常青藤实验中学2013届高三数学研究性学习系列专题（思维提升·能力拓展） ①S2011?2011；②S2012?2012；③a2011?a2；④S2011?S2 6. 已知数列{an}是等比数列，首项a1＝8，令bn=log241

若数列{bn}的前7项的和S7最an，

大，且S7?S8，则数列{an}的公比q的取值范围是

变式：已知数列{an}是以3为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S10是数列?Sn?中的 唯一最小项，则数列{an}的首项a1的取值范围是 7. 记数列{an}的前n项和为Sn，若{的值为

8. 等差数列{an}和{bn}的前n项的和分别是 Sn和Tn，且

Sn}是公差为d的等差数列，则{an}为等差数列时danaaSn2n，则5=___，5=__ ?Tn3n?1b5b6Sn7n?45a，则使得n ?Tnn?3bn变式：已知等差数列{an}和{bn}的前n项的和分别是 Sn和Tn，且为正整数的n的个数为________

9.（教L35练7）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am?n,an?m，则am?n?____，

Sm?n?____；若Sm?n,Sn?m(m?n)，则Sm?n?______

nn?1n?22n10. 已知a,b是不为0的常数，a?b,n?N*，则a?ab?ab???b?

11. 在等差数列{an}中，前n项和Sn?范围是

nm，前m项和Sm?，其中m?n，则Sm?n的取值mn12. 已知数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l12011时都有ai+bj=ak+bl，则?(ai?bi)的值是 ．

2011i?1变式1 已知数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l1n时都有ai-bj=ak-bl，则?(ai?bi)的值是 ．

ni?1

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变式2 数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有aibj=akbl，记cn=n(a1?b1)(a2?b2)(a3?b3)???(an?bn)，则{cn}的通项公式为

【专题研究、方法梳理】

专题1：数列单调性问题研究 引例1：数列?an?满足an??n2?5n?3（?为实常数），其中n?N，且数列?an?为

*单调递增数列，则求实数?的取值范围为_________

变式1：通项公式为an?an2?n的数列?an?，若满足a1?a2?a3?a4?a5，且an?an?1对n?8恒成立，则实数a的取值范围是______ _______ 变式2：数列?an?满足an?______项

变式3：数列?an?满足an?n?2011n?2012（n?N），最小项为第_______项；最大项为第

*n??*（?为实常数，n?N），最大项为a8，最小项为a9，

2n?17则实数?的取值范围为__________

变式4：数列?an?的通项公式为an?n?k?n?2k，若对任意正整数n，an?a3?a4均成立，则实数k的取值范围是______________

1， 若对于一切n?1的自然数，不等式 n12an?1?an?2?...?a2n?loga(a?1)?恒成立,则实数a的取值范围为________

123*练习：设函数f(x)?logax(a?0,a?1)，数列?f(xn)?(n?N)是首项为f(a4)，公差

引例2：已知数列{an}的通项公式为an?为2的等差数列，又g(n)?xnf(xn)，数列g(n)是递减数列，则a的取值范围是 .

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常青藤实验中学2013届高三数学研究性学习系列专题（思维提升·能力拓展） 引例3：（教L34例4）已知a,b为两个正数，且a?b，设a1?且n?N时，an?*43

a?b，当n?2b1?ab，2an?1?bn?1，bn?an?1bn?1 2（1）证明：数列{an}为单调递减数列；数列{bn}为单调递增数列 （2）证明：an?1?bn?1?

专题2：数列有界性问题研究 引例：已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an?1?1(an?bn) 2an?bnan2?bn2，n?N?．

（2）设bn?1?2?bn，n?N?，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．（背景探源见专题1） an关于（1）的练习（抓住式子的整体结构特征证明数列问题，是整体思想的体现）： 1.设a1?2，an?1?2a?2*，bn?n，n?N，则数列?bn?通项公式bn=_____ an?1an?12.各项都为正数的数列?an?，其前n项的和为Sn，Sn?(Sn?1?a1)2(n?2)，若

bn?an?1an，且数列?bn?的前n项的和为Tn，则Tn= .?anan?1

关于（2）的变式（数列有界性问题）：

N*）是整数，且an+1－an是关于x的方程x2＋( an+1－2)x－2an+1设数列｛an｝满足：an（n∈

＝0的根．（1）若a1＝4，且n≥2时，4≤an≤8，求数列{an}的前100项和S100； N*）（2）若a1＝－8，a6＝1，且an＜an＋1（n∈，求数列{an}的通项公式．

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常青藤实验中学2013届高三数学研究性学习系列专题（思维提升·能力拓展） 专题3：数列周期性问题研究 引例：已知数列?an?满足an?1?an?1（n?N）

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（1）若a1?9，求数列的通项公式an； 5*（2）若a1?a??k,k?1?（k?N），用k,a表示?an?的前3k项的和S3k；

（3）是否存在a1,n0(n0?N*)，使得当n?n0时an恒为常数？若存在，求出a1和n0；若不存在，说明理由；

?an?1,an?1,??练习：数列?an?满足a1?a??0,1?，且an?1??an若对于任意的n?N，总

?2a,a?1.n?n有an?3?an成立，则a的值为 . 专题4：数列中的数阵（数表）问题研究 引例1：（2008年江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行

(n?3)从左向右的第3个数为

引例2：我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所

有空格填上1；再把一个首项为1，

12478593610????????公比为q的数列?an?依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的 数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．

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