答案：2
x22
10．(2018·浙江金华质检)若双曲线E：2－y＝1(a＞0)的离心率等于2，
a直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围； (2)若|AB|＝63，求k的值．
?c＝2，?a2＝1，?
解：(1)由?a得?2故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
?c＝2，?a2＝c2－1，?
??y＝kx－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?22
??x－y＝1，
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
∵直线与双曲线的右支交于A，B两点，
?Δ＝（2k）－4（1－k）·
（－2）＞0，
?－2∴? ＞0，
1－k?－2k
?1－k＞0，
2
2
221－k2≠0，
∴1＜k＜2. (2)由①得x1＋x2＝
2k2
，xx＝， k2－112k2－1
∴|AB|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2 ＝2
（1＋k2）（2－k2）
＝63， 22（k－1）
55
整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝.
745
又1＜k＜2，∴k＝. 2
B级 能力提升练
x2y2
11．(2018·河北衡水模拟)过原点的直线l与双曲线－＝－1有两个交
93点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
?π5π?A.?，?
6??6
?ππ??π5π?
? C.?，?∪?，
2??26??6
?π5π?
? B．?，6??6
?ππ??π5π?
D．?，?∪?，?
2??26??6
解析：选B.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx，将其代入双y2x2
曲线的方程－＝1，并整理得(3k2－1)x2－9＝0.因为直线l与双曲线有两个
39133
交点，所以Δ＝36(3k2－1)＞0，所以k2＞，解得k＞或k＜－.
333
π
设直线l的倾斜角为α，由直线l的斜率k＝tan α(0≤α≤π，且α≠)，
2
?ππ??π5π?
可得α∈?，?∪?，?；
2??26??6
当直线l的斜率不存在，即α＝个交点．故选B.
π
时，直线l为y轴，显然与双曲线有两2
x2y2
12．(2018·江西赣州一检)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，
23F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|＝32的直线l有( )
A．1条 C．3条
B．2条 D．4条
解析：选C.由双曲线的标准方程可知点F1的坐标为(－5，0)，易得过
?32?
?，F1且斜率不存在的直线为x＝－5，该直线与双曲线的交点为?－5，2??
32
(－5，－)，则|AB|＝32，又双曲线的两顶点分别为(－2，0)，(2，
20)，所以实轴长为22，22＜32，结合图象，由双曲线的对称性可知满足条件的直线还有2条，故共有3条直线满足条件．
x2y2
13．已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋2＝1，随着a的增大，该
4aa＋1椭圆的形状( )
A．越接近于圆 C．先接近于圆后越扁
B．越扁
D．先越扁后接近于圆
解析：选D.由题意知4a＞a2＋1且a＞0， 解得2－3＜a＜2＋3，
2a＋11?1?2
又e＝1－＝1－?a＋a?，
4a4??
因此当a∈(2－3，1)时，e越来越大， 当a∈(1，2＋3)时，e越来越小． 所以椭圆形状变化为先扁后圆．
x2y2
14．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知双曲线E：－＝1，直线l交双
42
?1?
曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为?2，－1?，则l的方程为________．
?
?
22
xy11??4－2＝1
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有?22，两式相减
x2y2??4－2＝122
x2y2y1－y21x1＋x2?1?1－x21－y2
??，，－1得＝，即＝×.又线段AB的中点坐标是2因
422??x1－x2y1＋y2
x1＋x211y1－y21此x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2，＝－，＝－，即
22x1－x24y1＋y2
11?1?
直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1＝－?x－2?，即2x＋8y＋7＝0.
44??
答案：2x＋8y＋7＝0
x2y2
15．设点F为椭圆C：＋＝1(m＞0)的左焦点，直线y＝x被椭圆C
4m3m442
截得弦长为.
7
(1)求椭圆C的方程；
?43?2?33?22
?＋?y－?＝r(r＞0)与椭圆C交于A，B两点，M(2)圆P：?x＋7??7??
为线段AB上任意一点，直线FM交椭圆C于P，Q两点，AB为圆P的直径，且直线FM的斜率大于1，求|PF|·|QF|的取值范围．
22xy?＋＝1，2212m
解：(1)由?4m3m得x＝y＝，
7
?y＝x
故2x2＋y2＝224m442
＝，解得m＝1， 77
x2y2
故椭圆C的方程为＋＝1.
43(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
??63y＋y＝?7
1
2
83x1＋x2＝－，7
22xy11??4＋3＝1，又?22
x2y2??4＋3＝1
（x1＋x2）（x1－x2）（y1＋y2）（y1－y2）
所以＋＝0.
43y1－y2
则(x1－x2)－(y1－y2)＝0，故kAB＝＝1，
x1－x2
3343
则直线AB的方程为y－＝x＋，即y＝x＋3，代入椭圆C的方
77