第六章 线性空间

3．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1）次数等于n（n?1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2）设A是一个n?n实矩阵，A的实系数多项式f(A)的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体n级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

(a1,b1)?(a2,b2)?(a1?a2,b1?b2?a1a2)，

k?(a1,b1)?(ka1,kb1?k(k?1)2a12)；

6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

k???0；

7）集合与加法同6），数量乘法定义为：

k????；

8）全体正实数R?，加法与数量乘法定义为：

a?b?ab，k?a?ak．

解 1）不能构成实数域上的线性空间．

因为两个n次多项式相加不一定是n次多项式，所以对加法不封闭． 2）能构成实数域上的线性空间．

事实上，V?{f(A)|f(x)?R[x]}即为题目中的集合，显然，对任意的f(A),g(A)?V，及k?R，有

f(A)?g(A)?h(A)?V，kf(A)?(kf)(A)?V，

其中h(x)?f(x)?g(x)．这就说明V对于矩阵的加法和数量乘法封闭．容易验证，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，故V构成实数域上的线性空间．

3）能构成实数域上的线性空间．

由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，故只需证明对称（反对称，上三角）矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可．而两个对称（反对称，上三角）矩阵的和仍为对称（反对称，上三

- 1 -

角）矩阵，一个数k乘对称（反对称，上三角）矩阵也仍为对称（反对称，上三角）矩阵．于是，n级实对称（反对称，上三角）矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，都构成实数域上的线性空间．

4）不能构成实数域上的线性空间．

因为，两个不平行与某一向量?的两个向量的和可能平行于?，例如：以?为对角线的任意两个向量的和都平行于?，从而不属于题目中的集合．

5）能构成实数域上的线性空间．

事实上，显然，按照题目中给出的加法和数量乘法都封闭．容V?{(a,b)|a,b?R}即为题目中的集合．易验证，对于任意的(a,b)，(ai,bi)?V，i?1,2,3；k,l?R，有

①由于两个向量的分量在加法中的位置是对称的，故加法交换律成立； ②直接验证，可知加法的结合律也成立；

③由于(a,b)?(0,0)?(a?0,b?0?0)?(a,b)，故(0,0)是V中加法的零元素；

,a④如果(a,b)?(a1,b1)?(a?a1,b?b1?aa1)?(0,0)，则有(a1,b1)?(?a,a?b)，即(?a22b?)为

(a,b)的负元素；

⑤1?(a,b)?(1a,1b?1(1?1)2a2)?(a,b)； l(l?1)a2)?(kla,k[lb?l(l?1)2a2]?k(k?1)2(la)2)

⑥k?(l?(a,b))?k?(la,lb? ?(kla,klb?2kl(kl?1)2k(k?1)2l(l?1)2⑦k?(a,b)?l?(a,b)?(ka,kb?a)?(la,lb?a)

22k(k?1)2l(l?1)2?(ka?la,kb?a?lb?a?kla2)

22(k?1)(k?l?1)2?[(k?l)a,(k?l)b?a]

2?(k?l)?(a,b)；

⑧k?[(a1,b1)?(a2,b2)]?k?(a1?a2,b1?b2?a1a2)

a2)?(kl)?(a,b)；

?[k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?而

k(k?1)2(a1?a2)2]，

k?(a1,b1)?k?(a2,b2)?(ka1,kb1?k(k?1)2a12)?(ka2,kb2?2a12?kb2?k(k?1)?(ka1?ka2,kb1?k(k?1)- 2 -

2k(k?1)22a2)

2a2?k2a1a2)

?[k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?即k?[(a1,b1)?(a2,b2)]?k?(a1,b1)?k?(a2,b2)．

k(k?1)2(a1?a2)2]，

于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以V构成实数域上的一个线性空间．

6）不能构成实数域上的线性空间．

因为1???0??，故不满足定义的第5条规律． 7）不能构成实数域上的线性空间．

因为(k?l)?????2??????k???l??，故不满足定义的第7条规律． 8）能构成实数域上的线性空间．

由于两个正实数相乘还是正实数，正实数的指数还是正实数，故R?对定义的加法和数量乘法都是封闭的．容易验证，对于任意的a,b?R，k,l?R，有

①a?b?ab?ba?b?a；

②(a?b)?c?(ab)?c?abc?a?(bc)?a?(b?c)； ③a?1?a1?a，即1是定义的加法?的零元素； ④a??1a?a11a?1，即

1a是a的负元素；

⑤1?a?a?a；

⑥k?(l?a)?k?(a)?(a)?a?a?(kl)?a； ⑦(k?l)?a?ak?lllklkkl?akal?(k?a)?(l?a)

kkk⑧k?(a?b)?k?(ab)?(ab)?ab?(k?a)?(k?b)．

于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以R?构成实数域上的一个线性空间． 『方法技巧』直接根据定义逐条验证即可，但是也要注意验证所给的加法和数量乘法是封闭的． 4．在线性空间中，证明：

1）k0?0；

2）k(???)?k??k?．

『解题提示』利用线性空间定义的运算所满足的规律和性质．

证明 1）证法１ 由于对任意的向量?，存在负向量??，使得??(??)?0，故

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k0?k(??(??))?k??k(??)?k??k(?1)??(k?(?k))??0??0；

证法２ 对于任意的向量?，有k??k0?k(??0)?k?，左右两边再加上k?的负向量?k?，即可得k0?0；

2）利用数量乘法对加法的分配律，得到

k(???)?k??k(?????)?k?，

等式两边再加上k?的负向量?k?，即可得k(???)?k??k?． 5．证明：在实函数空间中，1,cost,cos2t是线性相关的．

『解题提示』只需要说明其中一个向量可以由其他向量线性表出即可．

证明 由于在实函数空间中，有cos2t?2cost?1，即cos2t可由另外两个向量线性表出，故

221,cos2t,cos2t是线性相关的．

7．在P4中，求向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标，设

2）?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1),?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1),??(0,0,0,1)． 解法1 设?在基?1,?2,?3,?4下的坐标为(k1,k2,k3,k4)?，则有

??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4．

2）将向量等式按分量写出，得

?k1?2k2?k3?0,?k?k?k?k?0,?1234 ?3k?k?0,24???k1?k2?k4?1.解方程组，得k1?1,k2?0,k3??1,k4?0，即为?在基?1,?2,?3,?4下的坐标．

解法2 将?1,?2,?3,?4和?作为矩阵的列构成一个矩阵

A???1,?2,?3,?4,??，

对A进行初等行变换，将其化成最简阶梯形矩阵，从而确定?与?1,?2,?3,?4的线性关系．

2）对A进行初等行变换，得到

- 4 -

?1?1?A??0??1于是???1??3．

213111000??1??10?0?????0?10????11??000100001000011??0?， ?1??0?『方法技巧』解法1，利用了待定坐标法，将线性关系转化成线性方程组，解线性方程组即可；解法2，利用了初等行变换不改变列向量之间的线性关系，将向量组构成的矩阵化成最简阶梯形矩阵，从而观察出向量的坐标．

8．求下列线性空间的维数与一组基： 1）数域P上的空间Pn?n；

2）Pn?n中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；

『解题提示』根据各个线性空间的特点，构造出这些线性空间的一组基，同时也可以给出它们的维数． 解 1）Pn?n是数域P上全体n级矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，构成的线性空间．对于任意的1?i,j?n，令Eij表示第i行第j列的元素为1，其余元素均为0的n级矩阵．根据矩阵的线性运算以及矩阵相等的定义，容易验证

Eij，i,j?1,2,?,n

是线性无关的，且任意n级矩阵A均可由它们线性表出，从而为Pn?n的一组基．于是Pn?n的维数为n．

2）仍然使用1）中的符号，并记

2S?{A?Pn?n|A??A}，T?{A?Pn?n|A???A}，N?{A?(aij)?Pn?n|aij?0,i?j}．

则，按照矩阵的加法和数量乘法，S,T,N分别表示P性空间．容易验证

①Eii，i?1,2,?,n；Eij?Eji，1?i?j?n，构成线性空间S的一组基，其维数为

n?n中全体对称、反对称、上三角矩阵全体构成的线

1?2???n?n(n?1)2．

②Eij?Eji，1?i?j?n，构成线性空间T的一组基，其维数为

1?2???(n?1)?n(n?1)2．

③Eii，i?1,2,?,n；Eij，1?i?j?n，构成线性空间N的一组基，其维数为

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1?2???n?n(n?1)2．

『方法技巧』求已知线性空间的基和维数，构造出它的一组基尤为关键，这需要注意观察线性空间元素的特征，利用线性空间中元素之间的关系进行分析．

9．在P4中,求由基?1,?2,?3,?4到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵，并求向量?在所指基下的坐标．设

??1???2 1）???3???4?(1,0,0,0),?,??1?(2,1???(0,3,?(0,1,0,0),?2 ??(0,0,1,0),??3?(5,3,??(0,0,0,1),??4?(6,6,1,1),1,0), ??(x1,x2,x3,x4)在?1,?2,?3,?4下的坐标； 2,1),1,3),??1?(1,2,?1,0),???(1,?1,1,1),?2 2）?

??3?(?1,2,1,1),???4?(?1,?1,0,1),??1?(2,1,0,1),???(0,1,2,2),?2 ??(1,0,0,0)在?1,?2,?3,?4下的坐标； ???(?2,1,1,2),?3???4?(1,3,1,2), 『解题提示』由于题目是在4维向量空间P4中讨论，这里可以采用定义法或借助第三组基求过渡矩阵；对于求?在指定基下的坐标可以采用待定系数法，也可以采用坐标变换法．

解 1）由于?1,?2,?3,?4为4维单位向量，故?i，i?1,2,3,4在基?1,?2,?3,?4下的坐标向量即为?i本身，故

?2?1A?(?1,?2,?3,?4)????1??1即为由基?1,?2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵．

031053216??6? ?1?3?又由于??(x1,x2,x3,x4)在基?1,?2,?3,?4下的坐标向量即为?本身，根据坐标变换公式，可知?在

?1,?2,?3,?4下的坐标为

?y1??x1??129?27?????yx122???A?1????112?9?y3??x3?27?900?????yx9??7?3?4??4?即

?33??x1?????23??x2?，

?18??x3????26??x4?- 6 -

4111?y?x?x?x?x4,3?191329??y?1x?4x?1x?23x,?22719233274 ?12?y?x?x,?33134?71126?y4??x1?x2?x3?x4.279327?2）由于这一题目是在4维向量空间P4中讨论，故根据本章教材内容全解的基变换一节求过渡矩阵方法（3）可知，由基?1,?2,?3,?4到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵为

A?(?1,?2,?3,?4)?1(?1,?2,?3,?4)

1?1?1??20?1???2?12?1??11????1110??02???0111???12?1?21??13?． ?11?22?令B?(?1,?2,?3,?4),C?(?1,?2,?3,?4)，则根据初等矩阵与初等变换的对应，可以构造n?2n矩阵

P=(BC)，对矩阵P实施初等行变换，当把B化成单位矩阵E时，矩阵C就化成了B?1C：

?1?2P=???1??0111?1?1211?21???11113? ?00211?11222?0?12?10001001???01001101??(E ?????00100111???00010010??于是，由基?1,?2,?3,?4到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵为

B?1C)

?1?1?1A?BC???0??04011000111??1?． ?1?0?另外，设e1,e2,e3,e4为P的单位向量组成的自然基，那么

(?1,?2,?3,?4)?(e1,e2,e3,e4)B．

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于是

?1??1?????00?1??????(1,0,0,0)?(e1,e2,e3,e4)?(?1,?2,?3,?4)B， ?0??0?????0???0?因此，?在?1,?2,?3,?4下的坐标为

1?1?1??1??y1??1??1????????y02?12?1?2??B?1??????0?． ?y3??0???1110??0?????????y00111?????0??4?类似地，构造矩阵P=(B?1并对其进行初等行变换，将B化成单位矩阵E时，矩阵??就化成了B??： ??)，

?1?1?2P=???1??01?1?11??1000???12?10?0100?????00101100???1110??00013/13??5/13??(E??2/13??3/13?B?1??)，

?y1??3?????y12?5?． 所以，??(1,0,0,0)在?1,?2,?3,?4下的坐标为????y3?13??2?????y??3??4?『方法技巧』利用n维向量空间中的向量构成矩阵，将求过渡矩阵问题转化成求一个矩阵的逆与另一个矩阵（或向量）的乘积问题，注意在计算这样的矩阵乘法时，利用初等变换与初等矩阵的对应，构造一个新的矩阵，利用初等行变换就可求得．

10．继第9题1），求一非零向量?，它在基?1,?2,?3,?4与?1,?2,?3,?4下有相同的坐标． 解 根据上一题的讨论可知，由?1,?2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵为

?2?1?A?(?1,?2,?3,?4)???1??1031053216??6?． 1??3?设所求向量为??(x1,x2,x3,x4)?，由于?1,?2,?3,?4为4维单位向量，故?在基?1,?2,?3,?4下的坐标向量即为?本身，故根据坐标变换公式，可知?在?1,?2,?3,?4下的坐标为A?．因此，如果?在两组基下的坐标相同，那么

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?1

A?1???．

左右两边乘以A，可得A???，即(A?E)??0，也就是说?是齐次线性方程组(A?E)X?0的解．利用消元法求得方程组的解为

?x1??1?????x2???k?1?， ?x3??1?????x??1??4?其中k是任意常数．

于是??(k,k,k,k)?，k是非零常数，即为所求向量．

『特别提醒』利用坐标变换公式，将求向量问题转化成了求解线性方程组问题． 11．证明：实数域作为它自身上的线性空间与第3题8）中的空间同构．

『解题提示』证明两个线性空间是同构的，只需建立这两个空间的一个双射，再验证保持运算． 证法1 设a是一个不等于1的实数．那么，显然?(x)?a是实数集R到R的映射．

如果?(x)??(y)，即a?a，两边取对数，得x?y，因此?是单射．另外，对于任意的y?R，存在x?logay，使得?(x)?alogayx?xy??y，因此?是满射．所以，?是双射．

对于任意x,y?R，k?R，有

?(x?y)?ax?y?axay?ax?ay??(x)??(y)，?(kx)?akx?(ax)k?k?(x)，

即?保持加法和数量乘法．

于是?是R到R?同构映射，从而R与R?同构．

证法2 由于R是自身上的1维线性空间，而根据习题8知，R?也是R上的1维空间，于是，根据教材中的定理12，R与R同构．

『方法技巧』证法1是按照同构的定义证明的；而证法2根据维数是线性空间的本质特征，给出了更简洁的证明．

12．设V1,V2都是线性空间V的子空间，且V1?V2，证明：如果V1的维数与V2的维数相等，那么

?V1?V2．

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证明 设dimV1?dimV2?r．那么

①如果r?0，则V1与V2都是零空间，从而，V1?V2．

②如果r?0，任取V1的一组基?1,?2,?,?r，由于V1?V2，且V1,V2的维数相等，故，根据基的定义，?1,?2,?,?r也是V2的一组基，于是V1?L(?1,?2,?,?r)?V2．

『方法技巧』这个题目的结论，在证明两个线性空间相等时经常使用． 14．设

?1?A??0?3?0110??0?， 2??求P3?3中全体与A可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基．

『解题提示』可以待定所求矩阵的元素，利用交换关系、矩阵的相等以及解线性方程组，即可求得．

?x11?解 设X??x21?x?31x12x22x32x13??x23?是与A交换的任意一个矩阵．首先将矩阵A分解成 x33???1?A??0?0?0100??0??0???0?1???30010??0??E?B． 1??由于单位矩阵E与任何矩阵都可交换，故X与A可交换当且仅当X与B可交换．事实上，由

AX?(E?B)X?EX?BX?X?BX，XA?X(E?B)?XE?XB?X?XB

可知AX?XA当且仅当BX?XB．

将BX?XB按元素写出，即为

?3x13??3x23?3x?33从而

x13x23x33x13??0??x23???0?x33???3x11?x21?x31003x12?x22?x32??0?， 3x13?x23?x33??0?x13?x23?0,?x13?x23?0,??3x?x?x?3x, 即?11?x31?3x33?3x11?x21, 213133?3x?x?x?x,?x?x?3x?x.223233331222?12?32这是一个含有9个未知数的线性方程组，取x11,x12,x21,x22,x33为自由未知量，依次取值为5维单位向量，

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得线性方程组的一个基础解系为

?10?X1??00??30?0??0??0?，X2??0?00???0??00??00?，X3??10??10?30???10??0??0?，X4??0?00???0??0??10?，X5??0?3?10???00010??0?． 1??于是X1,X2,X3,X4,X5即为所求空间的一组基，且这个空间的维数为5．

『方法技巧』本题中，利用单位矩阵的良好性质，将求与A交换的矩阵的形式转化成一个与相对简单的矩阵B可交换的形式，这能够给计算带来简便．

19．设V1与V2分别是齐次方程组x1?x2???xn?0与x1?x2???xn?1?xn的解空间，证明

Pn?V1?V2．

证法１ 由于齐次方程组x1?x2???xn?0的一组基础解系为

??1???1???1???????10?????0??1??0?,?1??1?,?,?n?1????，

?????????????0??0??0??1???????即为其解空间的一组基，从而V1?L(?1,?2,?,?n?1)．

另外，齐次方程组x1?x2???xn的一组基础解系为??(1,1,?,1)?，即为其解空间的一组基，从而V2?L(?)．

又由于向量组?1,?2,?,?n?1,?组成的n级矩阵的行列式

?1?1?10?001?0?????1100?111?(?1)n?1n?0， 11n,?n1,??P，所以，故?1,?2,?,?n?1,?线性无关，从而dimL(?1,?2,?,?n?1,?)?n，而L(?1,?2,??)根据习题12可知，P?L(?1,?2,?,?n?1,?)．

于是，V1?V2?L(?1,?2,?,?n?1)?L(?)?L(?1,?2,?,?n?1,?)?P，且

nndimPn?dimV1?dimV2，

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故P?V1?V2．

证法2 由于齐次方程组x1?x2???xn?0的一组基础解系为

n??1???1???1???????10?????0??1??0?,?1??1?,?,?n?1????，

?????????????0??0??0??1???????即为其解空间的一组基，从而V1?L(?1,?2,?,?n?1)．

另外，齐次方程组x1?x2???xn的一组基础解系为??(1,1,?,1)?，即为其解空间的一组基，从而V2?L(?)．

对于任意的??V1?V2，不妨设??k1?1?k2?2???kn?1?n?1?l?，则

k1?1?k2?2???kn?1?n?1?l??0，

按分量写开，即为

??k1?k2???kn?1?l?0,?k?l?0,1?? ?k2?l?0,?????kn?1?l?0.直接解得k1?k2???kn?1?l?0，从而??0．因此V1?V2?{0}．

所以dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?n，而显然V1?V2?P，根据习题12可知，V1?V2?P，结合V1?V2?{0}，有P?V1?V2．

证法3 设??(a1,a2,?,an)?V1?V2，即??V1且??V2，那么

nnn?a1?a2???an?0, ?a?a???a.2n?1直接解得a1?a2???an?0，即??0．因此V1?V2?{0}． 另外，对于任意的??(x1,x2,?,xn)?P，显然有

n??(x1,x2,?,xn)?(x1?x,x2?x,?,xn?x)?(x,x,?,x)，

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其中x?1n (x1?x2???xn)，且(x1?x,x2?x,?,xn?x)?V1，(x,x,?,x)?V2．所以Pn?V1?V2．

n结合V1?V2?{0}，有P?V1?V2．

『方法技巧』证法3的证明更为直接和简便．

20．证明：如果V?V1?V2，V1?V11?V12，那么V?V11?V12?V2．

证法1 由题设知，V?V11?V12?V2．由于V?V1?V2，故dimV?dimV1?dimV2．又因为

V1?V11?V12，所以dimV1?dimV11?dimV12．于是dimV?dimV11?dimV12?dimV2．因此

V?V11?V12?V2．

证法2 由题设知，V?V11?V12?V2．设0??11??12??2，其中?11?V1,?12?V2,?2?V3，那么，由0?(?11??12)??2及V?V1?V2，可得?11??12?0,?2?0．再由V1?V11?V12可得?11??12?0，于是，零向量的表示法唯一，从而V?V11?V12?V2．

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