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又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. (2)解在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F. 由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF, 可得PF⊥平面ABCD. 以F为坐标原点,

的方向为x轴正方向,

||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

由(1)及已知可得A,P,B,C=(,0,0),=(0,1,0).

设n=(x,y,z)是平面PCB的法向量,

则

可取n=(0,-1,-).

设m=(x,y,z)是平面PAB的法向量,

则可取m=(1,0,1).则cos==-.

所以二面角A-PB-C的余弦值为-.

20.(2017·全国2·理T19)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,

AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点. (1)证明:直线CE∥平面PAB;

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(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.

【解析】(1)证明取PA的中点F,连接EF,BF.

因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF= AD. 由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,

又BC=AD,所以EF??BC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE∥平面PAB. (2)解由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,

的方向为x轴正方向,|),

|为单位长,建立如图所示的空间直角

),

坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,设M(x,y,z)(0

=(1,0,-=(1,0,0).

=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).

因为BM与底面ABCD所成的角为45°, 而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,

所以|cos<,n>|=sin 45°,,即(x-1)+y-z=0. ①

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又M在棱PC上,设=λ,则x=λ,y=1,z=λ. ②

由①,②解得(舍去),

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所以M,从而.

设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则

所以可取m=(0,-,2).于是cos=.

因此二面角M-AB-D的余弦值为.

21.(2017·全国3·理T19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD. (1)证明:平面ACD⊥平面ABC;

(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.

【解析】(1)证明由题设可得,△ABD≌△CBD,从而AD=DC. 又△ACD是直角三角形,所以∠ADC=90°. 取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO. 又由于△ABC是正三角形,故BO⊥AC. 所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角. 在Rt△AOB中,BO+AO=AB,又AB=BD, 所以BO+DO=BO+AO=AB=BD,

故∠DOB=90°.所以平面ACD⊥平面ABC.

2

2

2

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2

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2

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2

(2)解由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,图所示的空间直角坐标系O-xyz.

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的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如

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则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).

由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的

,即E为DB的中点,得E.

故=(-1,0,1),=(-2,0,0),.设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,则

可取n=.

设m是平面AEC的法向量,则

同理可取m=(0,-1,).则cos=.

所以二面角D-AE-C的余弦值为.

22.(2017·山东·理T17)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是(1)设P是

的中点.

上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;

(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.

【解析】(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP?平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP,又BP?平面ABP,所以BE⊥BP,又∠EBC=120°.因此∠CBP=30°.

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