题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性
1x1
例1 (1)下列函数中，①y＝ln(x＋2)；②y＝－x＋1；③y＝()；④y＝x＋，在区间(0，
2x＋∞)上为增函数的是________．
(2)函数f(x)＝log1 (x－4)的单调递增区间是____________．
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(3)函数y＝－x＋2|x|＋3的单调增区间为_________________________． 答案 (1)① (2)(－∞，－2) (3)(－∞，－1]，[0,1] 解析 (1)y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)， ∴在区间(0，＋∞)上为增函数．
(2)因为y＝log1t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x－4
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的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
(3)由题意知，当x≥0时，y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4；当x<0时，y＝－x－2x＋3＝－(x＋1)＋4，
二次函数的图象如图．
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由图象可知，函数y＝－x＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参函数的单调性 例2 试讨论函数f(x)＝解 设－1 2 ax(a≠0)在(－1,1)上的单调性． x－1 f(x)＝a? ?x－1＋1?＝a?1＋1?， ??? ?x－1??x－1? 5 f(x1)－f(x2)＝a?1＋?－a?1＋? ?x1－1??x2－1? ＝ ? 1? ? 1? ax2－x1 ， x1－1x2－1 由于－1 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 综上，当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增． 引申探究 若本题中的函数变为f(x)＝解 设－1 ax2 x－1 (a>0)，则f(x)在(－1,1)上的单调性如何？ ax1 2 1 x－1x22－1 － ax2 2 ax1x2ax2－x12－ax1－ax2x1＋ax2＝＝22 x1－1x2－1x21－1x1x2＋1 ， x22－1 ∵－1 ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x1－1)(x2－1)>0. 又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0， ∴函数在(－1,1)上为减函数． 思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连结． 2 2 6 已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明： 函数f(x)在(0，a ]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数． 证明 方法一 任意取x1>x2>0，则 axa??a??f(x1)－f(x2)＝?x1＋?－?x2＋? x1??x2??a?aa?＝(x1－x2)＋?－?＝(x1－x2)＋?x1x2? x2－x1 x1x2 ＝(x1－x2)?1－ ?? a?. x1x2?? a<0， x1x2 当a≥x1>x2>0时，x1－x2>0,1－ 有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 此时，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，a ]上为减函数； 当x1>x2≥a时，x1－x2>0,1－ axa>0， x1x2 有f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 此时，函数f(x)＝x＋(a>0)在[a，＋∞)上为增函数； 综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，a ]上为减函数，在[a，＋∞)上为增函数． 方法二 f′(x)＝1－2，令f′(x)>0，则1－2>0， 解得x>a或x<－a(舍)．令f′(x)<0，则1－2<0，解得－a axaxaxaxax 7 故f(x)在(0，a ]上为减函数，在[a，＋∞)上为增函数． 题型二 函数的最值 x2＋2x＋a例3 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)，a∈(－∞，1]． x1 (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； 2 (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围． 117 解 (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝. 22x2(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)． ①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f(1)＝a＋3. 要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，即a>－3，所以－3 综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3,1]． 思维升华 求函数最值的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． ax1??，x≥1， (1)函数f(x)＝?x??－x2＋2，x<1 值为________． 的最大 8