第一讲： 力学中的三种力

【知识要点】

4、摩擦角

将摩擦力f和接触面对物体的正压力N合成一个力F，合力F称为全反力。在滑动摩擦情况下定义tgφ=μ=f/N，则角φ为滑动摩擦角；在静摩擦力达到临界状态时，定义tgφ0=μs=fm/N，则称φ0为静摩擦角。由于静摩擦力f0属于范围0＜f≤fm，故接触面作用于物体的全反力F?同接触面法线的夹角??tg?1F F? φ ?f0?这就是判断物体不发生滑动的条件。换句话说，??≤φ0，

?N?只要全反力F?的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能fm 推动木块，这种现象称为自锁。

【例题1】如图所示，一质量为m的小木块静止在滑动摩擦因数为μ=

f0 α 33的水平面上，

用一个与水平方向成θ角度的力F拉着小木块做匀速直线运动，当θ角为多大时力F最小？

【例题2】如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为m，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n块这样的滑块叠放起来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力?

【例题3】如图所示，一质量为m=1㎏的小物块P静止在倾角为θ=30°的斜面上，用平行于斜面底边的力F=5N推小物块，使小物块恰好在斜面上匀速运动，试求小物块与斜面间的滑动摩擦因数（g取10m/s2）。

【练习】

1、如图所示，C是水平地面，A、B是两个长方形物块，F是作用在物块B上沿水平方向的力，物块A和B以相同的速度作匀速直线运动，由此可知，A、B间的滑动摩擦因数

A F B C F P θ F θ μ1和B、C间滑动摩擦因数μ2有可能是：（ ）

A、μ1=0，μ2=0； B、μ1=0，μ2≠0；

C、μ1≠0，μ2=0； D、μ1≠0，μ2≠0；

2、如图所示，水平面上固定着带孔的两个挡板，一平板穿过挡板的孔匀速向右运动，槽中间有一木块置于平板上，质量为m，已知木板左、右两侧面光滑，底面与平板之间摩擦因数为μ0，当用力F沿槽方向匀速拉动物体时，拉力F与摩擦力μmg大小关系是（ ）

A、F＞μmg B、F=μmg C、F＜μmg D、无法确定

3、每根橡皮条长均为l=3m，劲度系数为k=100N/m，现将三根橡皮条首尾相连成如图所示的正三角形，并用同样大小的对称力拉它，现欲使橡皮条所围成的面积增大一倍，则拉力F应为多大？

4、两本书A、B交叉叠放在一起，放在光滑水平桌面上，设每页书的质量为5克，两本书均为200页，纸与纸之间的摩擦因数为0.3，A固定不动，用水平力把B抽出来，求水平力F的最小值。

5、（90国际奥赛题）（哥伦比亚）一个弹簧垫，如图所示，由成对的弹簧组成。所有的弹簧具有相同的劲度系数10N/m，一个重为100N的重物置于垫上致使该垫的表面位置

B A F F F F F V0

下降了10cm，此弹簧垫共有多少根弹簧？（假设当重物放上后所有的弹簧均压缩相同的长度）。

第二讲：共点力作用下物体的平衡

（一）力的运算法则

（二）平行力的合成与分解

同向平行力的合成：两个平行力FA和FB相距AB，则合力ΣF的大小为FA+FB，作用点C满足FA×AC=FB×BC的关系。

FB

B A C C A B

FB

FA

ΣF

图1-1-3

ΣF

图1-1-4

FA 反向平行力的合成：两个大小不同的反向平行力FA和FB（FA＞FB）相距AB，则合力ΣF的大小为FA－FB同向，作用点C满足FA×AC=FB×BC的关系。

（三）共点力作用下物体平衡条件：这些力的合力为零，即ΣF=0。

（四）三力汇交原理

若一个物体受三个非平行力作用而处于平衡状态，则这三个力必为共点力。

本节内容重点是充分运用共点力平衡条件及推论分析和计算处于平衡态下物体受力问题，竞赛中还应掌握如下内容和方法：①力的矢量三角形法：物体受三个共点力作用而平衡时，这三力线相交，构成首尾相连封闭的三角形，问题化为解三角形，从而使问题得以简化；②摩擦平衡问题，由临界状态寻求突破口；③竞赛中物体受力由一维向二维或三维拓展，空间力系平衡问题转化为平面力系平衡问题求解。

【例题1】如右图所示，匀质球质量为M、半径为R；匀质棒B质量为m、长度为l。求它的重心。 B R A 【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出重心C。C在AB连线上，且AC·M=BC·m；

第二种方法是：将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为-M的球A?的合成，用反向平行力合成的方法找出重心C，C在AB连线上，且BC·（2M+m）

l??M?R??2??M?mA R+l/2 C B mg Mg 。

A =A?C·M。不难看出两种方法的结果都是BC?（M+m）g Mg C B A?【例题2】如图所示，一轻绳跨过两个等高的轻定滑轮（不计大小和摩擦），两端分别挂上质量为m1=4kg和m2=2kg的物体，如图，在滑轮间绳上悬挂物体m为了使三个物体能保持平衡，则m的取值范围多大？

m1 ΣF C （2M+m）g θ1 θ2 m2 m

【例题3】如图所示，直角斜槽间夹角为90°，对水平面的夹角为θ，一横截面为正方形的物块恰能沿此槽匀速下滑。假定两槽面的材料和表面情况相同，试求物块与槽面间的滑动摩擦因数μ多大？

【例题4】如图所示，三个相同的光滑圆柱体，半径为r，推放在光滑圆柱面内，试求下面两个圆柱体不致分开时，圆柱面的半径R应满足的条件。

【练习】

1、如图所示，长为L=5m的细绳两端分别系于竖直地面上相距X=4m的两杆的顶端A、B，绳上挂一光滑的轻质挂钩，下端连着一个重为G=12N的重物，平衡时绳中张力T等于

B

A R r θ 多少牛顿？

2、如图所示，小圆环重为G，固定的大环半径为R轻弹簧原长为l（l<2R），其劲度系数为k，接触光滑，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ应为多大？

A θ O B C 3、如图所示，一轻杆两端固结两个小球A和B，A、B两球质量分别为4m和m，轻绳长为L，求平衡时OA、OB分别为多长？（不计绳与滑轮间摩擦）

A 4mg O B mg 4、如图所示，n个完全相同的正方体木块一个紧挨一个排列成一条直线放在水平地面上，正方体木块与水平地面的滑动摩擦因数为μ，现用一水平力F推第一块木块，使这n块木块一起做匀速直线运动，则第k块木块对第k+1块木块的作用力为多大？

5、如图所示，物体m在与斜面平行的拉力F作用下，沿斜面匀速上滑，在这过程中斜面在水平地面上保持静止。已知物体、斜面的质量分别为m、M，斜面倾角为θ，试求：（1）斜面所受地面的支持力；（2）斜面所受地面的摩擦力。

第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心

【知识要点】

（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。

（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL，单位“牛·米”。一般规定逆

F m θ M F 1 2 3 4 … n 时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。

（三）有固定转轴物体的平衡条件

作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即ΣM=0，或ΣM逆=ΣM顺。

（四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。

计算重心位置的方法：

1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。（见上一讲）

3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m1和m2的A、B两质点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为：

xC?m1x1?m2x2m1?m2y y2 yC y1 O B A C x yC?m1y1?m2y2m1?m2

一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系，其重心C位置由如下公式求得：

xC??mixi?mix1 xC x2 yC??miyi?mi zC??mizi?mi

本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。

【例题1】如图所示，c为杆秤秤杆系统的重心，a为杆称的定盘星，证明：无论称杆的粗细如何变化，杆秤的刻度沿杆轴线的方向总是均匀分布的。

【例题2】（第十届全国预赛）半径为R，质量为m1的均匀圆球与一质量为m2的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡。如图所示，已知悬点A到球心O的距离为L，若不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD和竖直方向的夹角θ。

E D θ C a o A c d O O? 【例题3】（第十届全国决赛）用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L，横截面为h?L4的正方形，求

此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽），试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。

练习题：1、如图所示，木棒的一端用一根足够短的绳子拴住悬挂在天花板上，另一端搁在滑动摩擦因数为μ的水平木板上，木板放在光滑的水平面上，若向右匀速拉出木板时的水平拉力为F1，向左匀速拉出时的水平拉力为F2，两种情况下，木棒与木板间的夹角均保持为θ不变，试比较F1和F2的大小？

O

A B F1 2、（99上海）如图所示，是一种手控制动器，a是一个转动着的轮子，bθ是摩擦制动片，C是杠杆，O是其固定转动轴，手在A点施加一作用力F时，b将压紧轮子使轮子制动，若使轮子制动需要的力矩是一定的，则下列说法正确的是： A、轮a逆时针转动时，所需力F小 B、轮a顺时针转动时，所需力F小

C、无论轮a逆时针还是顺时针转动所需的力F相同 D、无法比较力F的大小

A O

S H F

a b C 3、（99上海）如图所示，质量不计的杆O1B和O2A长度均为L，O1和O2为光滑固定转轴，A处有一凸起物搁在O1B中点，B处用绳子系在O2A的中点，此时两短杆结合成一根长杆，今在O1B杆上C点（C为AB中点）悬挂重为G的物体，

O2 则在A处受到的支承力大小为 ；B处受绳拉力大小A O1 为 。

C B 4、（第7届全国决赛）一薄壁圆柱形烧杯，半径为r，质量为m，重心位于中心线上，离杯底的距离为H，今将水慢慢注入杯中，

问烧杯连同杯内的水共同重心最低时水面离杯底的距离等于多少？（设水的密度为ρ）

5、为保证市场的公平交易，我国已有不少地区禁止在市场中使用杆秤。杆秤确实容易为不法商贩坑骗顾客提供可乘之机。请看下例。

秤砣质量为1千克，秤杆和秤盘总质量为0.5千克，定盘星到提纽的距离为2厘米，秤盘到提纽的距离为10厘米（图9）。若有人换了一个质量为0.8千克的秤驼，售出2.5千克的物品，物品的实际质量是多少？

6、（俄罗斯奥林匹克试题）如图所示，三根相同的轻杆用铰链连接并固定在同一水平线上的A、B两点，AB间的距离是杆长的2倍，铰链C上悬挂一质量为m的重物，问：为使杆CD保持水平，在铰链D上应施的最小力F为多大？

A C m D B 7、如图所示，一铰链由2n个相同的链环组成，每两个链环间的接触是光滑的，铰链两端分别在一不光滑的水平铁丝上滑动，它们的摩擦系数为μ，证明：当锁链在铁丝上刚好相对静止时，末个链环与铅垂线交角为tg

8、（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片AiBi（i=1，2…），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起Bi恰在碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m的质点放在薄片A6B6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A6的距离，则薄片A6B6中点所受的（由另一薄片的小突起A1所施的）压力。

第四讲：一般物体的平衡、稳度

【知识要点】

（一）一般物体平衡条件

B5 A1 B6 A2 B1 A3 B4 A6 A5 B3 A4 B2

?1?2n????。 ?2n?1?O?

O 受任意的平面力系作用下的一般物体平衡的条件是作用于物体的平面力系矢量和为零，对与力作用平面垂直的任意轴的力矩代数和为零，即：

ΣF=0 ΣM=0

若将力向x、y轴投影，得平衡方程的标量形式： ΣFx=0 ΣFy=0 ΣMz=0（对任意z轴）

（二）物体平衡种类

（1）稳定平衡：当物体受微小扰动稍微偏离平衡位置时，有个力或力矩使它回到平衡位置这样的平衡叫稳定平衡。特点：处于稳定平衡的物体偏离平衡位置的重心升高。 （2）不稳定平衡：当物体受微小扰动稍微偏离平衡时，在力或力矩作用下物体偏离平衡位置增大，这样的平衡叫不稳定平衡。特点：处于不稳定平衡的物体偏离平衡位置时重心降低。

（3）随遇平衡：当物体受微小扰动稍微偏平衡位置时，物体所受合外力为零，能在新的平衡位置继续平衡，这样的平衡叫随遇平衡。特点：处于随遇平衡的物体偏离平衡位置时重心高度不变。

（三）稳度：物体稳定程度叫稳度。一般来说，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多，这个平衡的稳度越高；重心越低，底面积越大，物体稳度越高。

一般物体平衡问题是竞赛中重点和难点，利用ΣF=0和ΣM=0二个条件，列出三个独立方程，同时通过巧选转轴来减少未知量简化方程是处理这类问题的一般方法。对于物体平衡种类问题只要求学生能用重心升降法或力矩比较法并结合数学中微小量的处理分析出稳定的种类即可。这部分问题和处理复杂问题的能力，如竞赛中经常出现的讨论性题目便是具体体现，学生应重点掌握。

【例题1】（第二届全国复赛）如图所示，匀质管子AB长为L，重为G，其A端放在水平面上，而点C则靠在高h?L2的光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角θ=45°，试求要

使管子处于平衡时，它与水平面之间的摩擦因数的最小值。

C B

h A θ

【例题2】（第一届全国决赛），如图所示，有一长为L，重为G0的粗细均匀杆AB，A端顶在竖直的粗糙的墙壁上，杆端和墙壁间的摩擦因数为μ，B端用一强度足够大且不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C点，木杆处于水平，绳和杆夹角为θ。

（1）求杆能保持水平时，μ和θ应满足的条件；

（2）若杆保持平衡状态时，在杆上某一范围内，悬挂任意重的重物，都不能破坏杆的平衡状态而在这个范围以外，则当重物足够重时，总可以使平衡破坏，求出这个范围来。

C A θ B

【例题3】如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C柱体放上去之前，A、B两柱体接触，但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ。若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？

B A C

【练习题】1、如图所示，方桌重100N，前后脚与地面的动摩擦因数为0.20，桌的宽与高相等。求：（1）要使方桌匀速前进，则拉力F、地面对前、后脚的支持力和摩擦力各是多大？（2）若前、后脚与地面间的静摩擦因数为0.60。在方桌的前端用多大水平力拉桌子可使桌子以前脚为轴向前翻倒？

F h h

2、如图所示，重30N的均匀球放在斜面上，球面上C点以绳系住，绳与地面平行，B

求绳的拉力，斜面对球的支持力和摩擦力。

C O B 37° A 3、如图所示，一光滑半球形容器直径为a，边缘恰与一光滑竖直的墙壁相切。现有一均匀直棒AB，A端靠在墙上，B端与容器底相接触，当棒倾斜至水平面成60°角时，棒恰好平衡，求棒长。

4、（芬兰奥赛试题）如图所示，一均匀木板，以倾角θ静止地放在二根水平固定木棒A和B上，两棒之间距离为d，棒与木板间静摩擦因数为μ0，当木板刚好不滑动时，求木板重心离A棒距离。

5、如图所示，将一根长为2L的硬铅丝弯成等臂直角形框架，在两臂的端点各固定一

θ d A B O B A

个质量为m的小球，在直角的顶点焊一根长为r的支杆，支杆平分这一顶角，将杆支在一支座上。试证明：当r?2L2时，平衡是随遇平衡；当r＞2L2时，平衡是不稳平衡；

当r＜2L2时，平衡是稳定平衡（不计支杆、铅丝的质量）

6、质量为50kg的杆，竖直地立在水平地面上，杆与地面的最小静摩擦因数μ为0.3，杆的上端被固定在地面上的绳牵拉住，绳与杆的夹角θ为30°，如图所示。

（1）若 水平力F作用在杆上，作用点到地面距离h1为杆长L的则力F最大不超过多少？

（2）若作用点移到h2?

第五讲：运动的基本概念、运动的合成与分解

【知识要点】 平均速度：v?x?x0ts?t?v?t?t?025，要使杆不滑倒，

4L5处时，情况又如何？

θ F L h ?st

瞬时速度：v?lim平均加速度：a??t?0

?v?t瞬时加速度：a?lim

【运动的合成与分解】

一个物体同时参与几个运动时，各个分运动可以看作是独立进行的，它们互不影响，物体的实际运动可以看成是这几个运动迭加而成的，这一原理叫运动的独立性原理。它是运动的合成与分解的依据。在进行运动的分解时，理论上，只要遵从平行四边形法则，分解是任意的，而实际中既要注意分速度有无实际意义，又要注意某一分速度能否代表所要求解的分运动的速度。分运动与分运动、分运动与合运动之间除遵从矢量运动算法则外，运动的同时性也是联系各个方向上的分运动和合运动的桥梁。

【例题1】一物体以大小为v1的初速度竖直上抛，假设它受到大小不变的恒定的空气阻力的作用，上升的最大高度为H，到最高点所用时间为t，从抛出到回到抛出点所用时间为T，回到抛出点速度大小为v2，求下列两个过程中物体运动的平均速度、平均速率、平均加速度。 （1）在上升过程中。 （2）整个运动过程中。

【例题2】高为H的灯柱顶部有一小灯，灯下有一高为h的行人由灯柱所在位置出发，沿直线方向在水平面上背离灯柱而去。设某时刻该人的行走速度为v0，试求此时行人头顶在地面的投影的前进速度v。

问m做什么运动？

v A B m H h v0 x0 v x O 【例题3】如图所示，绳AB拉着物体m在水平面上运动，A端以速度v做匀速运动，

【例题4】如图所示，两个相同的小球A、B通过轻绳绕过定滑轮带动C球上升，某时刻连接C球的两绳夹角为60°，A、B速度均为v，求此时C球的速度。

A 60° v C v B

【例题5】如图所示，一刚性杆两端各拴一小球A、B，A球在水平地面上，B球靠在竖直墙上，在两球发生滑动过程中，当杆与竖直夹角为θ时，A球速度为v，求此时B球的速度。

班级 姓名 学号

【练习】1、如图所示，细绳绕过定滑轮将重物m和小车连在一起，车以恒定速度v向右运动，当细绳与水平方向间的夹为θ时，重物上升的速度是多大？重物上升的速度和加速度如何变化？

2、甲乙两船在静水中划行速度分别为v甲、v乙，两船从同一渡口过河，若甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，结果两船在同一地点到岸，求两船过河时间之比

3、如图所示，一个不透光的球壳内有一发光点，球壳可绕垂直于纸面的水平轴以角速度ω匀速转动，由于球壳上开一小孔，因而有一细束光线在竖直面内转动，在离转轴距离为d处有一竖直墙，当光线与屏幕夹角为θ时，屏上光斑速度为多大？

t甲t乙B θ A θ v 。

θ d ω

4、如图所示，滑轮组中的小物体1、2向下的加速度分别为a1、a2，求物体3向上运动的加速度。

1 2

5、如图所示，有一河面宽L=1km，河水由北向南流动，流速v=2m/s，一人相对于河水以u=1m/s的速率将船从西岸划向东岸。

（1）若船头与正北方向成α=30°角，船到达对岸要用多少时间？到达对岸时，船在下游何处？

（2）若要使船到达对岸的时间最短，船头应与岸成多大的角度？最短时间等于多少？到达对岸时，船在下游何处？

（3）若要使船相对于岸划行的路程最短，船头应与岸成多大的角度？到达对岸时，船在下游何处？要用多少时间？

第六讲：相对运动与相关速度

【相对运动】

运动的合成包括位移、速度和加速度的合成。一般情况下把质点对地面上静止的物体的运动称为绝对运动，质点对运动参照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动，由坐标系的变换公式 vA对B?vA对C?vC对B 可得到 v绝对?v相对?v牵连。

位移、加速度也存在类似关系。

运动的合成与分解，一般来说包含两种类型，一类是质点只有绝对运动，如平抛物体的运动；另一类则是质点除了绝对运动外，还有牵连运动，如小船过河的运动。解题中难度较大的是后一类运动。求解这类运动，关键是列出联系各速度矢量的关系式，准确地作出速度矢量图。

【例题1】如图所示，两个边长相同的正方形线框相互叠放，且沿对角线方向，A有向左的速度v，B有向右的速度2v，求交点P的速度。

L 北

东

v A P B 2v

【例题2】一人以7m/s的速度向北奔跑时，感觉风从正西北方向吹来，当他转弯向东以1m/s的速度行走时，感觉风从正西南方向吹来，求风速。

【例题3】 一人站在到离平直公路距离为d=50m的B处，公路上有一汽车以v1=10m/s的速度行驶，如图所示。当汽车在与人相距L=200m的A处时，人立即以v2=3m/s的速率奔跑。为了使人跑到公路上时，能与车相遇。问：（1）人奔跑的方向与AB连线的夹角θ为多少？（2）经多长时间人赶上汽车？（3）若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑时要与车相遇，最小速度为多少？

v1 A β d B 【练习】1、一艘船在河中逆流而上，突然一只救生圈掉入水中顺流而下。经过t0时间后，船员发现救生圈掉了，立即掉转船头去寻找丢失的救生圈。问船掉头后要多长时间才能追上救生圈？

2、平面上有两直线夹角为θ（θ<90°），若它们各以垂直于自身大小为v1和v2的速度在该平面上作如图所示的匀速运动，试求交点相对于纸面的速率和相对于每一直线的速率。

2 v2 θ O 1 v1

3、如图所示，一辆汽车以速度v1在雨中行驶，雨滴落下的速率v2与竖直方向偏前θ角，求车后一捆行李不会被雨淋湿的条件。

v2 v1 L H θ

4、如图所示，AA1和BB1是两根光滑的细直杆，并排固定于天花板上，绳的一端拴在B点，另一端拴在套于AA1杆中的珠子D上，另有一珠子C穿过绳及杆BB1以速度v1匀速下落，而珠子D以一定速度沿杆上升，当图中角度为α时，珠子D上升的速度v2是多大？

D A B C α v1 行李

A1 B1

5、有A、B两艘船在大海中航行，A船航向正东，船速15km/h，B船航向正北，船速20km/h。A船正午通过某一灯塔，B船下午两点也通过同一灯塔。问：什么时候A、B两船相距最近？最近距离是多少？

6、一个半径为R的半圆柱体沿体沿水平方向向右做匀加速运动，在半圆柱体上搁置一竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动（沿图所示），当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点P与柱心连线（竖直方向）的夹角为θ，求此时竖直杆的速度和加速度。

R θ P v

7、在宽度为d的街上，有一连串汽车以速度u鱼贯驶过，已知汽车的宽度为b，相邻两车间的间距为a。如图所示，一行人想用尽可能小的速度沿一直线穿过此街，试求此人过街所需的时间。

8、一架飞机以相对于空气为v的速率从A向正北方向飞向B，A与B相距为L。假定空气相对于地速率为u，且方向偏离南北方向有一角度θ，求飞机在A、B间往返一次所需时间为多少？并就所得结果，对u和θ进行讨论。

第七讲：匀变速直线运动

【例题1】一小球自屋檐自由下落，在△t=0.2s内通过窗口，窗高h=2m，g=10m/s2，不计空气阻力，求窗顶到屋檐的距离。

【例题2】一气球从地面以10m/s的速度匀速竖直上升，4s末一小石块从气球上吊篮的底部自由落下，不计空气阻力，取g=10m/s2，求石块离开气球后在空气中运行的平均速度和平均速率。

b a d

【例题3】一物体由静止开始以加速度a1匀加速运动，经过一段时间后加速度突然反向，且大小变为a2，经过相同时间恰好回到出发点，速度大小为5m/s，求物体加速度改变时速度的大小和

【例题4】一架直升飞机，从地面匀加速飞行到高H的天空，若加速度a与每秒钟耗油量的关系式为Y=ka+β（k>0，β>0），求飞机上升到H高空的最小耗油量Q和所对应的加速度。

【练习】1、一物体做匀加速度直线运动，在某时刻的前t1（s）内的位移大小为s1（m），在此时刻的后t2（s）内的位移大小为s2（m），求物体加速度的大小。

a1a2的值

2、一皮球自h高处自由落下，落地后立即又竖直跳起，若每次跳起的速度是落地速度的一半，皮球从开始下落到最后停止运动，行驶的路程和运动的时间各是多少？（不计空气阻力，不计与地面碰撞的时间）

3、一固定的直线轨道上A、B两点相距L，将L分成n等分，令质点从A点出发由静止开始以恒定的加速度a向B点运动，当质点到达每一等分段时它的加速度增加求质点到达B点时的速度vB

4、如图所示，在倾角为θ的光滑斜面顶端有一质点A自静止开始自由下滑，与此同时在斜面底部有一质点B自静止开始以加速度a背向斜面在光滑的水平面上向左运动。设A下滑到斜面底部能沿光滑的小弯曲部分平稳地向B追去，为使A不能追上B，试求a的取值范围。

A an，试

θ

5、地面上一点有物体甲，在甲的正上方距地面H高处有物体乙，在从静止开始释放乙的同时，给甲一个初速度竖直上抛，问（1）为使甲在上升阶段与乙相遇，初速度v0为多大？（2）为使甲在下落阶段与乙相遇，初速度v0又为多大？

B

第八讲：抛物的运动

【知识要点】

抛物运动——物体在地面附近不大的范围内仅在重力作用下的运动。 平抛运动——物体水平抛出后的运动。

斜抛运动——物体斜向上或斜向下抛出后的运动。 平抛和斜抛运动的物体只受恒定的重力作用，故物体作匀变速曲线运动，其加速度为重力加速度g。

抛体运动的求解必须将运动进行分解，一般情况下是分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动，则有：

在水平方向 vx?v0cos??t ?， X?v0cos在竖直方向 vy?v0sin??gt， Y?v0sin??t?12gt

2上式中，当θ=0°时，物体的运动为平抛运动。 求解抛物运动，还可以采用其它的分解方法，比如将斜抛运动分解为初速度方向的匀速运动和竖直方向上的自由落体运动。

抛物运动是一般匀变速曲线运动的一个特例，其求解方法也是求解一般匀变速曲线运动的基本方法。尽管物体速度方向是在不断变化的，但其速度变化的方向只能在合力即重力的方向上，因此其速度变化的方向总是竖直向下的。

抛物运动的共同特点是加速度相同，因此，当研究多个抛体的运动规律时，以自由落体为参照物，则各物体的运动均为匀速直线运动，这种选择参照物的方法，能大大简化各物体运动学量之间的联系，使许多看似复杂的问题简单、直观。

【例题1】如图所示，A、B两球之间用长L=6m的柔软细绳相连，将两绳相隔t0=0.8s先后从同一地点抛出，初速均为v0=4.5m/s，求A球抛出多长时间后，连线被拉直，在这段时间内A球离抛出点的水平距离多大？（g=10m/s2）

【例题2】在与水平成θ角的斜坡上的A点，以初速度v0水平抛出一物体，物体落在同一坡上的B点，如图所示，不计空气阻力，求：（1）物体的飞行时间及A、B间距离； （2）抛出后经多长时间物体离开斜面的距离最大，最大距离多大？

v0

B θ B A

【例题3】如图所示，树上有一只小猴子，远处一个猎人持枪瞄准猴子，当猎枪击发时猴子看到枪口的火光后立即落下，不考虑空气阻力，已知猴子开始离枪口的水平距离为s，竖直高度为h，试求当子弹初速度满足什么条件时，子弹总能击中猴子。

【练习】 1、飞机以恒定的速度沿水平方向飞行，距地面高度为H。在飞行过程中释放一个炸弹，经过时间t，飞行员听到炸弹着地后的爆炸声。设炸弹着地即刻爆炸，声速为v0，不计空气阻力，求飞机的飞行速度v。

2、如图所示，在离竖直墙壁30m的地面，向墙壁抛出一个皮球，皮球在高10m处刚好与墙壁垂直碰撞，反弹后落到离墙20m的地面，取g=10m/s2，求皮球斜抛初速度和落回地面时的速度。

20m 30m v0 θ s h 3、某同学在平抛运动实验中，得出如图所示轨迹，并量出轨迹上a、b两点到实验开始前所画竖直线的距离aa??X1，bb??X2，以及ab间竖直高度h，求平抛小球的初速度。

h a/ X1 a b /X2 b

4、地面上的水龙头按如图所示的方式向上喷水，所有水珠喷出的初速度v0的大小相同，但喷射角在0°到90°范围内不等。若喷出后水束的最高位置距地面5m，试求水束落地时的圆半径。

5、从高H的一点O先后平抛两个小球1和2，球1直接恰好越过竖直挡板A落到水平地面上的B点，球2与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板并落在B点，如图所示。设球2与地面碰撞遵循的规律类似反射定律，且反弹速度大小与碰撞前相同，求竖直挡板的高度h。

O H v A h B

6、如图所示，排球场总长为18m，设球网高2m，运动员站在离网3m的线上（如图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出，球飞行中阻力不计，取g=10m/s2。（1）设击球点在3m线正上方且高度为2.5m，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？（2）若击球点在3m线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度。

7、在掷铅球时，铅球出手时离地面高度为h，若出手时速度为v0，求以何角度掷铅球时，铅球水平射程最远，最远射程多少？

18m 3m

第九讲：牛顿运动定律（动力学）

【知识要点】

2、物体初始条件对物体运动情况的影响

在受力相同的情况下，物体的初始条件不同，物体的运动情况也不同。如抛体运动，均只受重力作用，但初速度方向不同，运动情况就不同（平抛、斜抛、竖直上抛）；受力情况只决定物体的加速度。物体的运动情况必须将物体的受力情况和初速度结合一起加以考虑。 3、联接体

联接体是指在某一种力的作用下一起运动的两个或两个以上的物体。解题中要根据它们的运动情况来找出它们的加速度的关系，寻找的方法一般有两种，一种方法是从相对运动的角度通过寻找各物体运动的制约条件，从而找出各物体运动的相对加速度间的关系；另一种方法是通过分析极短时间内的位移关系，利用做匀变速运动的物体在相同时间内位移正比于加速度这个结论，找到物体运动的加速度之间的关系。 【解题思路与技巧】

牛顿运动定律建立了物体的受力和物体运动的加速度之间的关系。因此，应用时分析物体的受力情况和运动情况尤为重要。同时，要注重矢量的合成和分解。相对运动等知识的灵活运用，从而找出各物体的受力与它的加速度之间的关系。

【例题1】如图所示，竖直光滑杆上有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M、N固定于杆，小球处于静止状态，设拔去销钉M瞬间，小球加速度大小为12m/s。若不拔去销钉M而拔去销钉N瞬间，小球的加速度可能是（取g=10m/s2）

A、22m/s，竖直向上 B、22m/s，竖直向下 C、2m/s2，竖直向上 D、2m/s2，竖直向下

【例题2】如图所示，质量为M=10kg的木楔ABC静止于粗糙的水平地面上，动摩擦因数μ=0.02。在木楔的倾角θ为30°的斜面上，有一质量m=1.0kg的物块由

静止开始沿斜面下滑。当滑行路程s=1.4m时，其速度v=1.4m/s。在此过程中木楔没有动。求地面对木楔的摩擦力的大小和方向。（g=10m/s2）

B θ m M C A 2

22

M

N

【例题3】如图所示，质量均为m的两物块A、B叠放水平桌面上，B与桌面之间的动摩擦因数为μ1，一根轻绳绕过一动滑轮和两个定滑轮水平拉动A、B。动滑轮下面挂一个质量为2m，的物体C，滑轮的质量和摩擦都可忽略。

（1）如果A、B之间的摩擦力足以保证它们不发生相对滑动，那么它们之间的摩擦力为多在？

（2）如果A、B之间的动摩擦因数为μ2，且μ2无法维持A、B相对静止，那A、B的加速度各为多大？

2m C A B m m

【例题4】如图所示，两斜面重合的木楔ABC和ADC的质量均为M，AD、BC两面成水平，E为质量等于m的小滑块，楔块的倾角为α，各接触面之间的摩擦均不计，系统放在水平台角上从静止开始释放，求两斜面未分离前小滑块E的加速度。

【练习】

1、如图所示，一轻绳两端各系重物m1和m2，挂在车厢内的定滑轮上，滑轮摩擦不计，m2＞m1，m2静止在车厢地板上，当车厢以加速度a向右作匀加速运动时，m2仍在原处不动。求此时m2对地板的压力为多大？这时m2与地板间的动摩擦因数至少为多大才能维持这种状态？

2、如图所示，尖劈A的质量为mA，一面靠在光滑的竖直墙上，另一面与质量为mB的光滑棱柱B接触，B可沿光滑水平面C滑动，求A、B的加速度aA和aB的大小及A对B的压力。

3、如图所示，A、B的质量分别为m1=1kg，m2=2kg，A与小车壁的静摩擦因数μ=0.5，B与小车间的摩擦不计，要使B与小车相对静止，小车的加速度应为多大？

B α B m1 m2 E α α A D

B C

4、如图所示，A、B两个楔子的质量都是8.0kg，C物体的质量为384kg，C和A、B的接触面与水平的夹角均为45°。水平推力F=2920N，所有摩擦均忽略不计。求： （1）A和C的加速度。

（2）B对C的作用力的大小和方向。

5、如图所示，质量为M的光滑圆形滑块平放在桌面上，一细轻绳跨过此滑块后，两端各挂一个物体，物体质量分别为m1和 m2，绳子跨过桌边竖直向下，所有摩擦均不计，求滑块的加速度。

第十讲：力和直线运动

【知识要点】 1、直线运动的特点：

物体的s、v、a、F合在同一直线上，当F合与V同向时，V逐渐增大，物体做加速运动；当F合与V反向时，V逐渐减小，物体做减速运动。 2、恒力与直线运动：

（1）单个物体牛顿第二定律的分量式：

（2）物体系牛顿第二定律的分量式： 3、变力与直线运动： （1）分段运动：

Fx?max Fy?may

C 45° B 45° m1 m2 Fx?m1a1x?m2a2x????mnanx Fy?m1a1y?m2ay????mnany

在实际问题中，有时由于制约物体运动的条件发生变化而导致物体在不同阶段的受力情况不同，这时我们可以将物体的运动分为几个阶段，虽然在物体运动的整个过程中受力的情况发生变化，但每一阶段的运动中物体却是受到恒力的作用，是做匀变速运动。

（2）变力作用下物体的运动情况分析：

将弹簧与物体相连时，在物体运动过程中，弹簧的弹力大小往往发生变化，这时我们要结合物体的受力及其速度来分析物体的运动情况，尤其要抓住合外力、速度的最小和最大的状态，及合外力、速度即将反向的状态进行分析。 （例题2）

（3）特殊变力作用下的直线运动：

中学阶段主要研究的特殊变力有：与时间成正比的变力；与位移成正比的变力。 4、临界状态分析法：

如果问题中涉及到临界状态，分析时要抓住物体运动状态变化的临界点，分析在临界点的规律和满足的条件。一般来说，当物体处于临界状态时，往往具有双重特征。如在某两个物体即将分离的临界状态，一方面相互作用的弹力为零（分离的特征），另一方面又具有相同的加速度（没有分离的特征）。 （练习2） 【解题思路和技巧】

物体做直线运动时，其速度、加速度、位移及物体所受到的合外力都在同一直线上。竞赛中经常出现物体运动过程中受力的变化，这时要抓住物体受力变化的特点，从而分析出物体运动情况的变化。同时，注重数学归纳法、数列等数学知识在物理解题中的应用。 【例题1】水平传送带长度为20m，以2m/s的速度作匀速运动，已知某物体与传送带间动摩擦因数为0.1，如图所示，求物体轻轻放到传送带一端开始到达另一端所需的时间（取g=10m/s2）

v

【例题2】如图所示，质量可以不计的弹簧，平行于水平面，左端固定，右端自由；物块停放在弹簧右端的位置O（接触但不相挤压）。现用水平力把物块从位置O推到位置A，然后由静止释放，物块滑到位置B静止。下列说法中正确的有（ ）

A、物块由A到B，速度先增大后减小，通过位置O的瞬时速度最大，加速度为零 B、物块由A到B，速度先增大后减小，通过A、O之

A B O 间某个位置时速度最大，加速度为零 C、物块通过位置O以后作匀减速直线运动 D、物块通过A、O之间某个位置时，速度最大，随后作匀减速直线运动

【例题3】如图所示，A、B两木块质量分别为mA和mB紧挨着并排放在水平桌面上，A、B间的接触面是光滑的，且与水平面成θ角。A、B和水平桌面之间的静摩擦因数和动摩擦因数均为μ。开始时A、B均静止，现施一水平推力F作用于A，要使A、B向右加速运动且A、B之间不发生相对滑动，则（1）μ的数值应满足什么条件？ （2）推力F的最大值不能超过多少？（不考虑转动）

F A θ B 【例题4】一固定的斜面，倾角θ=45°，斜面长L=2.00m。斜面下端有一与斜面垂直的挡板，一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零。质点沿斜面下滑到斜面最低端与挡板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数为μ=0.20。试求此质点从开始运动到与挡板发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。

【练习】

1、有一个同学用如下方法测定动摩擦因数：用同种材料做成的AB、BD平面（如图所示），AB面为一斜面，高为h、长为L1。BD是一足够长的水平面，两面在B点接触良好且为弧形，现让质量为m的小物块从A点由静止下滑，到达B点后顺利进入水平面，最后滑到C点停止，并测量出BC=L2，小物块与两平面的动摩擦因数相

A 同，由以上数据可以求出物块与平面间的动摩擦因数μ= 。 h B C D 2、如图所示，一个弹簧台秤的秤盘和弹簧的质量都不计，盘

F 内放一个质量m=12kg并处于静止的物体P，弹簧的劲度系数为k=300N/m，现P 给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始始终向上作匀加速直线运动，在这过程中，头0.2s内F是变力，在0.2s以后的F是恒力，取g=10m/s，则物体P做匀加速运动的加速度a的大小为 m/s2，F的最小值是 N，最大值是 N。

3、光滑水平桌面上的厚木板质量为M，它的上面有一个半径为R的球穴，如图所示，槽穴的深度为R/2；一个半径为R，质量为m的小球放在球穴中，A、B点是通过球心的竖直剖面中板面与球的接触点。试分析计算，沿水平方向作用于木板的力F至少多大，球才会从球穴中翻出来？

A B 2F

4、如图所示，质量M=8kg的小车放在水平光滑的平面上，在小车右端加一水平恒力F=8N。当小车向右运动的速度达到1.5m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为m=2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2，小车足够长。求从小物块放上小车开始，经过t=1.5s小物块相对地通过的位移大小为多少？（g=10m/s2）

M m F

5、如图所示，小滑块A叠放在长为L=0.52m的平板B左端，B放在光滑水平桌面上。A、B两物体通过一个动滑轮和一个定滑轮和C物体相连，滑轮的摩擦和质量均不计。A、B、C三个物体的质量都是1kg，A、B之间的动摩擦因数为0.25。现用一个水平向左的恒力F拉B，经0.2s后A滑离B，求力F的大小。

F A B C 6、10个相同的扁木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图所示。每个木块的质量为m=0.4kg，长为L=0.50m。木块原来都静止，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数都为μ1=0.10。左边第一块木块的最左端放一块质量为M=1.0kg的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数都为μ2=0.20。现突然给铅块一个向右的速度v0=4.3m/s，使其在木块上滑行，试确定它最后是落在地面上还是停地哪一块木块上？（设铅块的大小可以忽略）

v0 L

7、如图所示，物体A质量为m，吊索拖着A沿光滑的竖直杆上升，吊索跨过定滑轮B绕过定滑轮B绕在匀速转动的鼓轮上，吊索运动速度为v0，滑轮B到竖直杆的水平距离为L0，求当物体A到B所在水平面的距离为x时，绳子的张力大小是多少？

8、如图所示，一个厚度不计的圆环A，紧套在长度为L的圆柱体B的上端，A、B两者的质量均为m。A与B之间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，其大小为kmg（k＞1）。B从离地H高处由静止开始落下，触地后能竖直向上弹起，触地时间极短，且无动能损失。B与地碰撞n次后，A与B分离。

（1）B与地第一次碰撞后，当A与B刚相对静止时，B下端离地面的高度为多少？ （2）如果H、n、k为已知，那么L应满足什么条件？

A

B L H B L0 A v0 x