横坐标，以沿上山路线从山下旅店到山顶的路程x为纵坐标的直角坐标系。
设第一天的行程为
x?f(t),8?t?12.
则f(t)是单调不降的连续函数，满足
f(8)?0,f(12)?d.
设第二天的行程为
x?g(t),8?t?12.
则是单调不增的连续函数，满足
g(8)?d,f(12)?0.
令
h(t)?f(t)?g(t),8?t?12,
则h(t) 在[8,12]上连续。由于
h(8)?f(8)?g(8)?0?d??d?0,h(12)?f(12)?g(12)?d?0?d?0,
故根据连续函数的介值定理知存在t0?(8,12)， 使得
h(t0)?0, 即 f(t0)?g(t0)?0,表明在时刻t0经过途中的同一地点。
f(t0)?g(t0).
（2）若下山时，此人11时回到旅店，只要前一天此人在上午11点之前从旅店出发上山，类似的分析同样可以得出：能在同一时刻经过途中同一地点。
例8 小明在妹妹的生日晚会上，买回一个边界形状怪异的蛋糕。妹妹指着蛋糕上的一点P，要哥哥过此点将蛋糕切成一人一半，能办到吗？
解 过点P任作一条直线l,将曲线所围图形分为两部分,其面积分别为S1,S2. 若S1?S2,则l即为所求的直线;
若S1?S2,不妨设S1?S2, 此时记?0为l与x轴正向之夹角.下面对此种情形证明之.
以P为旋转中心, 将l按逆时针方向旋转, 显然面积S1与S2连续地依赖于角
?变化, 分别记之为S1(?)与S2(?),如图所示.
设
f(?)?S1(?)?S2(?),
将直线l按逆时针方向旋转?，易知f(?)在[?0,?0??]上连续，且在端点异号：
f(?0)?S1(?0)?S2(?0)?0，
f(?0??)?S1(?0??)?S2(?0??)
?S2(?0)?S1(?0)?0，
故据连续函数的介值定理知，必存在一点??(?0,?0??)，使得
f(?)?0，
即
S1(?)?S2(?)?0,S1(?)?S2(?).
于是过P点作直线，使之与x轴正向的夹角成?，则该直线即为所求.
例9 一盏灯挂在一米见方的书桌正上方。已知受光面上的照度与光线入射角的余弦值成正比，与到光源距离的平方成反比。问此灯应挂在离桌面多高处，才能使
（1）桌子四个角的照明度最大？
（2）桌子四边的中点处的照明度最大？又如果是圆形桌子，灯应挂在多高处才能使圆桌边缘处照明度最大？
解 如图,
设O为桌子中心点，A为桌上任一点，距离中心点O为r，OD?h为灯的高度，则灯到受光点A的距离h2?r2由题设A点的照度为
.
R?h??khcos??h2?r2? ，
其中k为比例常数. 而cos??h?r22，所以,
R?h??k对h求导，得
h?h2?r322.
?113222(r?h)?h??(r?h)?2hk(r2?h2)2?r2?2h2?2R??h??k??， 2(r?h2)3(r2?h2)32322令R??h??0，得h0?最大值点，于是
Rmax?R?h0??rr为驻点. 由问题的实际含义知，h0?肯定是R?h?的222k. 227r当桌子一米见方时 (1) 在四个角处有r?2m，代入可得h?0.5m，即灯应挂在离桌面0.5m处; 212m,代入得h?m处; 24(2) 在四边的中点处有r?进一步, 如果为半径是r的圆桌,则灯应挂在离桌面h?缘的照度最大.
2r处可使圆桌边2例10 某吊车的身高为1.5米，吊臂长15米。现要把一个6米宽、2米高的屋架，水平地吊到6米高的柱子上，问能否吊得上去？
?解 如图所示，设车身高为h，吊臂长为CD?l，与水平线的夹角为??(0,)。
2屋架的宽度为2a，高为b，其下边沿离地面的距离为y，则问题转化为：在a,b,h,l已知的条件下，?为何只时可使y达到最大？