即

f2k?2?lk?1 fk?1222222所以fk2?1?fk?2?fk?1??fk?1?fk??fk?1?2fkfk?1?fk?1?fk?f2k?2?f2k?1?f2k?3

所以，当n?k?1时，等式也成立；………………………………………………………11分 综上，由（1）、（2）知，对任意n?N均有21．（本小题满分12分）

*f2n?ln和fn2?fn2?1?f2n?1．………12分 fn??a??1?1?alnx?x???0????x?1??x?1?alnx??1?ax?alnx?a?1?x???'?解：(Ⅰ) f?x??，……1分 22?x?1??x?1?令g?x??ax?alnx?a?1，

a?0时g?x???1为常函数，不具有单调性。 ………2分

aa?x?1??0，g?x?在?1,???上单调递增； ………3分 a?0时g?x??a??xx'(Ⅱ)a?1时g?x??x?lnx?2，

e2eg?3??3?ln3?2?ln?0，g?4??4?ln4?2?ln?0 ， ………4分

43

设g?b??0，则b??3,4?。

因为此时g?x?在?1,???上单调递增可知当x??1,b?时，g?x??0；当x??b,???时，g(x)?0， 所以当x??1,b?时，f当x?b时，f?x?min'?x??0；当x??b,???时，f'?x??0，

b?1?lnb??f?b??， ……6分

b?1g?b??0，?b?lnb?2?0，即lnb?b?2，

所以f?b??b，

b??3,4?，?f?b???3,4?，

?n?3，故正整数n的值为1、2或3。 ………8分

x?1?lnx??3， (Ⅲ)由(Ⅱ)知，当a?1时，f?x??3恒成立，即

x?11?lnx?3?x?1?3?x?1?2x?33?1??2??x?1?， ，lnx?xxxx，

令x?1?n?n?1?得ln??1?n?n?1????2?331??1?2??2?3???…12分

n?n?1??1n?n?1??nn?1?

则ln?1?1?2??ln3（n?1暂时不放缩）

?11?ln?1?2?3??2?3???， ．．．．．．．．． ．．．，

?23?1??1ln?1?nn?1?2?3??????. ??nn?1??

以上n个式子相加得:

1??1ln?1?1?2??ln?1?2?3??...?ln?1?nn?1?ln3?2n?1?3???????? ???2n?1?73535?lne?2n???2n???2n?

2n?12n?12所以ln?1?1?2???1?2?3??...???1?n?n?1????2n?即?1?1?2???1?2?3??...???1?n?n?1????e2n?52??5， 2。 ……………………………12分

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 已知：如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，割线O于C、D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，CF与点E.

（Ⅰ）若OB=4,AD=

,求线段DF的长.

PCD交⊙AB交于

（Ⅱ）求证：PA·PB＝PO·PE；

【答案】（Ⅰ）在直角△ABD中,AD=AH?AB,即8=8AH,所以AH=1,BH=7,又DH=AH?HB,即DH=7,所以DF=（Ⅱ）证明：连接OD.

∵AB是⊙O的直径，弦DF与直径AB垂直， H为垂足，C在⊙O上，

∴∠DOA＝∠DCF，∴∠POD＝∠PCE. 又∵∠DPO＝∠EPC，∴△PDO∽△PEC， ∴

2

2

2

.………5分

PDPO即PD·PC＝PO·PE. ?PEPC由割线定理得PA·PB＝PD·PC，∴PA·PB＝PO·PE. ……………10分 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线C1:为极轴建立极坐标系。 （Ⅰ）求

x=?2，圆C2：?x?1???y?2??1,以坐标原点为极点， x轴的正半轴

22C1，

C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为???4???R?，设C2与C3的交点为M,N ,求?C2MN的面积

【答案】（Ⅰ）因为x??cos?,y??sin?，

∴C1的极坐标方程为?cos???2，C2的极坐标方程为

?2?2?cos??4?sin??4?0.……………………………………………5分

（Ⅱ）将?=?42??32??4?0，

?2=2，代入??2?cos??4?sin??4?0，得解得?1=22，|MN|=?12－?2=2，

因为C2的半径为1，则?C2MN的面积

11?2?1?sin45o=.……………10分 22（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知a,b为实数，且a?0,b?0， （Ⅰ）求证：(a?b?)(a?1a211?)?9； ba2（Ⅱ）求(5?2a)2?4b2?(a?b)2的最小值。 【答案】（Ⅰ）证明：因为a?0,b?0，所以

①

同理可证

由①，②结合不等式的性质得

②

……………………………5分

222222???(5?2a)?4b?(a?b)1?1?2（Ⅱ）???????(5?2a)?1?2b?1?(a?b)?2?，

2所以(5?2a)?4b?(a?b)?22225， 6当且仅当

5?2a2ba?b255??,b?， 时取等号，解得a?112121225525,b?时，(5?2a)2?4b2?(a?b)2取最小值。 12126…………………………………………10分

所以当a?

高二下学期期末数学试卷

一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的)

1．i是虚数单位，则复数A．1

21?i的虚部是( ) 1?iB．?1

C．i

D．?i

2．函数f(x)?xcosx的导数为( ) A．f'(x)?2xcosx?xsinx C．f'(x)?xcosx?xsinx 3．若(3x?A．3

0.422B．f'(x)?2xcosx?xsinx D．f'(x)?xcosx?2xsinx

221n)的展开式中各项系数和为64，那么n等于( ) xB．6

C．7

D．8

4．若a?3,b?logπ3,c?log3sinA．a?b?c

3，则( ) πC．c?a?b

D．b?c?a

B．b?a?c

5．定义在R上的函数f(x)满足f(x)??A．1

B．2

?log3(9?x),x?0，则f(3)的值为( )

f(x?1),x?0?C．－2

D．－3

6．设离散型随机变量?满足E??3，D??1，则E?3(??1)?等于( ) A．27

B．24

C．9

D．6

7．设m为常数，抛物线y?x2?2mx?m3?2m2，则当m分别取0,?3,?2时，在平面直角坐标系中图像最恰

当的是(这里省略了坐标轴)( )

A．

B．

C．

D．

8．“函数f(x)?xx?a?b是奇函数”是“a?0且b?0”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 D．充要条件

C．既不充分也不必要条件

9．现要从甲、乙、丙、丁、戊五人中选出三人担任班长、副班长、团支书三种不同的职务，且上届任职的甲、

乙、丙都不再连任原职务的方法种数为( ) ．．．．．．．A．48

B．30

C．36

D．32