得D－4F＝36，④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为
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x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 跟踪训练 (2017·广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________． 答案 x＋y－6x－2y＋1＝0或x＋y＋6x＋2y＋1＝0
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解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，
|2a|
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为27，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，
2∴d＋(7)＝r，即2a＋7＝9a，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)＋(y－1)＝9或(x＋3)＋(y＋1)＝9，即x＋y－6x－2y＋1＝0或
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x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法二 设所求圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝r， |a－b|则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，
2?a－b?22
∴r＝＋7，即2r＝(a－b)＋14.①
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由于所求圆与y轴相切，∴r＝a，②
又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③
22
a＝3，??
联立①②③，解得?b＝1，
??r2＝9
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a＝－3，??
或?b＝－1，??r2＝9.
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故所求圆的方程为(x－3)＋(y－1)＝9或(x＋3)＋(y＋1)＝9，即x＋y－6x－2y＋1＝0或
222
x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法三 设所求圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为?－，－?，
2??2122
半径r＝D＋E－4F.
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在圆的方程中，令x＝0，得y＋Ey＋F＝0. 由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E＝4F.①
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?DE???圆心?－，－?到直线y＝x的距离为
2??2?－D＋E?
?22???
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DEd＝，
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由已知得d＋(7)＝r， 即(D－E)＋56＝2(D＋E－4F)．② 又圆心?－，－?在直线x－3y＝0上，
2??2∴D－3E＝0.③
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?DE?D＝－6，??
联立①②③，解得?E＝－2，
??F＝1
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D＝6，??
或?E＝2，??F＝1.
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故所求圆的方程为x＋y－6x－2y＋1＝0或x＋y＋6x＋2y＋1＝0. 题型二 与圆有关的最值问题
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典例 已知点(x，y)在圆(x－2)＋(y＋3)＝1上，求x＋y的最大值和最小值． 解 设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即
|2＋?－3?－t|
＝1， 2
解得t＝2－1或t＝－2－1.
∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究
1．在本例的条件下，求的最大值和最小值．
解 可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
|2k＋3|
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即
k2＋12323y2323
＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－. 33x332．在本例的条件下，求x＋y＋2x－4y＋5的最大值和最小值． 解
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yxyxyxx2＋y2＋2x－4y＋5＝?x＋1?2＋?y－2?2，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)
的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点
(－1,2)的距离为34，
∴x＋y＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．
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①形如u＝
y－b型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；x－a2
②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)＋(y－b)型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 跟踪训练 已知点P(x，y)在圆C：x＋y－6x－6y＋14＝0上． (1)求的最大值和最小值； (2)求x＋y的最大值与最小值．
解 (1)方程x＋y－6x－6y＋14＝0可变形为(x－3)＋(y－3)＝4.
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yxy表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当PO(O为原点)与圆相切时，斜率最大或最小，如x图①所示．
设切线方程为y＝kx，即kx－y＝0， 由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2， |3k－3|9±214可得2＝2，解得k＝，
5k＋1
y9＋2149－214
所以的最大值为，最小值为.
x55
(2)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)＋(y－3)＝4相切时，b取得最大值或最小值，如图②所示．
|3＋3－b|由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，可得＝2，即|b－6|＝22，22
1＋1解得b＝6±22，
所以x＋y的最大值为6＋22，最小值为6－22. 题型三 与圆有关的轨迹问题
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典例 (2017·潍坊调研)已知圆x＋y＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 解 (1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
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