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【解析】 对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”第8题来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加．

采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分．

第1层第2层第3层第4层第5层

从图中可以看出，第1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22个、11个、11个、6个、22个，所以总共还剩下22?11?11?6?22?72（个）小正方体．

【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体

中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？

【解析】 解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有5?5?25个，由侧面图形抽出的小正方体

有5?5?25个，由底面图形抽出的小正方体有4?5?20个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1?2?2?1?2?2?8个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有1?3?2?2?7个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1?2?1?1?2?2?7个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，25?25?20?8?7?7?4?52，所以共抽出了52个小正方体．125?52?73，所以右图中剩下的小正方体有73个．

注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事． 但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”． 这里，化虚为实的思想方法很重要． 解法二：(用“切片法”来解) 可以从上到下切五层，得： ⑴从上到下五层，如图：

⑵或者，从右到左五片，如图：

请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．

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比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即—— 如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：

第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：

第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：

【例 19】 （2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边

长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．

⑸⑺⑾⑻⑹⑵⑴⑷⑶⑼⑽

【解析】 本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：

其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．

对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我

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们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．

由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套． 对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去ABDA1、CBDC1、D1A1C1D、

而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去BACB1、DACD1)． B1A1C1B)；

BACABCDB1C1D11313A1B1DC1A1

假设左图中的立方体的棱长为a，右图中的立方体的棱长为b，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：a3?12a?a?2D1?4?a3，

12b?b?2以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为b3?13?2?23b3．

由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即b?2a．

那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：a3:b3?331213a:323??2a??1:163，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积

是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．

【例 20】 图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图⑴

能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？

图⑴ 图⑵ 【解析】 首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：

图⑴ 图⑵

对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手．

我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图⑴与图⑶的图形位置的微妙关系：

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60°160°和图3一致！

图⑶ 图⑷ 由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图⑶这个被切去了8个角后的立体图形的体积相等． 假设立方体的1条边的长度是1，那么一个角的体积是?2112?12?12?13?148

，所以切掉8个角后的体积

是1?148?8?56．

12再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为立方体来套．如果把图⑵的立体图形放入边长为

12的

的立方体里的话是可以放进去的．

12

这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为

12?12?12?148?4?1148，所以图⑵的体积是：

24，那么前者的体积是后者的?65124?20倍．

【例 21】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表

面积是多少平方米？(π取3.14)

0.511111.5

2【解析】 从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为2?3.14?1.5?14.13(立方米)，侧面积为

2?3.14?(0.5?1?1.5)?1?18.84(立方米)，所以该物体的表面积是14.13?18.84?32.97(立方米)．

【例 22】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径

是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

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