作业2（修改2008－10）

4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为p(0?p?1),若以X表示直至掷到正、反面

都出现为止所需投掷的次数,求X的概率分布.

解 对于k?2,3,L,前k?1次出现正面,第k次出现反面的概率是pk?1(1?p),前k?1次出现反面,第k次出现正面的概率是(1?p)k?1p,因而X有概率分布

P(X?k)?pk?1(1?p)?(1?p)k?1p,k?2,3,L.

5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.

第1个能正确回答的概率是5/8,

第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)?15/56, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)?5/56, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)?1/56, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)?0.

设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X,则X有分布

0 5/8 1 15/56 2 5/56 3 1/56 X P

6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.

解 设一天中某人收到X位朋友的电子邮件,则X~B(100,0.04),一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是P(X?4). 1) 用二项分布公式计算

kP(X?4)?1?P(X?4)?1??k?0C1000.04k(1?0.04)100?k?0.5705.

3 2) 用泊松近似律计算 P(X?4)?1?P(X?4)?1??3kk100?kC0.04(1?0.04)100k?0?1??k34?4ek?0k!?0.5665.

8. 设X服从泊松分布,分布律为

P(X?k)?

?kk!e??,k?0,1,2,L.

问当k取何值时P{X?k}最大？

解 设ak?P(X?k)/P(X?k?1),k?1,2,L,则

?k?1e??/k!?ak?k???,

?e/(k?1)!k数列{ak}是一个递减的数列. 若a1?1,则P(X?0)最大.

若a1?1,则当ak?1且ak?1?1时,P{X?k}最大. 由此得

1) 若??1,则P(X?0)最大.

2) 若??1,则P{X?k}最大??/k?1且?/(k?1)?1???1?k??. 由上面的1)和2)知,无论??1或??1,都有

?不是整数?[?]P{X?k}最大?k??.

??1或??是整数?

12. 设随机变量X的概率密度为p(x)?xI[0,1)(x)?(2?x)I[1,2](x).求X的分布函数F(x),并作出p(x)与F(x)的图形. 解 F(x)??x??p(v)dv?I(??,0)(x)?0?dv?I[0,1)(x)??x ?I[1,2)(x) ?I[2,??)??(x)??0x0??0?dv??1????vdv??(2?x)dv?

0x1211x01??0?dv??vdv

0x?0??0?dv??vdv??(2?v)dv??01??20?dv

? ?I[0,1)(x)?vdv?I[1,2)(x)??vdv??(2?v)dv?I[2,??)(x)???10vdv??(2?v)dv

12? ?(x2/2)I[0,1)(x)?(2x?x2/2?1)I[1,2)(x)?I[2,??)(x).

11. 设随机变量X的概率密度为p(x)?cxI[0,10](x).求常数c和X的分布函数,并求概率P(X?16/X?10).

解 1??????p(x)dx??x100cxdx?cx2210

?50c, c?1/50.

0F(x)????p(v)dv?I[0,10)(x)?x0vx2dv?I[10,??)(x)?I[0,10)(x)?I[10,??)(x). 50100P(X?16/X?10)?P(X2?10X?16?0)?P(2?X?8)

??82xx2p(x)dx??dx??3/5.

250100288

15. 设随机变量X的密度为ce?x解 1??????2?x.求常数c.

ce?x2?xdx?c?x?t?1/2???(x?1/2)2?1/4???t2edx?ce1/4edt??????ce1/4?.

由上式得c?e?1/4??1/2.

15. 离散型随机向量(X,Y)有如下的概率分布:

Y X 0 1 2 解 X有分布

xk 0 0.1 0 0 1 0.1 0.1 0 2 0.1 0.1 0.1 3 0.1 0.1 0.2 求边缘分布.又问随机变量X,Y是否独立？ 0 0.4 1 0.2 1 0.3 2 0.3 2 0.3 3 0.4 P(X?xk) Y有分布

yk P(Y?yk) 0 0.1 因为

0?P(X?2,Y?0)?P(X?2)P(Y?0)?0.3?0.1,

所以X,Y不独立.

18． 设随机向量(X,Y)服从矩形D?{(x,y):?1?x?2,0?y?2}上的均匀分布,求条件概率P(X?1|X?Y).

1解 P(X?Y)?(6??2?2)/6?2/3,

21 P(X?Y,X?1)?(?1?1)/6?1/12,

2 P(X?1|X?Y)?

22. 随机向量(X,Y)有联合密度

p(x,y)?cx?y22P(X?Y,X?1)1/12??1/8.

P(X?Y)2/3IE(x,y),

其中E?{(x,y):0?x2?y2?R2}.求系数c和(X,Y)落在圆D?{(x,y):x2?y2?r2}内的概率. 解

x?rcos?y?rsin?21??因而c??????????p(x,y)dxdy?2??c20?x?y?R2x?y2dxdy??0?0R?2?d?cdr?2?cR

?12?R.而

P{(X,Y)?D}???p(x,y)dxdy?Dx2?y2?r2??12?Rx?y22dxdy

x?rcos?y?rsin??2?R?01r??2?0d?dr?r/R.

?27. 设X~N(?,?2),分别找出ki,使得P(??ki??X???ki?)??i.其中i?1,2,3,

?1?0.9,?2?0.95,?3?0.99.

解1 ?i?P(??ki??X???ki?)????ki???ki?221e?(x??)/(2?)dx ?2?