像上运动（不与O重合），连接AP，过点P作PQ?AP，交x轴于点Q，连接AQ．

（1）求线段AP长度的取值范围；

（2）试问：点P运动过程中，?QAP是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由． （3）当?OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．

【答案】（1）AP?3；（2）?QAP为定值，?QAP=30°；（3）Q1(23?4,0)， Q2(23?4,0)，

Q3(?23,0)，Q4(23,0) 33x的图像上知：?HOQ?30?，求出AH，即可得解； 3【解析】（1）作AH?OP，由点P在y?（2）①当点P在第三象限时，②当点P在第一象的线段OH上时，③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，分别证明Q、P、O、A四点共圆，即可求得?QAP=30°； （3）分OP?OQ，PO?PQ，QO?QP三种情况，分别求解即可． 【详解】

解：（1）作AH?OP，则AP?AH ∵点P在y?3x的图像上 3∴?HOQ?30?，?HOA?60? ∵A(0,2)，

∴AH?AOgsin60??3 ∴AP?3 （2）①当点P在第三象限时，

由?QPA??QOA?90?，可得Q、P、O、A四点共圆， ∴?PAQ??POQ?30?

②当点P在第一象的线段OH上时，

由?QPA??QOA?90?，可得Q、P、O、A四点共圆， ∴?PAQ??POQ?180?，又此时?POQ?150? ∴?PAQ?180???POQ?30?

③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，

由?QPA??QOA?90?，可得?APQ??AOQ?180?， ∴Q、P、O、A四点共圆， ∴?PAQ??POQ?30? （3）设P(m,33m?6m)，则lAP：y??2 33m∵PQ?AP，∴kPQ?3m

23?m∴lPQ：y?3m3(x?m)?m

323?m∴Q(4m?23,0) 324216164m，OQ2?m2?3m? 3993444PQ2?m2?3m?

99342162164①当OP?OQ时，则m?m?3m?

3993∴OP?整理得：m2?43m?3?0 解得：m?23?3 ∴Q1(23?4,0)， Q2(23?4,0) ②当PO?PQ时，则

424244m?m?3m? 3993整理得：2m2?3m?3?0

解得：m?3或m??3 2

当m?32时，Q点与O重合，舍去， ∴m??3，∴Q3(?23,0) ③当QO?QP时， 则

169m2?16444493m?3?9m2?93m?3 整理得：m2?3m?0 解得：m?3 ∴Q4(233,0)

【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、三角函数、等腰三角形判定和性质以及圆的相关性质等知识点，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．

【达标训练】

1．（2019·辽宁中考真题）一条公路旁依次有A,B,C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A,B两村相距10km；②出发1.25h后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km．其中正确的个数是（ ）

A．1个 【答案】D

B．2个 C．3个 D．4个

【解析】根据题意结合一次函数的图像与性质即可一一判断. 【详解】 解：

由图象可知A村、B村相离10km，故①正确，

当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，故②正确，

当0?t?1.25时，易得一次函数的解析式为s??8t?10，故甲的速度比乙的速度快8km/h．故③正确 当1.25?t?2时，函数图象经过点(1.25,0)(2,6)设一次函数的解析式为s?kt?b