六年级奥数讲义 杰睿学校 数学VIP教师 冯宝石 电话：13121194356
第五讲 几何——立体部分
教学目标：
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查． 知识点拨：
一、长方体和正方体
如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
HEDaFCcBbGA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S长方体?2(ab?bc?ca)； 长方体的体积：V长方体?abc．
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a，那么：S正方体?6a2，V正方体?a3．
二、圆柱与圆锥 立体图形 h表面积 S圆柱?侧面积?2个底面积?2πrh?2πr2体积 V圆柱?πrh2 圆柱r S圆锥?侧面积?底面积?n360πl?πr22hr V圆锥体?13πrh2 注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 圆锥 例题精讲：
【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，
高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍
为原立方体的表面积：10?10?6?600．
【例 2】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下
各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）
【解析】 原正方体的表面积是4?4?6?96(平方厘米)．每一个面被挖
去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．
从而，它的表面积是：96?4?6?120平方厘米．
【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去
一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是
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多少？
【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：
50?50?6?15000(平方厘米)．
【例 3】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，
接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为
12厘米的正方形小
14洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么最
后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【解析】 我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：
2?2?2?8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2?2?4?16(平
方厘米)，1?1?4?4(平方厘米)，
1412?12?4?1(平方厘米)，
?14?4?1414(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：
?298?16?4?1?14(平方厘米).
【例 4】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，
共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？
【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数?2?增加的面数．
原正方体表面积：1?1?6?6(平方米)，一共锯了(2?1)?(3?1)?(4?1)?6次， 6?1?1?2?6?18(平方米)．
【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为56cm2的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表
面积的和是 cm2．
【解析】 每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增
加到原来的3倍，即表面积的和为56?3?168(cm2)．
【例 5】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25块积木【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.
设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个3?3?3的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.
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【例 6】 要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如
何打包？
⑴当 b?2h时，如何打包？ ⑵当 b?2h时，如何打包？ ⑶当 b?2h时，如何打包？
【解析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积?正面周长?长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2
的正面周长是8h?6b，图3的周长是12h?4b.两者的周长之差为2（b?2h）.
当b?2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b?2h时，按图2打包；当b?2h时，按图3打包.
ahb图1图2图3
【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ 【解析】 考虑所有的包装方法，因为6?1?2?3，所以一共有两种拼接方式：
第一种按长宽高1?1?6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.
第二种按长宽高1?2?3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法.
其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.
【例 7】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．
【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方
体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：5?5?2?50(平方分米)；侧面：5?5?4?100(平方分米)，4?4?4?64(平方分米)．这个立体图形的表面积为：50?100?64?214(平方分米)．
【例 8】 (2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧
贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
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【解析】 (法1)四个正方体的表面积之和为：(1?2?3?5)?6?39?6?234(平方厘米)，
2222重叠部分的面积为：12?3?(22?2?12)?(32?22?12)?(32?22?12)?3?9?14?14?40(平方厘米)，
所以，所得到的多面体的表面积为：234?40?194(平方厘米)．
(法2)三视图法．从前后面观察到的面积为52?32?22?38平方厘米,从左右两个面观察到的面积为2225?3?34平方厘米，从上下能观察到的面积为5?25平方厘米． 表面积为?38?34?25??2?194(平方厘米)．
【例 9】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的
表面积．
【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面
?2个左面?2个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9?8?10)?2?54(平方厘米)．
上下面
左右面
前后面
【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?
【解析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．
该图形的表面积等于(9?7?7)?2?46个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．
【例 10】 有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成
红色的表面积．
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