对数与对数函数

1.对数的概念

如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中__a__叫作对数的底数，__N__叫作真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaM＝nlogaM (n∈R)；

④logamM＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (2)对数的性质

①alogaN＝__N__；②logaa＝__N__(a>0且a≠1). (3)对数的重要公式

logaN①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；

logab1

②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.

logba3.对数函数的图像与性质

NnnbMNnm a>1 01时，y>0 (5)当x>1时，y<0 1

当0

当00 指数函数y＝a与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图像关于直线__y＝x__对称. 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( × ) (2)logax·logay＝loga(x＋y).( × )

(3)函数y＝log2x及y＝log13x都是对数函数.( × )

3x(4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( × ) 1＋x(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( √ )

1－x?1?(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，?，－1?，函数图像只在第一、四

?a?

象限.( √ )

1.(2015·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B.奇函数，且在(0,1)上是减函数 C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案 A

解析 易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)2?1＋x?＝ln＝ln?－1－，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选A.

x－1?1－x??124

2.设a＝log1，b＝log1，c＝log3，则a，b，c的大小关系是( )

233

33A.a

B.c

123434

解析 ∵a＝log1＝log32，b＝log1＝log3，c＝log3.log3x是定义域上的增函数，2>>，∴c

232323

33选B.

2

3.函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图像是( )

答案 B

解析 由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项B正确.

4.已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为( ) A.C.1 60200 3

B.60 D.3 20

答案 B

1111

解析 由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，而logmx＝，logmy＝，故logmz＝－logmx－logmy12244012＝

1111

－－＝，即logzm＝60. 12244060

3

5.(教材改编)若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________________.

4

?3?答案 ?0，?∪(1，＋∞)

4

?

?

3

解析 当0

433

∴01时，loga1.

44

?3?∴实数a的取值范围是?0，?∪(1，＋∞).

?4?

题型一 对数式的运算

3

11ab例1 (1)设2＝5＝m，且＋＝2，则m等于( )

abA.10 C.20

(2)lg5＋lg20的值是________. 答案 (1)A (2)1

B.10 D.100

解析 (1)∵2＝5＝m，∴a＝log2m，b＝log5m， 1111∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. ablog2mlog5m∴m＝10.

(2)原式＝lg100＝lg 10＝1.

思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.

(1)计算：

1－log63

＋log62·log618

＝________.

log64

2m＋n2

ab(2)已知loga2＝m，loga3＝n，则a答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式 1－2log63＋＝＝＝＝

1－2log63＋1－2log63＋

log63log63

＝________.

6

＋log6·log66×3

3

log64

22

＋1－log63log64

log63

2

1＋log63

log63＋1－log64

2

21－log63log66－log63log62

＝＝＝1.

2log62log62log62

mn(2)∵loga2＝m，loga3＝n，∴a＝2，a＝3， ∴a

题型二 对数函数的图像及应用

例2 (1)函数y＝2log4(1－x)的图像大致是( )

2m＋n＝(a)·a＝2×3＝12.

m2n2

4