111?1?(2)已知函数f(x)=-(a>0,x>0),若f(x)在?,2?上的值域为[,2],则a=________. ax2?2?2
答案 (1)2 (2)
5
1
解析 (1)当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;
x当x<1时,易知函数f(x)=-x+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2. 故函数f(x)的最大值为2.
11?1?(2)由反比例函数的性质知函数f(x)=-(a>0,x>0)在?,2?上单调递增,
ax?2?1?1??f??2?=2,
所以???
??f2=2,
2
??
即?11??a-2=2,
1
1-2=,a2
2
解得a=. 5
题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小
1
例4 已知函数f(x)=log2x+,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则f(x1)________0,
1-xf(x2)________0.(判断大小关系)
答案 < >
解析 ∵函数f(x)=log2x+
1
在(1,+∞)上为增函数,且f(2)=0, 1-x∴当x1∈(1,2)时,f(x1)
命题点2 解不等式
??1??例5 已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f????
??x??
______________. 答案 (-1,0)∪(0,1)
??1??解析 由f(x)为R上的减函数且f????
x????
1?????x?>1,得?????x≠0,
??|x|<1,
即?
?x≠0.?
∴-1
命题点3 求参数范围
9
例6 (1)如果函数f(x)=ax+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是__________.
??2-ax+1,x<1,
(2)已知f(x)=?x??a,x≥1,
2
满足对任意x1≠x2,都有
fx1-fx2
>0成立,
x1-x2
那么a的取值范围是________. 3?1?答案 (1)?-,0? (2)[,2) 2?4?
解析 (1)当a=0时,f(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;
1
当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=-,
a因为f(x)在(-∞,4)上单调递增, 11
所以a<0,且-≥4,解得-≤a<0.
a41
综合上述得-≤a≤0.
4
(2)由已知条件得f(x)为增函数, 2-a>0,??
∴?a>1,??2-a×1+1≤a,
33
解得≤a<2,∴a的取值范围是[,2).
22
思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数.
①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;
②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
10
(1)f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函
数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x的取值范围是__________. (2)若f(x)=-x+2ax与g(x)=__________.
答案 (1)(8,9] (2)(0,1]
解析 (1)2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)≤2,可得f[x(x-8)]≤f(9),因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
2
ax+1
在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是
x>0,??
所以有?x-8>0,
??xx-8≤9,
2
解得8
(2)由f(x)=-x+2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]?[a,+∞),∴a≤1. ∵y=1
在(-1,+∞)上为减函数, x+1
ax+1
在[1,2]上是减函数可得a>0,
1.确定抽象函数单调性解函数不等式
典例 (14分)函数f(x)对任意的m、n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1.
(1)求证:f(x)在R上是增函数; (2)若f(3)=4,解不等式f(a+a-5)<2.
11
2
思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应该构造出f(x2)-f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)
(1)证明 设x1,x2∈R,且x1
f(x2)=f[(x2-x1)+x1]
=f(x2-x1)+f(x1)-1,[4分]
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0?f(x1)
∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1?f(2)=2f(1)-1,[8分]
f(3)=4?f(2+1)=4?f(2)+f(1)-1=4?3f(1)-2=4,
∴f(1)=2,∴f(a2
+a-5)<2=f(1),[11分] ∵f(x)在R上为增函数,
∴a2
12