 解得：x1=50，x2=80．

∵此设备的销售单价不得高于70万元， ∴x=50．

答：该设备的销售单价应是50万元/台．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

24．（12分）（2018?德州）再读教材：

宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协

调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN=2） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．

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第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图①中所示的AD处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．

问题解决： （1）图③中AB=

（保留根号）；

（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；

（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 实际操作

（4）结合图④，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽． 【考点】RB：几何变换综合题． 【专题】152：几何综合题．

【分析】（1）理由勾股定理计算即可； （2）根据菱形的判定方法即可判断；

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