二次根式

知识点1．式子a（a≥0）叫做二次根式． 1、 下列各式 ①－

4、若x,y为实数，且x?2?y?3?0，则

(x?y)2010的值为___________．

m2?1 ②3?8 ③x?1 知识点5．分母有理化及有理化因式

把分母中的根号化去，叫做分母有理化；

④5 ⑤π 是二次根式的是

两个含有二次根式的代数式相乘，?若它们的积

2、x为怎么样的值时，下列各式在实数范围内有意义 不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化

因式．

?53ab ?4x x?2?3?x ?的值 1、已知：，，试求b?2?3a?2?3x?1?xbax?5 (x?6)2 x?7?7?x 22x?6 x?12、a?3?2,b?1,则a b

3?2知识点 2．最简二次根式

同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 1、下列式子中是最简的二次根式的是：

知识点6．二次根式的运算

； ab=a·b（a≥0，b≥0）

一元二次方程

知识点1．一元二次方程的判断标准：

2、（1）18?n是整数,求自然数n的值是 （1）方程是整式方程

（2）只有一个未知数——（一元）

(2)24n整数，求正整数n的最小值是 （3）未知数的最高次数是2——（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程 知识点3．同类二次根式

22

1、下面关于x的方程中：①ax+bx+c=0；②3x-2x=1； 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数①

相同，这几个二次根式就叫同类二次根式． 1、若a?43b?1与a?4是同类二次根式，则

③x+3=

8y22x?1③a④1.7⑤②243⑥7bb（b≥0，a>0）． ?aa31222

；④x-y=0；④（x+1）= x-1．一元二次xa? b? 2、若3x?1与方程的个数是 .

22

2、若方程kx+x=3x+1是一元二次方程，则k的取值范围是_________．

2x是同类二次根式，则x= 3、若关于x的方程xk?2?k?1x?5?0是一元二3知识点4．二次根式的性质

①（a）=a（a≥0）；a?0(a0)?2

?a(a?0)

?2②a=│a│=?0(a?0)；

??a(a?0)?

2、若a<0，化简a?3?a2?______.

次方程，则k的取值范围是_________．

知识点 2．一元二次方程一般形式及有关概念

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式

ax2?bx?c?0 (a?0)，

ax2是二次项，a为二次项系数，bx是一次项，b为一次项系数，c为常数项。注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 1、将一元二次方程3x(x?1)?5(x?2)化成一般形式为_____________，其中二次项系数a=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________

1

1有意义，则x的取值范围是 2x?1

3、要使3?x?

知识点3．完全平方式

2

3、若x+mx+9是一个完全平方式，则m= ，

22

若x+6x+m是一个完全平方式，则m的值是 。 知识点4．整体运算

22

1、已知x+3x+5的值为11，则代数式3x+9x+12的值为

2、已知实数x满足x2?x?1?0则代数式3x2?3x?7的值为____________ 知识点5．方程的解

22

1、已知关于x的方程x+3x+k=0的一个根是x=-1，则k=_ __．

2、求以x1??1，x2??3为两根的关于x的一元二次方程 。

知识点6．方程的解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：降次

知识点7．一元二次方程根的判别式：??b?4ac 1、 关于x的一元二次方程x2?(m?2)x?2m?1?0.

求证：方程有两个不相等的实数根

2知识点9．一元二次方程与实际问题

1、 病毒传播问题 2、 树干问题

3、 握手问题（单循环问题） 4、 贺卡问题（双循环问题） 5、 围栏问题

6、 几何图形（道路、做水箱） 7、 增长率、折旧、降价率问题

8、 利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样） 9、 数字问题 10、折扣问题

旋转

知识点1．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度

1、如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为 ，旋转角度为 度（2）△AD D′的形状是 。

2、若关于x的方程x?2kx?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。

3、关于x的方程?m?1?x?2mx?m?0有实数根，

22则m的取值范围是 知识点8．韦达定理

2、16:50的时候，时针和分针的夹角是 度

知识点2．旋转的性质：1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；

2、将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15后得到△AB?C?，则图中阴影部分的面积

?bcx1?x2??,x1x2?(a≠0, Δ=b2-4ac≥0)

aa使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般

A 是多少？

式；（2）定理成立的条件??0 B?

B C C?2 1、 已知2x?4x?3?0的两根是x1 ,x2 ，利用根于

1122系数的关系求下列各式的值? x1?x2 x1x2知识点3．旋转对称：一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形叫(x1?1)(x2?1) (x1?x2)2

做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。

2

1、如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度．

2、如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，问此正六边形绕正六边形的中心O旋转___ ___度能与自身重合。

3、如图的图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是__

知识点4．中心对称和中心对称图形 1、如图，下列4个数字有（ ）个是心对称图形．

A．1 B．2 C．3 D．4

2.下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A、①③ B、②④ C、②③ D、①④

中知识点7．关于原点对称

填空：⑴点A（－2，1）关于x轴的对称点为A′（ ， ）；⑵点B（1，－3）与点B（1，3）关于 的对称。⑶C（－4，－2）关于y轴的对称点为C（′ ， ）；⑷点D（5，0）关于原点的对称点为D′（ ， ）。

圆

【考点1】和圆有关的概念 （1）等弦对等圆心角（ ）

（2）在同圆或等圆中，等弦对等圆心角（ ） （3）等弧对等弦( ) （4）等弦对等弧（ ） （5）等弧对等圆心角（ ） (6)直径是圆的对称轴（ ） 【考点2】垂径定理及其推论 如果一条直线满足

(1)过圆心 （2）垂直弦 （3） 平分弦 (4)平分弧（优弧和劣弧） （5）平分圆心角

知之其中两个条件可以推出三个 （知二求三）特别：当选择过圆心和平分弦时，必须强调该弦不是直径。 (1)平分弦的直径垂直于弦. （ ） (2) 垂直于弦的直径平分弦. （ ）

1、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

D

B

知识点5．作图

OE1、网格旋转90°（注意旋转的方向），中心对称，关

A

于原点对称。结合直角坐标系写出对称后坐标

C 2、找出旋转对称中心（两条对应线段垂直平分线的交

点），中心对称中心（两组对应点连线的交点） 【考点3】弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系： 1、已知A（-1，-1），B（-4，-3）C（-4，-1） （举一反三）在同圆和等圆中，等弧对等弦对等角（包(1)作△A1B1C1，使它与△ABC关于原点O中心对称； 括圆心角和圆周角） 写出A1 ，B1， C1点坐标； 【考点4】：直径所对的圆90° (3)将△ABC绕原点O逆时针旋转90o后得到△A3B3C3， 1.已知△ABC中，AB=AC，AB为⊙O的直径，BC交⊙O画出△A3B3C3，并写出A3，B3，C3的坐标 于D，求证：点D为BC中点 【考点5】知识点(4)圆内接四边形对角互补

1、如图，AB、AC与⊙O相切

于点B、C，∠A=40o，

点P是圆上异的一动点，则∠BPC的度数是

【考点6】外接圆与内切圆相关概念

三角形的外心是 三边垂直平分线 的交点，它到 三

3 个顶点 的距离相等；

三角形的内心是 三个内角平分线 的交点，它到 三边 的距离相等

1、边长为6的正三角形的内切圆半径是______，外接圆半径是

2、如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∠C=90°，AC=3，BC=4，求该内切圆的半径。

3、如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E 、F，若∠B=50°, ∠C=60°，连接OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于

【考点6】与圆有关的位置关系 【考点7】切线的性质

切线性质定理：圆的切线垂直于 过切点 的半径 【考点8】切线的证明（两种方法）

1、 已知圆上一点 “连半径，证垂直” 2、 没告诉圆与直线有交点 “作垂直，证半径”。 1、如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线。

【考点10】正多边形的计算

(n?2)?18001、 正n边形的每内角=

n36002、 正n边形的中心角=

n36003、 正n边形的外角=

n4、 边心距r 、半径R、边长a之间的关系：

aR2?r2?()2

25、 正n边形的周长C=na 6、 正n边形的面积S=nCr/2

3、求半径为6的正六边形的中心角度数 .周长和面积。

4已知⊙O1，⊙O2，⊙O3，尺规作图: (1)作出⊙O1的内接正三角形; (2)作出⊙O2的内接正四边形; (3)作出⊙O3的内接正六边形

【考点9】切线长定理

切线长相等，平分切线所成的夹角。

1、如图5，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，?BAC?30?， A（1）求?P的度数；

O（2）若BC?2cm，求PB的长。 P CB

图5

4