课时跟踪检测（六） 函数的奇偶性及周期性
（二）重点高中适用作
A级——保分题目巧做快做
业
1. （2018?长暮质检）下列函数中，既是奇函数又在（0, +8）上单调递增的是（） A. j=ex+e\x
B. j=ln(|x| + l)
sinx ? f
解析：选D 选项A, B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在（0, +8）上不
是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y=x—^是奇函数，且y=x和y=—￡在（0, + 8）上均为增函数，故丿=兀一1在（°,十8）上为增函数，所以选项D正确.
2.（2018沫芜棋拟）设函数几r）为偶函数，当xE（0, +~）^, /lx）=log2x,则人一迈） ）
A —丄
B
入 2 -2
C. 2
D?-2
解析：选B 由已知得迈）=/（边）=1002迈=*?故选B.
3?已知函数/(x)=x3+sinx+l(xeR),若f(a)=29 则f(~a)的值为( )
A. 3 B. 0 C. —1
D. -2
解析：选 B 设 F(x)=/(x)-l=x3+sinx,显然 F(?r)为奇函数，又 F(a)=f(a)-\\ = \\f 所以
F(-a)=f(-a)-\\ = -\\f 从而几一4)=0?
4?设函数/（工）是定义在R上的奇函数，且
10g2(x+l),
则 g(A-7))=()
金）=
g(x),兀VO, A. 3 B. -3 C. 2
D. -2
解析：选D因为函数JOO是定义在R上的奇函数,
10g2(x+l),
且?心）=
g(x), x<0,
所以 f(一 7)= ~f(7)= -log2(7+1)=-3,
所以 g(A—7))=g(—3)=A—3)=—A3)=—log2(3 + l)=—2,故选 D.
5?奇函数几工)的定义域为R?若f(x+2)为偶函数,且贝fJ/(8)+f(9)=()
=
A. -2
解析：选D 由函数f(x+2)为偶函数可得，f(2+x)=f(2-x)? 又f(_x)=-f(x),故f(2-x)=-f(x-2)f 所以f(2+x)=-J(x-2)f 即f(x+4)=~Ax)?
所以f(x+8)=-f(x+4)=-[-f(x)]=f(x),故该函数是周期为8的周期函数. 又函数刃*)为奇函数，故f(0)=0.
所以 f(8) +f(9) =f(0) +/(1)=0+1 = 1,故选 D?
6?已知沧)是定义在R上的周期为2的奇函数，当代(0,1)时，血:)=3*—1,则./(葺号 =()
A.A/3+1
B.y/3—1 D. —^/5+1
C. —y/3—1
解析：选 D 由题可知 f(x+2)=f(x)=-f(-x),所以乎)=/(1 008+号)=/(|)=一 ./(一|)=一/@?又当皿(0,1)时加=3*—1,所以/Q)=迈一 1,则./0乎)=一/(导=一帀 +1.
7?已知函数几兀)是奇函数，当工>0时，心)=12,则仏苛)的值为 _____________ ?
解析：由已知可得』吕)=In寺=—2, 所以?@)=几_2). 又因为兀)是奇函数，
所以侥j)= 几一右=~f()= —In 2? 答案：一In 2
28?设定义在R上的函数/U)同时满足以下条件：(l)f(x)+f(-x)=0； ?f(x)=f(x+2)；③ 当 00<1 时，f(x)=2-lf 则/Q) +/(1) +./({) +/(2) +/(|)= __________________ ?
解析：依题意知：函数/00为奇函数且周期为2, 则Ai)+f(-i)=of f(-i)=/(i)f 即/(i)=o.
x????) +f( i) +/J) +几2) =@)+o +/(- ￡)+/(o)+y@
=/?-冶)+加)+/}) =@)+几0)
=2*_1 + 2。_1
=迈一 1? 答案：^2-1
—X2+2X, X>0,
9.已知函数几r)=< 0，工=0，
是奇函数.
x+mx, x<0
(1)求实数m的值;
(2)若函数几工)在区间[一1, 口一2]上单调递增，求实数a的取值范围.
2解:⑴设*0,则一 x>0,
所以 f(-x)=-(-x)+2(-x)= -x-2x. 又人工)为奇函数，所以Jl-x)=-f(x)9 于是 xvO 时，
2f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以m=2.
(2)要使/(X)在[一 1, a-2]上单调递增，
[a~2>—l9
结合/<兀)的图象(如图所示)知I —
S—2W1,
数a的取值范围是(1,3).
10?设函数/(兀)是(一8, 4-00)±的奇函数，y(x+2)=—/<工)，当 0WxW 1 时，f(x)=x
⑴求金)的值;
(2)当一4WxW4时，求函数几兀)的图象与x轴所围成图形的面积.
解：⑴由沧+2)=-心)得，
JU+4)=/I(x+ 2) + 2] = -f(x+2)=f(x),
所以.几r)是以4为周期的周期函数， 所以
1X 4+n)=f(n—4)= —f(4—n)=—(4—n)=n—4.
(2)由几0是奇函数且f(x+2)=-f(x)f
得,/I(x-1) + 2] = -Ax-l)=/[-(x-1)], 即 f(l+x)=Al-x)?
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=l对称.
又当OWxWl B+, f(x)=xf且几对的图象关于原点成中心对称，则.心)的图象如图所示.
当一 W4时，设问的图象与工轴围成的图形面积为S,则S=4S△如=4X(|x2Xl) =4.
B级一高题目稳做准做
1?定义在R上的函数/U)满足f(x)=f(x+4)f且当兀丘(一1,0)时，f(x) =2X+|,则 Alog220)=(
A. 1
)
4 B 亏
D.
解析：选C 因为xWR,且/(—x)=—/(x),所以函数/(x)为奇函数，因为f(x)=f(x+
4),所以函数冗r)的周期为4.
所以,Alog220) =/(log220 - 4)=/(log2|)
= _34)=T，故选c?
2W+I+X3+2
2. (2018-许昌二棋)已知函数血:)=—莎门—的最大值为M,最小值为加，则M+m 等于() A. 0 C. 4
w
3
3
x=B. 2 D. 8
…2-(2+l)+x . | xf() 2闵+1
解析：选C =2+2闵 + 1，
x
设 g(x)=2kl + i，则 g(一兀)=—g(x)(xE R), /. g(x)为奇函数，
? ? g(兀)max+g(兀)min ―°?
? M=./(X)max = 2+g(X)fnax,加=./(X)min = 2+g(?t)inin, AM+/n=2+g(x)max+2+g(x)inin=4,
故选 C.
3?定义在实数集R上的函数/(x)满足f(x)+f(x+2)=^f且f(4-x)=f(x)?现有以下三个 命
题：①8是函数八工)的一个周期；②/仗)的图象关于直线x=2对称；③/仗)是偶函数.其 中正确命题的序号是 ____________ .
解析：由/U)+n兀+2)=0, 得 f(x+2)=-f(x)f 则 f(x+4)=-f(x+2)=f(x)f
即4是.您0的一个周期，8也是./(兀)的一个周期；