到所求切线的方程；（2）由题意得kOA?2,可设直线l的方程为y?2x?m，圆心M?6,7?到直线l的距离
5，由此能求出直线l的方程.
详解：（1）圆M的标准方程：?x?6???y?7??25，圆心M?6,7?，半径r?5，
22∵kAM?7?434?，∴切线方程为y?4???x?2?，即4x?3y?20?0. 6?243（2）∵kOA?2，∴可设直线l的方程为y?2x?m，即2x?y?m?0. 又BC?2OA?222?42?45，∴圆心M?6,7?到直线l的距离
22?6?7?m??BC2?5，
D?5??2??5，即22???1??2?解得m??10或m?0（不合题意，舍去）， ∴直线l的方程为y?2x?10.
点睛：求过已知点的圆的切线方程的注意点：
（1）判断点与圆的位置关系，当点在圆上时，可作一条切线；当点在圆外时，可作两条切线．
（2）当点在圆外，利用待定系数法求切线方程时，不要忘了斜率不存在的情形，这种情况比较容易忽视而造成漏解．
19.已知函数f?x??4cosx?sin?x???????a的最大值为3. 6?（1）求a的值及f(x)的单调递减区间； （2）若???0,????2??，f????11??，求cos?的值. ?2?5【答案】(1) a?2， ?【解析】
5?????k?,?k??，k?Z (2)43?3
6?3?10分析：（1）利用两角差正弦函数公式和倍角公式对函数解析式化简整理，利用函数的最大值求得a，进而求得函数解析式，由
?2?2k??2x????6?3??2k?，k?Z.得到f?x?的单调递减区间； 2（2）由题意易得sin?????3??4??cos??，进而得到????，利用配角法可得6?56?5???????cos??cos???????，从而得到结果.
6?6???
?3???1?fx?4cosx?sinx??a?4cosx?sinx?cosx?a 详解：（1）????????6?2??2??23sinxcosx?2cosx?a ?3sin2x?cos2x?1?a ?2sin?2x?2??????1?a. 6?当sin?2x?由
??????1时，f?x?max?2?1?a?3，∴a?2. 6??2?2k??2x??6?3??5??2k?，k?Z.得到?k??x??k?，k?Z. 2365?????k?,?k??，k?Z.
6?3?所以f?x?的单调递减区间为????fx?2sin2x?（2）∵?????1，
6??又???0,??3???11?f???，∴sin?????，
6?5?2?5?????2??，∴?????4????????,?，∴cos?????， 6?63?6?5?∴cos??cos????????????3??1???43?3?? . ?cos???sin??????? ?6?6?262610?????点睛：本题主要考查公式三角函数的图像和性质以及辅助角公式的应用.利用该公式f?x? ?
asin?x?bcos?x? a?bsin??x??? 可以求出:①f?x?的周期T?222??;
②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；
2222③值域（??a?b,a?b?）；
??④对称轴及对称中心（由?x???k???2可得对称轴方程，由?x???k?可得对称中心横坐标.
20.在?ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，c?2b. （1）若a?2，b?1，求?ABC的面积；
（2）若a?2，求?ABC的面积的最大值. 【答案】(1)【解析】
47(2)
341b2?c2?a2，进而得到sinA，再利用S?ABC?bcsinA求值即可；分析：(1)利用余弦定理求出cosA?22bc
19?20?16（2）由S?b?2b?sinA?b2sinA可得S2?b4sin2A???b2???，转求二次函数的最值即可. 216?9?9详解：（1）∵a?22，b?1，c?2b?2，
b2?c2?a21?4?23∴cosA???，
2bc447?3?∴sinA?1????. 44??∴S?ABC?21177. bcsinA??1?2??2244（2）∵S?1b?2b?sinA?b2sinA. 251?2. 4b又4b2?b2?4?2?2b?b?cosA，∴cosA?2??51??424242∴S?bsinA?b1?cosA ?b?1???2??
???4b?????9?20?1616?5??b4??b2?1? ???b2????.
16?9?99?4?425时取等号）. （当且仅当b?334所以面积的最大值为
3∴S?
点睛：点睛：解三角形的基本策略
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
21.已知a,b?R，函数f(x)?ax?1?x?bx.
（1）当a?2时，函数f(x)在[0,??)上单调递增，求实数b取值范围；
2222（2）当a??1时，对任意的x?[1,??)，都有f(x?2)?f(x)恒成立，求b的最大值. 【答案】(1) b?2 (2) ?1 【解析】
分析：（1）把函数转化为分段函数形式，利用二次函数的对称性明确分段的单调性即可;（2）对任意的
x??1,???，都有f?x?2??f?x?恒成立等价于2b?x2?4x?3?x2?4x?3
0,x?3????，转求最值即可. 22x?2?2,1?x?3?????3x2?bx?2,x?1详解：（1）当a?2时，f?x??2x?1?x?bx ??2.
??x?bx?2,0?x?122?b??1??6由函数f?x?在?0,???上单调递增，得?，化简得b?2.
b??1??2∴实数b的取值范围b?2.
（2）当a??1且x?1,???时，f?x???x?1?x?bx?bx?1，
22?f?x?2????x?2??1??x?2??b?x?2?，
由f?x?2??f?x?得，??x?2??1??x?2??b?x?2??bx?1，
22220,x?3??化简得：2b?x?4x?3?x?4x?3 ??， 22x?2?2,1?x?3????22∴2b??2，解得b??1. ∴实数b的最大值是?1.
点睛：研究分段函数的单调性注意两点：（1）分析各段的单调性；（2）注意端点处取值的大小；恒成立问题处理手段首选变量分离，然后转最值即可.
222.已知各项为正的数列{an}满足a1?1，an?1?2an??.
（1）若??0，求a2，a3，a4的值；
?1?（2）若??3，证明：3????2?【答案】(1) a?2【解析】
n?2?an?3.
782，a3?2，a4?2 (2)见解析
342分析：(1)由a1?1与递推关系逐一求得各项；（2）分两步：先证明an?3，由an?1?9?2?an?3?易证明，
?1?再证明an?3????2?从而得证.
n?2，易证an?1?1，进而由
an?1?3221???可得3?an?1?3?an?1?，
an?3an?1?31?3222详解：（1）a1?1，??0，∴an?1?2an，又数列?an?各项为正.