(1)“星队”至少猜对3个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值EX. 解 (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，得E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC， 由事件的独立性与互斥性， P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P() ＝×××＋2×?4×3×4×3＋4×3?1?23231 32?××?＝. 43?所以“星队”至少猜对3个成语的概率为. (2)由题意，得随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 P(X＝0)＝×××＝， P(X＝1)＝2×＝＝， P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝， P(X＝3)＝×××＋×××＝＝， P(X＝4)＝2×＝＝， P(X＝6)＝×××＝＝. 可得随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 5 / 23 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 1 1445 7225 1441 125 121 4P 所以均值EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. 命题点2 已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值 例2 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分． (1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列； (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c. 解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6， 故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ P 2 1 43 1 34 5 185 1 96 1 36(2)由题意知η的分布列为 η P 1 a a＋b＋c2 b a＋b＋c3 c a＋b＋c所以Eη＝＋＋＝， Dη＝2·＋2·＋2·＝， 化简得??2a－b－4c＝0，?a＋4b－11c＝0. 6 / 23 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解． (2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值． (3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断． (20xx·四川)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和均值． 解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝. 7 / 23 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为 1－＝. (2)根据题意，X的可能取值为1,2,3， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X P 1 1 52 3 53 1 5因此，X的均值为EX＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×＋2×＋3×＝2. 题型二 均值与方差在决策中的应用 例3 (20xx·全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？ 8 / 23 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】