【分析】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线； （2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OC． ∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°． ∵OA=OC，∠BCD=∠A， ∴∠ACO=∠A=∠BCD，

∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°， ∴CD是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4， ∴OD=

=5，

∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．

【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠OCD=90°；（2）根据勾股定理求出OD的长度．

21．（12分）（2017?益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．

（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

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（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；

（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．

【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由论；

（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论； （3）设点A（p，q），则

，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得

可得

，于是得到结

到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论． 【解答】解：（1）不一定，

设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）． ①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上， ②当ab≠0时，由≠0）的图象上；

可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k

（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）． 则有

解得

，

∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；

（3）设点A（p，q），则，

，

∵直线AB经过点P（，），由（2）得∴p+q=1， ∴

，

解并检验得：p=2或p=﹣1， ∴q=﹣1或q=2，

∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），

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将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得， ∴

解得

，

∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．

22．（14分）（2017?益阳）如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．

（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；

（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由． 【分析】（1）①联立直线和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；②过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，可分别求得∠ANM和∠BNM的正切值，可证得结论；

（2）当k=0时，由对称性可得出结论；当k≠0时，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，设

、B

，联立直线和抛物线解析式，，则可证明Rt△AEN∽Rt△BFN，

消去y，利用根与系数的关系，可求得可得出结论． 【解答】解：

（1）①由已知得2x2=x+1，解得

或x=1，

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当时，，当x=1时，y=2，

∴A、B两点的坐标分别为（

，），（ 1，2）；

②如图1，过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，

由①及已知有A（，），B（ 1，2），且OM=ON=1，

∴，，

∴tan∠ANM=tan∠BNM， ∴∠ANM=∠BNM；

（2）∠ANM=∠BNM成立，

①当k=0，△ABN是关于y轴的轴对称图形， ∴∠ANM=∠BNM；

②当k≠0，根据题意得：OM=ON=b，设

、B

．如图2，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，

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