2020高考人教数学(理)大一轮复习检测:第八章 第七节 直线与圆锥曲线的综合问题 含解析 下载本文

答案:2

x22

10.(2018·浙江金华质检)若双曲线E:2-y=1(a>0)的离心率等于2,

a直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.

(1)求k的取值范围; (2)若|AB|=63,求k的值.

?c=2,?a2=1,?

解:(1)由?a得?2故双曲线E的方程为x2-y2=1.

?c=2,?a2=c2-1,?

??y=kx-1,

设A(x1,y1),B(x2,y2),由?22

??x-y=1,

得(1-k2)x2+2kx-2=0.①

∵直线与双曲线的右支交于A,B两点,

?Δ=(2k)-4(1-k)·

(-2)>0,

?-2∴? >0,

1-k?-2k

?1-k>0,

2

2

221-k2≠0,

∴1<k<2. (2)由①得x1+x2=

2k2

,xx=, k2-112k2-1

∴|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2 =2

(1+k2)(2-k2)

=63, 22(k-1)

55

整理得28k4-55k2+25=0,∴k2=或k2=.

745

又1<k<2,∴k=. 2

B级 能力提升练

x2y2

11.(2018·河北衡水模拟)过原点的直线l与双曲线-=-1有两个交

93点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )

?π5π?A.?,?

6??6

?ππ??π5π?

? C.?,?∪?,

2??26??6

?π5π?

? B.?,6??6

?ππ??π5π?

D.?,?∪?,?

2??26??6

解析:选B.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程y=kx,将其代入双y2x2

曲线的方程-=1,并整理得(3k2-1)x2-9=0.因为直线l与双曲线有两个

39133

交点,所以Δ=36(3k2-1)>0,所以k2>,解得k>或k<-.

333

π

设直线l的倾斜角为α,由直线l的斜率k=tan α(0≤α≤π,且α≠),

2

?ππ??π5π?

可得α∈?,?∪?,?;

2??26??6

当直线l的斜率不存在,即α=个交点.故选B.

π

时,直线l为y轴,显然与双曲线有两2

x2y2

12.(2018·江西赣州一检)已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,

23F2,过F1的直线l与双曲线相交于A,B两点,则满足|AB|=32的直线l有( )

A.1条 C.3条

B.2条 D.4条

解析:选C.由双曲线的标准方程可知点F1的坐标为(-5,0),易得过

?32?

?,F1且斜率不存在的直线为x=-5,该直线与双曲线的交点为?-5,2??

32

(-5,-),则|AB|=32,又双曲线的两顶点分别为(-2,0),(2,

20),所以实轴长为22,22<32,结合图象,由双曲线的对称性可知满足条件的直线还有2条,故共有3条直线满足条件.

x2y2

13.已知焦点在x轴上的椭圆方程为+2=1,随着a的增大,该

4aa+1椭圆的形状( )

A.越接近于圆 C.先接近于圆后越扁

B.越扁

D.先越扁后接近于圆

解析:选D.由题意知4a>a2+1且a>0, 解得2-3<a<2+3,

2a+11?1?2

又e=1-=1-?a+a?,

4a4??

因此当a∈(2-3,1)时,e越来越大, 当a∈(1,2+3)时,e越来越小. 所以椭圆形状变化为先扁后圆.

x2y2

14.(2018·洛阳市第一次统一考试)已知双曲线E:-=1,直线l交双

42

?1?

曲线于A,B两点,若线段AB的中点坐标为?2,-1?,则l的方程为________.

?

?

22

xy11??4-2=1

解析:依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有?22,两式相减

x2y2??4-2=122

x2y2y1-y21x1+x2?1?1-x21-y2

??,,-1得=,即=×.又线段AB的中点坐标是2因

422??x1-x2y1+y2

x1+x211y1-y21此x1+x2=2×=1,y1+y2=(-1)×2=-2,=-,=-,即

22x1-x24y1+y2

11?1?

直线AB的斜率为-,直线l的方程为y+1=-?x-2?,即2x+8y+7=0.

44??

答案:2x+8y+7=0

x2y2

15.设点F为椭圆C:+=1(m>0)的左焦点,直线y=x被椭圆C

4m3m442

截得弦长为.

7

(1)求椭圆C的方程;

?43?2?33?22

?+?y-?=r(r>0)与椭圆C交于A,B两点,M(2)圆P:?x+7??7??

为线段AB上任意一点,直线FM交椭圆C于P,Q两点,AB为圆P的直径,且直线FM的斜率大于1,求|PF|·|QF|的取值范围.

22xy?+=1,2212m

解:(1)由?4m3m得x=y=,

7

?y=x

故2x2+y2=224m442

=,解得m=1, 77

x2y2

故椭圆C的方程为+=1.

43(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则

??63y+y=?7

1

2

83x1+x2=-,7

22xy11??4+3=1,又?22

x2y2??4+3=1

(x1+x2)(x1-x2)(y1+y2)(y1-y2)

所以+=0.

43y1-y2

则(x1-x2)-(y1-y2)=0,故kAB==1,

x1-x2

3343

则直线AB的方程为y-=x+,即y=x+3,代入椭圆C的方

77