1x(2)当0 2A.?0， ??2?? 2? B.? ?2? ，1? ?2? C.(1，2) 答案 (1)C (2)B D.(2，2) 解析 (1)函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B； 又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.选C. ?1?x(2)方法一 构造函数f(x)＝4和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0 ?2? 上的图像， ?1??1?可知f?? 1 即2 2则a> 2?2?，所以a的取值范围为?，1?. 2?2? 1x方法二 ∵0 2∴logax>4>1， 1 ∴0 2 x 5 x＝，则有41＝2，log1＝1， 2x12 212 显然4 思维升华 应用对数型函数的图像可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解. (1)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a与函数g(x)＝－logbx的图像可能是( ) x |lg x|，0 (2)已知函数f(x)＝?1 －x＋6，x>10，??2范围是( ) A.(1,10) C.(10,12) 答案 (1)B (2)C 解析 (1)∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1， ∵g(x)＝－logbx的定义域是(0，＋∞)，故排除A. 若a>1，则0 此时f(x)＝a是增函数，g(x)＝－logbx是增函数.故选B. ?1 (2)方法一 不妨设a 2 1 1x 若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值 B.(5,6) D.(20,24) 而abc＝11，故选C. 方法二 作出f(x)的大致图像(图略).由图像知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a ＝－c＋6，∴lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，∴abc＝c.由图知10 2∴abc∈(10,12). 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小 例3 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) 6 A.c>b>a C.a>c>b 答案 D B.b>c>a D.a>b>c 解析 由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图像得log32>log52>log72，所以a>b>c，故选D. 命题点2 解对数不等式 例4 若loga(a＋1) C.(，1) 2答案 C 解析 由题意得a>0，故必有a＋1>2a， 又loga(a＋1) 同时2a>1，所以a>.综上，a∈(，1). 22命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f(x)＝loga(3－ax). (1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax， 则t(x)＝3－ax为减函数， 2 2 2 1 B.(0，) 2 D.(0,1)∪(1，＋∞) x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a， 当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义， 即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立. 3 ∴3－2a>0.∴a<. 2 ?3?又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪?1，?. ?2? (2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数. ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数， ??3－2a>0， ∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴? ?loga3－a? ＝1， 即 7 3a<，??2?3??a＝2. 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( ) A.a>c>b C.c>b>a 2 B.b>c>a D.c>a>b (2)若f(x)＝lg(x－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( ) A.[1,2) C.[1，＋∞) log2x，x>0，??(3)设函数f(x)＝?log－x，x<0，1??2A.(－1,0)∪(0,1) C.(－1,0)∪(1，＋∞) 答案 (1)D (2)A (3)C 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2， ∴log33 log51 ∴ (2)令函数g(x)＝x－2ax＋1＋a＝(x－a)＋1＋a－a，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有 ?g1>0，????a≥1， 2 2 2 B.[1,2] D.[2，＋∞) 若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( ) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1) ?2－a>0，? 即???a≥1， 解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A. a>0，?? (3)由题意可得?log2a>loga1??2解得a>1或－1 a<0，?? 或?log－a>log2－a，1??2 2.比较指数式、对数式的大小 8