专题17 等腰、等边三角形问题
专题知识回顾
一、等腰三角形 1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角. 2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 5.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 二、等边三角形
1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形． 2. 性质
性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。 3.判定
（1） 三个角都相等的三角形是等边三角形； （2） 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； （3） 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 三、含30的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半. 四、解题方法要领
1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在
等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
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0
2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问 题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。
专题典型题考法及解析
【例题1】（2019?重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数； （2）求证：FB＝FE．
【答案】见解析。
【解析】（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC， ∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°， ∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°． （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC， ∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．
【例题2】（2019?黑龙江哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为 ．
2
【答案】2
【解析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的长．如图，连接AC交BD于点O
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°， ∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4 ∵CE∥AB
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60° ∴∠DAO＝∠ACE＝30°
∴AE＝CE＝6，∴DE＝AD﹣AE＝2 ∵∠CED＝∠ADB＝60°
∴△EDF是等边三角形，∴DE＝EF＝DF＝2 ∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2 ∴OC＝∴BC＝
＝2＝2
【例题3】（2019?黄石）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ ）
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A．125° 【答案】C
【解析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD＝60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED＝115°，即可得到∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°．
∵CD⊥AB，F为边AC的中点， ∴DF＝AC＝CF， 又∵CD＝CF， ∴CD＝DF＝CF， ∴△CDF是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∵∠B＝50°，
∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E， ∴∠DCE+∠CDE＝65°， ∴∠CED＝115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°， 故选：C．
B．145°
C．175°
D．190°
专题典型训练题
一、选择题
1.（2019宁夏） 如图，在△ABC中，AC?BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD?AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若?C?40?，则?GAD的度数为（ ）．
A．40? B．45? C．55? D．70?
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