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故二面角E-BC-A的余弦值为-.
25.(2016·全国2·理T19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD
上,AE=CF= ,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=(1)证明:D'H⊥平面ABCD; (2)求二面角B-D'A-C的正弦值.
.
【解析】(1)证明由已知得AC⊥BD,AD=CD.
又由AE=CF得,故AC∥EF.
因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H. 由AB=5,AC=6得DO=BO==4.
由EF∥AC得
所以OH=1,D'H=DH=3.
.
于是D'H+OH=3+1=10=D'O,故D'H⊥OH.又D'H⊥EF,而OH∩EF=H, 所以D'H⊥平面ABCD.
(2)解如图,以H为坐标原点
的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则
22222
H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3),
=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).
设m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,
则
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所以可取m=(4,3,-5).
设n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,
则
所以可取n=(0,-3,1).
于是cos
因此二面角B-D'A-C的正弦值是.
26.(2016·山东·理T17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.
(1)已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC;
(2)已知EF=FB=AC=2,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.
【解析】(1)证明设FC中点为I,连接GI,HI. 在△CEF中,因为点G是CE的中点,所以GI∥EF. 又EF∥OB,所以GI∥OB.
在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC. 又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC. 因为GH?平面GHI,所以GH∥平面ABC.
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(2)解连接OO',则OO'⊥平面ABC.
又AB=BC,且AC是圆O的直径,所以BO⊥AC.以O为坐标原点,建 立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得B(0,2,0),C(-2
,0,0).
过点F作FM垂直OB于点M, 所以FM==3,可得F(0,
,3). 故
=(-2,-2
,0),
=(0,-,3).
设m=(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.
由可得
可得平面BCF的一个法向量m=.
因为平面ABC的一个法向量n=(0,0,1),
所以cos
27.(2016·浙江·理T17)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
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【解析】(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示. 因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC, 所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC. 又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,
所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点, 则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.
(2)解如图,延长AD,BE,CF相交于一点K,则△BCK为等边三角形. 取BC的中点O,则KO⊥BC, 又平面BCFE⊥平面ABC, 所以,KO⊥平面ABC.
以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向 为x,z的正方向,
建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,),A(-1,-3,0),E,F.
因此,
=(0,3,0),=(1,3,),=(2,3,0).
设平面ACK的法向量为m=(x1,y1,z1),平面ABK的法向量为n=(x2,y2,z2).
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