当a＝－1时，原方程为x＋y＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)＋(y＋4)＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．
8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．
2
2
22
?3?2252
答案 (x－2)＋?y＋?＝ ?2?4
解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)． 又因为圆与直线y＝1相切，所以2＋m＝|1－m|， 3
解得m＝－.
2
22?3?2252
所以圆C的方程为(x－2)＋?y＋?＝.
?2?4
9．(2017·广州模拟)已知圆C：x＋y＋kx＋2y＝－k，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________． 答案 (0，－1)
32?k?22
解析 圆C的方程可化为?x＋?＋(y＋1)＝－k＋1，所以当k＝0时，圆C的面积最大，
4?2?此时圆心C的坐标为(0，－1)．
10．已知点M(1,0)是圆C：x＋y－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________． 答案 x＋y－1＝0
解析 过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x＋y－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)， 1－0
∵kCM＝＝1，
2－1
∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)， 即x＋y－1＝0.
11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为22，在y轴上截得的线段长为23.
(1)求圆心P的轨迹方程； (2)若P点到直线y＝x的距离为2
，求圆P的方程． 2
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2
2
2
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2
2
解 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r， 则y＋2＝r，x＋3＝r. ∴y＋2＝x＋3，即y－x＝1. ∴P点的轨迹方程为y－x＝1.
2
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(2)设P点的坐标为(x0，y0)， 则
|x0－y0|2
＝，即|x0－y0|＝1. 22
∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.
①当y0＝x0＋1时，由y0－x0＝1，得(x0＋1)－x0＝1. ∴?
?x0＝0，?
2
2
2
2
??y0＝1，
∴r＝3.
2
2
2
∴圆P的方程为x＋(y－1)＝3.
②当y0＝x0－1时，由y0－x0＝1，得(x0－1)－x0＝1.
??x0＝0，
∴?
?y0＝－1，?
2
2
2
2
∴r＝3.
2
2
2
∴圆P的方程为x＋(y＋1)＝3. 综上所述，圆P的方程为x＋(y±1)＝3.
12．已知M为圆C：x＋y－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)若M(m，n)，求
2
2
22
2
n－3
的最大值和最小值． m＋2
2
解 (1)由圆C：x＋y－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)＋(y－7)＝8，
所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝22. 又|QC|＝?2＋2?＋?7－3?＝42>22. 所以点Q在圆C外，
所以|MQ|max＝42＋22＝62， |MQ|min＝42－22＝22. (2)可知
2
2
2
2
n－3
表示直线MQ的斜率， m＋2
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0，则
n－3
＝k. m＋2
因为直线MQ与圆C有交点， |2k－7＋2k＋3|所以≤22， 2
1＋k可得2－3≤k≤2＋3， 所以n－3
的最大值为2＋3，最小值为2－3. m＋2
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13．已知圆C：(x－3)＋(y－4)＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|＋|PA|，其中A(0,1)，
2
2
2
2
B(0，－1)，则d的最大值为________．
答案 74
解析 设P(x0，y0)，d＝|PB|＋|PA|＝x0＋(y0＋1)＋x0＋(y0－1)＝2(x0＋y0)＋2.x0＋y0为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x0＋y0)max＝(5＋1)＝36， ∴dmax＝74.
14．(2017·运城二模)已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为
5
，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为_________________． 5
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2
答案 (x＋1)＋(y＋1)＝2或(x－1)＋(y－1)＝2
解析 设圆C的方程为(x－a)＋(y－b)＝r，则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.
2
2
2
??r＝a＋1，
由题意可知?
|a－2b|5
＝，??55
2
2
r2＝2b2，
2
2
a＝－1，??
∴?b＝－1，??r2＝2
a＝1，??
或?b＝1，??r2＝2.
2
故所求圆C的方程为(x＋1)＋(y＋1)＝2或(x－1)＋(y－1)＝2.
15．(2017·广东七校联考)圆x＋y＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，13
则＋的最小值是( )
222
abA．23 C．4 答案 D
20B. 316D. 3
解析 由圆x＋y＋2x－6y＋1＝0知，其标准方程为(x＋1)＋(y－3)＝9，∵圆x＋y＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b131?13?＋3＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋3b)?＋? ab3?ab?
222222
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1?3a3b?1?
＝?1＋＋＋9?≥?10＋2
ba3??3?3a3b?16
·?＝， ba?3
3b3a当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.
abx≥0，??
16．已知平面区域?y≥0，
??x＋2y－4≤0
恰好被面积最小的圆C：(x－a)＋(y－b)＝r及其内
222
部所覆盖，则圆C的方程为______________． 答案 (x－2)＋(y－1)＝5
解析 由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部， ∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆． ∵△OPQ为直角三角形，
|PQ|
∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r＝＝5，
2因此圆C的方程为(x－2)＋(y－1)＝5.
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