计算题

1.已知物体中某点的应力分量为?x?100a，?y?0，?z?100a，?xy?200a，试求作用在通过此点，且平行于方程为3x?4z?3的平面上，?zx??50a。?yz?0，

沿x、y、z方向的三个应力分量pvx、pvy、pvz，以及正应力?v和剪应力?v的大小（若用小数表示，取小数点后三位数）。

33答：l??，

32?02?4250m??0，

2223?0?444n??

32?02?425pvx?l?x?m?yx?n?zx

34 ??100a?0??50a

55?20a

pvy?l?xy?m?y?n?zy 3 ??200a?0?0

5?120a pvz?l?xz?m?yz?n?z 34 ???50a?0??100a

55?50a

?v?pvxl?pvym?pvzn

34??20a?0??50a 55?52a

?v?(pvx)2?(pvy)2?(pvz)2?(?v)2 ?(20a)2?(120a)2?(50a)2?(52a)2

?120.814a

2.如图所示的矩形截面柱体，在顶部受到集中力F和力矩M?Fb的作用，试用应力函数??Ax3?Bx2求解图示问题的应力，设体力为零，在A点的位移和转角均为零。

答：

（1） 应力函数应满足相容方程，即

?4??4?x?2??4 ?4?x2?y2??y4?0

将??Ax3?Bx2代入相容方程，则满足。

（2） 求应力分量，得

??2?y??x2?fy?y?6Ax?2B，

??2?x??y2?fx?x?0。

??2?xy???x?y?0

（3） 考察主要边界条件，

在x??b处，?x?0，?xy?0，均已满足。

考察次要边界条件，根据圣维南原理，上， …………………………(2)

(?yx)y?0?0，满足；

?b(?F?by)y?0dx??F，得B??4b ?b?b(?y)y?0xdx?Fb，得A?F4b2 代入，得应力的解答，

在y?0 ?y?F3x(?1)，?x??xy?0 2bb上述?和应力已满足了?4??0和全部边界条件，因而是上述问题的解。

3.试考虑下面平面问题的应变分量有否可能存在，若存在，需满足什么条件？ ?x?A(x2?y2)，?y?By2，?xy?Cxy；

答：

应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即

22?2?x??y??xy ?2?2?y?x?x?y将各分量分别代入，得 ?2?x?2A， 2?y?2?y?0， ?x2?2?xy?C ?x?y代入方程，得2A?C。即若要应变分量存在，必须2A?C。

4.矩形截面柱体承受偏心载荷作用，如果不计柱体自身重量，则若应力函数为

??Ax3?Bx2，试求应力分量。

答：

应用应力函数求解：

应力函数应满足相容方程，即

?4??4??4??222?4?04?x?x?y?y

32将??Ax?Bx代入相容方程，则满足。

求应力分量，得

?2??y?2?fy?y?6Ax?2B?x ，

?2??x?2?fx?x?0?y。 ?2??xy???0?x?y

??0考察主要边界条件，在x??a处，?x?0，xy，均已满足。

考察次要边界条件，根据圣维南原理，在y?h上，

(?yx)y?h?0，满足；

B??F4a

??a?a(?y)y?hdx??F(?y)xdx??，得

a?ay?hFaFA??22，得8a

代入，得应力的解答，

?y??F3x(?1)????04xy2a2a，x 上述?和应力已满足了???0和

全部边界条件，因而是上述问题的解。

5、设εx=K（x2+y2），εy =K y2 ，γxy=2Kxy，K为常数，这组应变是否可能。

22?ε?2γxy?εyx解：知 ??22?y?x?x?y2?εx?εx?2Ky ?2K, 2?y?y2?εy?0 ?0， 2?x?x?εy?2γxy?2Ky ?2K ?x?x?y?γxy222?ε?γxy?εyx 故 ??2K?2K 22?y?x?x?y22?ε?2γxy?εyx 则 ???y2?x2?x?y 这组应变可能。

7、以下应力分量是否满足平衡方程。 σx =

(2C2 + bC3y +12C4y2)