1

(1)求f(1)，f()的值；

9

(2)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围． 解 (1)令x＝y＝1易得f(1)＝0. 而f(9)＝f(3)＋f(3)＝－1－1＝－2，

?1??1?且f(9)＋f??＝f(1)＝0，故f??＝2. ?9??9?

(2)设01，f??<0，

x由f(xy)＝f(x)＋f(y)得

x2x1

?x2??1?

x2???x2?f(x2)＝f?x1·?＝f(x1)＋f??

所以f(x)是减函数．

?1?由条件①及(1)的结果得：f[x(2－x)]

?9?

1??x2－x>，9由函数f(x)在R上单调递减，可得?

??0

由此解得x的取值范围是?1－，1＋?.

33??

B组 专项能力提升 (时间：20分钟)

11．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝?

?a，a≤b，?

??b，a>b.

设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，

则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 答案 1

??log2x，0

解析 依题意，h(x)＝?

??－x＋3，x≥2.

当0

b＝a；当a

答案 6

解析 由已知，得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，

17

当1

∵f(x)＝x－2，f(x)＝x－2在定义域内都为增函数． ∴f(x)的最大值为f(2)＝2－2＝6.

13．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为2

33

3

_________．

答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)

?a2

－a>0，解析 由已知可得?

?a＋3>0，

??a2－a>a＋3，

解得－33.

所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．

14．已知函数f(x)＝lg(x＋ax－2)，其中a是大于0的常数． (1)求函数f(x)的定义域；

(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．

解 (1)由x＋ax－2>0，得x2－2x＋ax>0，

当a>1时，x2

－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，

当01＋1－a}． (2)设g(x)＝x＋ax－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，

g′(x)＝1－ax2－ax2＝x2>0恒成立，

所以g(x)＝x＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数．

所以f(x)＝lg??a?

x＋x－2???

在[2，＋∞)上是增函数．

所以f(x)＝lg??aa?x＋x－2???

在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg2. (3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋ax－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．所以a>3x－x2

， 令h(x)＝3x－x2，

18

?3?292

而h(x)＝3x－x＝－?x－?＋在x∈[2，＋∞)上是减函数，

?2?4

所以h(x)max＝h(2)＝2，所以a>2.

19