例2 一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m的一段凸形桥面，g取10 m/s，求： (1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？ (2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？ 答案 (1)1.78×10 N (2)152 m/s

4

2

解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示

v2

合力Fn＝mg－FN，由向心力公式得mg－FN＝m

R2

v2104

故轿车受到桥面的支持力大小FN＝mg－m＝(2 000×10－2 000×) N≈1.78×10 N

R90

根据牛顿第三定律，轿车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×10 N.

4

v′2

(2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力Fn′＝mg－FN′＝0.5mg，而Fn′＝m，

R所以此时轿车的速度大小v′＝0.5gR＝0.5×10×90 m/s＝152 m/s.

竖直面内圆周运动类问题的解题技巧

1.定模型：首先判断是绳模型还是杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同. 2.确定临界点：抓住绳模型中最高点v≥gR及杆模型中v≥0这两个临界条件. 3.研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况. 4.受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F＝F向.

5.过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.

变式题组

4.如图10所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是( )

合

图10

A.过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来

B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力 C.人在最低点时对座位的压力等于mg D.人在最低点时对座位的压力大于mg 答案 D

v2

解析 人在最高点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得：F＋mg＝m，由此可知，当v＝gRR时，人只受重力作用；当v>gR时，重力和座位对人向下的压力提供向心力；当v

v2v2

到重力和支持力，由牛顿第二定律和向心力公式可得：F－mg＝m，即F＝mg＋m>mg，故选

RR项C错误，D正确.

5.(多选)如图11所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(取g＝10 m/s)( )

2

图11

A.v0≥0 C.v0≥25 m/s 答案 CD

B.v0≥4 m/s D.v0≤22 m/s

mv2

解析 当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤，r1212

又根据机械能守恒定律有mv＋2mgr＝mv0，得v0≥25 m/s，C正确.当v0较小时，小球不

22能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处时速度恰好减为零，根12

据机械能守恒定律有mgr＝mv0，得v0≤22 m/s，D正确.

2

万有引力定律的理解和应用

1.解决天体(卫星)运动问题的基本思路

(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即

2

Mmv24πr2

G2＝man＝m＝mωr＝m2. rrT(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G2＝mg(g表示天体表面的重力加速度).

2.天体质量和密度的估算

(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

MmRMmgR2

由于G2＝mg，故天体质量M＝，

RGMM3g天体密度ρ＝＝＝.

V434πGRπR3

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.

23

Mm4π24πr①由万有引力等于向心力，即G2＝m2r，得出中心天体质量M＝；

rTGT2

②若已知天体半径R，则天体的平均密度

3

MM3πrρ＝＝＝.

V43GT2R3

πR3

3.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

例3 “嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为h的圆形轨道上运行，运行周期为T.已知引力常量为G，月球的半径为R.利用以上数据估算月球质量的表达式为( ) A.C.4πR232

GT4π

B.

2

4π4π

2

R＋h

GT2R＋hGT2

3

2

R＋hGT2

2

D. 答案 D

解析 “嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G·

MmR＋h2

＝

m4π

2

2

R＋h4πR＋h，解得月球的质量为M＝

T2GT2

3

，选项D正确.

应用万有引力定律时应注意的问题

1.估算天体质量和密度时应注意的问题

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量.

(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度43

时，V＝πR中的R只能是中心天体的半径.

3

2.运动参量an、v、ω、T均与卫星质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定.所有参量的比较，最终归结到半径的比较. 变式题组

6.(2016·浙江10月学考·12)如图12所示，“天宫二号”在距离地面393 km的近圆轨道运行.已知万有引力常量G＝6.67×10

3

－11

N·m/kg，地球质量M＝6.0×10 kg，地球半径R＝

2224

6.4×10 km.由以上数据可估算( )

图12

A.“天宫二号”的质量 B.“天宫二号”的运行速度 C.“天宫二号”受到的向心力 D.地球对“天宫二号”的引力 答案 B

7.(2016·浙江4月选考)2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5.0×10 km的预定轨道.“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动.已知地球半径R＝6.4×10 km.下列说法正确的是( ) A.“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小 B.“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小 C.“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小 D.“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小

3

2