一、三角形的四心与向量的结合
（1）OA?OB?OC?0?O是?ABC的____________________心.
（2）OA?OB?OB?OC?OC?OA?O为?ABC的____________心.
（3）设a,b,c是三角形的角A,B,C所对的边
aOA?bOB?cOC?0?O为?ABC的_________________心.
（4）OA?OB?OC?O为?ABC_________________心。
例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP?OA??(AB?AC)，???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
例2：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP?OA??(ABAB?ACAC)，???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
ΔABC所在平面内一点P满足2PB?2PC?AP，则 的例3 已知G为ΔABC的重心，
|AG|值等于_______.
|AP|
课堂练习：
1．已知?ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA?PB?PC?0，若实数?满足：AB?AC??AP，则?的值为（ ）
A．2 B．
3 C．3 D．6 2BC的外接圆的圆心为O，半径为1，OA?OB?OC?0，则OA?OB?( ) 2．若?AA．
11 B．0 C．1 D．? 223．点O在?ABC内部且满足OA?2OB?2OC?0，则?ABC面积与凹四边形
ABOC面积之比是（ ）
A．0 B．
354 C． D． 2434．?ABC的外接圆的圆心为O，若OH?OA?OB?OC，则H是?ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OA?BC?OB
222?CA?OC?AB，则O是?ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
222?ABC的外接圆的圆心为O，6．两条边上的高的交点为H， OH?m(OA?OB?OC)，
则实数m =
→→→→1ABACABAC→→→
7．已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为
2→→→→|AB||AC||AB||AC|( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知?ABC三个顶点A、B、C，若AB?AB?AC?AB?CB?BC?CA，则
2?ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
二 向量最值问题
????????????
例1．若AB?8,AC?5，则BC的取值范围是 。
例2已知向量b=?cos?,sin??，c=??1,0?.求向量b+c的长度的最大值；
例3已知|a|=|b|=1，a?b，满足(a-c)?(b-c)=0，求|c|的最大值
变式练习1若向量a、b、c均为单位向量，且a?b＝0，(a-c)?(b-c)?0，则|a+b-c|的最大值为( )
A．2-1 B.1 C2 .D。2
变式练习2已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )．
A．2?1 B．2 C．2?1 D．2?2
变式练习3 已知a,b,c为单位向量，a?b=0，求(a-c)?(b-c) 的最小值。
例4 已知a=(cos550,sin550),b=(cos250,sin250)求|a-tb|?t?R?的最小值。
例5已知平面向量?,????0,????满足??1，且?与???的夹角为1200，求
?的最大值
例6设向量a、b、c满足｜a｜＝｜b｜＝１，a?b＝－1，＜a－c，b－c＞＝６2００，则｜c｜的最大值等于( )
A.2 B. 3 C. 2 D。1
变式练习 已知直角梯形ABCD中，AD||BC，?ADC=9００，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA?3PB|的最小值为__________。
例7 在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，求AM?AN的最大值
变式练习 已知OP??2,1?，OA??1,7?，OB??5,1?且Q是直线OP上的一点(O为原点)，
求QA?QB的最小值。
例8已知点G为?ABC的重心，点P是?GBC内一点(含边界)，若
AP??AB??AC??,??R?，则???的最大值，最小值分别是_______
变式练习 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为1200，如示， 点C在以O为圆心的圆弧
AB上变动，若OC?xOA?yOB?x,y?R?则x+y的最大
值是___.
BCOA