六年级奥数讲义 杰睿学校 数学VIP教师 冯宝石 电话：13121194356

【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为

626π?10?π?()?2?4π?5?60π?18π?20π?98π?307.72(平方厘米)．

2

【例 23】 (第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么

这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示) 【解析】 当圆柱的高是12厘米时体积为π?(102π)?12?22300ππ(立方厘米)

(立方厘米)．所以圆柱体的体积为

300π当圆柱的高是12厘米时体积为π?(360π122π)?10?360立方厘米或

立方厘米．

【例 24】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个

油桶的容积．(π?3.14)

【解析】 圆的直径为：16.56??1?3.14??4(米)，而油桶的高为2个直径长，即为：4?2?8(m)，故体积为100.48立方米．

【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的

底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π?3.14)

16.56m10cm

【解析】 做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的

长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：2?π?10?62.8(厘米)，

（10?4?62.8）（?10?2）?2056(平方厘米)． 原来的长方形的面积为：

【例 25】 把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面

积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？

【解析】 沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆

柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.56?2?6.28厘米，底面半径为6.28?3.14?2?1厘米，所以原来的圆柱体的体积是π?12?8?8π?25.12(立方厘米)．

【例 26】 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截

开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π?3.14)

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【解析】 从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原

来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积． (法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．

可知，圆柱体的高为50.24??3.14?22??4(厘米)，所以增加的表面积为2?4?2?16(平方厘米)； (法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.14?2?6.28厘米，所以侧面长方形的面积为50.24?6.28?8平方厘米，所以增加的表面积为8?2?16平方厘米．

【例 27】 (2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知

瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)

61084

【解析】 由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成

高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为10?8?2厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的

容积为：π?()2?(6?2)?3.14?32?100.48(立方厘米)．

24(单位：厘米)

【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，

瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？

26

【解析】 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的

6?2?3倍．所以酒精的体积为26.4π?33?1?62.172立方厘米，而62.172立方厘米?62.172毫升

?0.062172升．

【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的

数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．

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7cm4cm5cm

【解析】 由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为7?5?2cm，从而水与空着的部分的比为4:2?2:1，由

图1知水的体积为10?4，所以总的容积为40?2??2?1??60立方厘米．

【例 28】 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2

厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？

【解析】 若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之

和，因而水深为：

5???15?2???175??222?17.72(厘米)．

它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中．

于是所求的水深便是17.72厘米．

【例 29】 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着

一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？

【解析】 两个圆柱直径的比是1:2，所以底面面积的比是1:4．铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所以乙杯

中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的

【例 30】 如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的，乙容器中水的高度是锥高的

312314，即2?14?0.5(厘米)．

，比较甲、

乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？

乙甲

23

13πrh2【解析】 设圆锥容器的底面半径为r，高为h，则甲、乙容器中水面半径均为r，则有V容器?V乙水?1319π（232，

r）?223h?881πrh2，V甲水?13πrh?213π（23r）?223h?1981πrh2，

198V甲水V乙水?81881πrh?πrh2198，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的倍．

【例 31】 (2008年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为

8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是 平方米．

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20cm8cm100cm【解析】 缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：?π?????22

?20??8????π?????100?8400π(立方厘米)，薄膜展开后为一个?2??2???长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜展开后的面积为

8400π?0.04?659400平方厘米?65.94平方米．

另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．

?20??8?由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为π????π????84π(平方厘米)，展开后为一个

?2??2?22长方形，宽为0.04厘米，所以长为84π?0.04?6594厘米，所以展开后薄膜的面积为6594?100?659400平方厘米?65.94平方米．

【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4 毫

米，问：这卷纸展开后大约有多长？

【解析】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸

的厚度，而面积就是一个圆环的面积． 因此，纸的长度 ：

?纸卷侧面积纸的厚度?3.14?10?3.14?30.0422?3.14??100?9?0.04?7143.5(厘米)

所以，这卷纸展开后大约71.4米．

【例 32】 如图，ABC是直角三角形，AB、AC的长分别是3和4．将?ABC绕AC旋转一周，求?ABC扫出的

立体图形的体积．(π?3.14)

C4A

【解析】 如右上图所示，?ABC扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为3，高为4，

体积为：?π?32?4?12π?37.68．

31B3

【例 33】 已知直角三角形的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图

形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)

【解析】 以3cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm，高是3cm的圆锥体，体积为

13?3.14?4?3?50.24(cm)

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