2016年江苏省南通市如皋市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．﹣5的相反数是（ ） A．﹣5 B．5
C．
D．﹣
2．如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=（ ）
A．70° B．90° C．110° D．80° 3．下列计算正确的是（ ） A．2a2+a2=3a4
B．a6÷a2=a3 C．a6?a2=a12 D．（﹣a6）2=a12
4．长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ）
A．3 B．4 C．12 D．16
5．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ） A．摸出的三个球中至少有两个球是黑球 B．摸出的三个球中至少有两个球是白球 C．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 D．摸出的三个球中至少有一个球是白球
6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（ ）
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A． B．2 C．2 D．1
7．已知ab=4，若﹣2≤b≤﹣1，则a的取值范围是（ ） A．a≥﹣4
B．a≥﹣2
C．﹣4≤a≤﹣1 D．﹣4≤a≤﹣2
8．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
9．求一元二次方程x2+3x﹣1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x3﹣x﹣1=0的解的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．AC=2CD，如图，△ABD内接于⊙O，点C在线段AD上，点E在则AE等于（ ）
EC=1，上，∠ECD=∠ABD，
A．
B． C． D．2
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二、填空题（本大题共8题，每题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．2016年1月19日，国家统计局公布：2015年南通市生产总值GDP达6120亿，同比增长9%，居全国第24名．6120亿用科学记数法可表示为 ． 12．已知∠A=55°，则∠A的余角等于 度． 13．函数y=
中，自变量x的取值范围是 ．
14．已知多边形的每个内角都等于135°，求这个多边形的边数是 ．（用两种方法解决问题）
15．如图，直线y=3x和y=kx+2相交于点P（a，3），则不等式3x≥kx+2的解集为 ．
16．已知一个圆锥的侧面积是2πcm2，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为 cm（结果保留根号）．
17．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF= 60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是 ．
18．若实数a、b满足a2+ab+b2=1，且t=ab﹣a2﹣b2，则t的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（1）计算2﹣1﹣（2）化简
+（
﹣2）0+．
；
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20．解方程组．
21．为了了解某校学生对球类运动的爱好情况，采用抽样的方法，从足球、篮球、羽毛球、排球等四个方面调查了若干名学生，并绘制成不完整的条形图．已知最喜欢篮球的人数占调查人数的32%，最喜欢排球的人数是最喜欢足球人数的1.5倍．
（1）最喜欢排球的人数是 ，被调查的学生数是 ； （2）将条形图补充完整；
（3）若用扇形图表示统计结果，则最喜欢羽毛球的人数所对应扇形的圆心角为 度．
22．如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据：
≈1.732）
23．如图①，一个可以自由转动的转盘被平均分为4份．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指位置（指针指向两扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．如图②，一个不透明的口袋中装有3个完全相同的小球，分别标着数﹣1，2，3．
（1）请你在转盘的四个扇形中分别填入一个适当的实数，使得转动的转盘停止后，指针指向负数的概率为；
（2）在（1）的情况下，转动的转盘停止后，指针指向的数记为m；从口袋中随机摸出一个小球，将标着的数记为n．求点（m，n）落在第四象限的概率．
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24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结OP． （1）求证：BD=DC； （2）求∠BOP的度数．
25．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交 AB于点Q，连接QE．
（1）求证：四边形AEPQ为菱形；
（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？
26．光明初中学生中午用餐需长时间排队等候．经调查统计发现，每天开始售饭时，约有300名学生排队等候购饭，同时有新的学生不断进入餐厅等候购饭，新增购饭人数y（人）与售饭时间x（分）的函数关系如图①所示；每个窗口购完饭的人数y（人）与售饭时间x（分）的函数关系如图②所示．某天餐厅里等候购饭的人数y（人）与售饭时间x（分）的函数关系如图③所示，已知开始售饭后的a分钟内开放了两个窗口． （1）求a的值；
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（2）求售饭到第60分钟时，餐厅排队等候购饭的学生数；
（3）该校本着“以人为本，方便学生”的宗旨，决定增设售饭窗口．若要在开始售饭后半小时内让所有排队购饭的学生都能购到饭，以便后来到餐厅的学生能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售饭窗口？
27．如图，?ABCD中，AD=3cm，AB=5cm，BD⊥AD．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，同时点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，它们运动的速度为1cm/s．设运动的时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），当点Q运动到点A时，P，Q都停止运动． （1）若∠PCD=∠QCB时，求x的值； （2）求y与x的函数关系式；
（3）若4≤y≤5.5时，请直接写出x的取值范围．
28．已知抛物线y=ax2﹣4ax+3和直线y=bx﹣4b+3相交于一定点A． （1）求点A的坐标；
（2）设抛物线y=ax2﹣4ax+3与y轴的交点为B，直线y=bx﹣4b+3和直线OA分别与抛物线的对称轴相交于点C，D．问否存在一点C，使A，C，D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线y=ax2﹣4ax+3过点（2，﹣1），直线y=bx﹣4b+3与抛物线的另一个交点为P，若△POA的面积等于
，求a和b的值．
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2016年江苏省南通市如皋市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．﹣5的相反数是（ ） A．﹣5 B．5
C．
D．﹣
【考点】相反数． 【专题】常规题型．
【分析】根据相反数的定义直接求得结果． 【解答】解：﹣5的相反数是5． 故选：B．
【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2．如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=（ ）
A．70° B．90° C．110° D．80°
【考点】平行线的判定与性质；对顶角、邻补角；直角三角形的性质．
【分析】首先根据垂直于同一条直线的两直线平行可得a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠3．根据对顶角相等可得∠2=∠3，利用等量代换可得到∠2=∠1=70°． 【解答】解：∵直线a⊥直线c，直线b⊥直线c， ∴a∥b， ∴∠1=∠3， ∵∠3=∠2，
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∴∠2=∠1=70°． 故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定方法与性质定理．
3．下列计算正确的是（ ） A．2a2+a2=3a4
B．a6÷a2=a3 C．a6?a2=a12 D．（﹣a6）2=a12
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【专题】计算题．
【分析】分别根据同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．
【解答】解：A、2a2+a2=3a2，故本选项错误； B、a6÷a2=a4，故本选项错误； C、a6?a2=a8，故本选项错误；
D、符合幂的乘方与积的乘方法则，故本选项正确． 故选D．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键．
4．长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ）
A．3 B．4 C．12 D．16
【考点】由三视图判断几何体．
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【分析】根据物体的主视图与俯视图可以得出，物体的长与高以及长与宽，进而得出左视图面积=宽×高．
【解答】解：由主视图易得高为1，由俯视图易得宽为3． 则左视图面积=1×3=3， 故选：A．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状，利用主视图确定物体的长与高；俯视图确定物体的长与宽是解题关键．
5．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ） A．摸出的三个球中至少有两个球是黑球 B．摸出的三个球中至少有两个球是白球 C．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 D．摸出的三个球中至少有一个球是白球 【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，可得答案． 【解答】解：A、摸出的三个球中至少有两个球是黑球是随机事件，故A错误； B、摸出的三个球中至少有两个球是白球是随机事件，故B错误； C、摸出的三个球中至少有一个球是黑球是必然事件，故C正确； D、摸出的三个球中至少有一个球是白球是随机事件，故D错误； 故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（ ）
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A． B．2 C．2 D．1
【考点】正方形的性质． 【专题】压轴题．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的
倍求解即可．
【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线， ∴∠ADB=∠CGE=45°， ∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°， ∴△DGT是等腰直角三角形， ∵两正方形的边长分别为4，8， ∴DG=8﹣4=4， ∴GT=故选B．
【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质．
7．已知ab=4，若﹣2≤b≤﹣1，则a的取值范围是（ ） A．a≥﹣4
B．a≥﹣2
C．﹣4≤a≤﹣1 D．﹣4≤a≤﹣2
×4=2
．
【考点】不等式的性质．
【分析】根据已知条件可以求得b=，然后将b的值代入不等式﹣2≤b≤﹣1，通过解该不等式即可求得a的取值范围． 【解答】解：由ab=4，得
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b=，
∵﹣2≤b≤﹣1， ∴﹣2≤≤﹣1， ∴﹣4≤a≤﹣2． 故选D．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 【解答】解：连接BD． 则BD=则tanA=
，AD=2=
， =．
故答案是D．
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【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
9．求一元二次方程x2+3x﹣1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x3﹣x﹣1=0的解的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据题意断方程x3﹣x﹣1=0的解的个数可以转化为确定y=x2﹣1和y=的交点坐标即可．【解答】解：由x3﹣x﹣1=0得：x3﹣x=1 方程两边同时除以x得：x2﹣1=，
在同一坐标系中作出y=x2﹣1和y=的图象为：
观察图象有一个交点，
∴可以判断方程x3﹣x﹣1=0的解的个数有1个， 故选B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和二次函数的图象，解题的关键是将方程转化为求图象的交点情况．
10．AC=2CD，如图，△ABD内接于⊙O，点C在线段AD上，点E在则AE等于（ ）
EC=1，上，∠ECD=∠ABD，
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A． B． C． D．2
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】连接DE，由圆周角定理和已知条件得出∠ECD=∠ABE，再由公共角相等，证出△CDE∽△EDA，得出对应边成比例算，即可得出结果．
【解答】解：连接DE，如图所示： ∵∠AED=∠ABD，∠ECD=∠ABD， ∴∠ECD=∠ABE， 又∵∠EDC=∠ADE， ∴△CDE∽△EDA， ∴
∵AC=2CD，
设CD=x，则AC=2x，AD=3x， ∴DE2=AD?CD=3x2， ∴DE=∴解得：AE=故选：C．
x， ， ； ，
，设CD=x，则AC=2x，AD=3x，求出DE，代入比例式计
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【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定及圆周角定理的运用，根据圆周角定理得出两角相等是证明三角形相似的前提，根据相似性质得到对应边成比例是关键．
二、填空题（本大题共8题，每题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．2016年1月19日，国家统计局公布：2015年南通市生产总值GDP达6120亿，同比增长9%，居全国第24名．6120亿用科学记数法可表示为 6.12×1011 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：6120亿=612000000000=6.12×1011． 故答案为：6.12×1011．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．已知∠A=55°，则∠A的余角等于 35 度． 【考点】余角和补角．
【分析】由余角定义得∠A的余角为90°减去55°即可． 【解答】解：由余角定义得：90°﹣55°=35°． 故答案为：35．
【点评】本题考查了角的余角，由其定义很容易解得．
13．函数y=
中，自变量x的取值范围是 x＜3 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，3﹣x＞0， 解得x＜3． 故答案为：x＜3．
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【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．已知多边形的每个内角都等于135°，求这个多边形的边数是 9 ．（用两种方法解决问题） 【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和公式，可得方程，根据解方程，可得答案；
根据正多边形的外角相等，可得每一个外角，根据多边形的外角和除以一个外角，可得答案． 【解答】解：解法一：设这个多边形是n边形，由题意，得 （n﹣2）×180°=135°n， 解得n=9． 解法二：
由正多边的性质，得
每个外角等于=180°﹣135°=45° 外角和除以一个外角，得 360°÷45°=9． 故答案为：9．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，利用了多边形的内角和公式，外角和公式．
15．如图，直线y=3x和y=kx+2相交于点P（a，3），则不等式3x≥kx+2的解集为 x≥1 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】先把点P（a，3）代入直线y=3x求出a的值，故可得出P点坐标，再根据函数图象进行解答即可．
【解答】解：∵直线y=3x和直线y=kx+2的图象相交于点P（a，3），
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∴3=3a，解得a=1， ∴P（1，3），
由函数图象可知，当x≥1时，直线y=3x的图象在直线y=kx+2的图象的上方， 即当x≥1时，3x≥kx+2． 故答案为x≥1．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
16．已知一个圆锥的侧面积是2πcm2，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为 果保留根号）． 【考点】圆锥的计算．
【分析】利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为R， π×R2÷2=2π， 解得：R=2，
∴圆锥侧面展开图的弧长为：2π， ∴圆锥的底面圆半径是2π÷2π=1， ∴圆锥的高为故答案为
．
．
cm（结
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
17．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF= 60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是 3
．
【考点】菱形的性质．
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【分析】首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得△AEF是等边三角形，当AE⊥BC时得出△AEF的面积最小值即可． 【解答】解：当AE⊥BC时， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ACB=60°， ∴∠B=∠ACF=60°， ∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD， ∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD， ∴∠AEB=∠AFC， 在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴AE=AF， ∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形， ∵当AE⊥BC时，AB=4， ∴AE=
，
，
∴△AEF的面积最小值=故答案为：
．
【点评】此题考查了菱形的性质，关键是根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质解答．
18．若实数a、b满足a2+ab+b2=1，且t=ab﹣a2﹣b2，则t的取值范围是 ﹣3≤t≤﹣ ． 【考点】根与系数的关系．
【分析】首先将两式进行相加再相减，得出a+b，ab有关t的关系式，再构造一元二次方程，利用根的判别式大于等于0解决．
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【解答】解：∵，
∴解得：ab=∵a2+b2=∴（a+b）2=∴﹣3≤t，
， ， ≥0，
假设a，b是关于x的一元二次方程的两个根， ∴x2+（a+b）x+ab=0， ∴x2+
x+
=0，
∵b2﹣4ac≥0，
﹣2（t+1）≥0， 解得：t≤
．
．
则t的取值范围是：﹣3≤t≤故答案为：﹣3≤t≤
．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，利用两根构造一元二次方程，根据根的判别式求解，是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（1）计算2﹣1﹣（2）化简
+（
﹣2）0+．
；
【考点】分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 【专题】计算题．
【分析】（1）根据负整数指数幂、去绝对值的方法、零指数幂可以解答本题； （2）先对括号内的式子化简，然后能分解因式的先分解因式，然后化简即可解答本题． 【解答】解：（1）2﹣1﹣
+（
﹣2）0+
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==；
（2）
=
=
=
=．
【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、因式分解，解题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．解方程组
．
【考点】解二元一次方程组． 【专题】计算题．
【分析】根据y的系数互为相反数，利用加减消元法求解即可． 【解答】解：①+②得，4x=8， 解得x=2，
把x=2代入①得，2+2y=9， 解得y=，
，
所以，方程组的解是．
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【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
21．为了了解某校学生对球类运动的爱好情况，采用抽样的方法，从足球、篮球、羽毛球、排球等四个方面调查了若干名学生，并绘制成不完整的条形图．已知最喜欢篮球的人数占调查人数的32%，最喜欢排球的人数是最喜欢足球人数的1.5倍．
（1）最喜欢排球的人数是 12 ，被调查的学生数是 50 ； （2）将条形图补充完整；
（3）若用扇形图表示统计结果，则最喜欢羽毛球的人数所对应扇形的圆心角为 100.8 度．
【考点】条形统计图；扇形统计图．
【分析】（1）根据直方图即可直接求得最喜欢排球的人数，然后求得最喜欢足球的人数，根据比例的定义求得调查的总人数；
（2）利用百分比的定义求得喜欢篮球的人数，补全直方图； （3）利用360°乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）最喜欢排球的人数是12，则最喜欢足球的人数是12÷1.5=8（人）， 则被调查的总人数是：（8+14+12）÷（1﹣32%）=50（人）， 故答案是：12，50；
（2）最喜欢篮球的人数是50﹣8﹣14﹣12=16，
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；
（3）最喜欢羽毛球的人数所对应扇形的圆心角为360°×故答案是：100.8．
=100.8°．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
22．如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据：
≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【专题】应用题；压轴题．
【分析】要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点A的最近距离，然后与暗礁区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险． 【解答】解：根据题意，有∠AOC=30°，∠ABC=45°，∠ACB=90°， 所以BC=AC，
于是在Rt△AOC中，由tan30°=得
，
，
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解得AC=≈27.32（海里），
因为27.32＞25， 所以轮船不会触礁．
【点评】此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题．
23．如图①，一个可以自由转动的转盘被平均分为4份．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指位置（指针指向两扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．如图②，一个不透明的口袋中装有3个完全相同的小球，分别标着数﹣1，2，3．
（1）请你在转盘的四个扇形中分别填入一个适当的实数，使得转动的转盘停止后，指针指向负数的概率为；
（2）在（1）的情况下，转动的转盘停止后，指针指向的数记为m；从口袋中随机摸出一个小球，将标着的数记为n．求点（m，n）落在第四象限的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】计算题．
【分析】（1）由于扇形被平均分为4份，所以所填四个数中有2个负数即可满足要求；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出点（m，n）落在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）如图①，转动的转盘停止后，指针指向负数的概率为；
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（2）画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中点（m，n）落在第四象限的结果数为2， 所以点（m，n）落在第四象限的概率=
=．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结OP． （1）求证：BD=DC； （2）求∠BOP的度数．
【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质． 【专题】证明题．
【分析】（1）连结AD，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，而AB=AC，根据等腰进行的性质即可得到BD=CD；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=75°，再根据圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠BAC=30°，然后利用平行线的性质得到∠PBC=∠EDC=30°，所以∠OBP=∠ABC﹣∠PBC=45°，于是可判断△OBP为等腰直角三角形，则∠BOP=90°． 【解答】（1）证明：连结AD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵AB=AC，
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∴BD=CD；
（2）解：∵∠BAC=30°，AB=AC， ∴∠ABC=（180°﹣30°）=75°， ∵四边形ABDE为圆O的内接四边形， ∴∠EDC=∠BAC=30°， ∵BP∥DE，
∴∠PBC=∠EDC=30°， ∴∠OBP=∠ABC﹣∠PBC=45°， ∵OB=OP，
∴△OBP为等腰直角三角形， ∴∠BOP=90°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了等腰三角形的性质．
25．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交 AB于点Q，连接QE．
（1）求证：四边形AEPQ为菱形；
（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？
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【考点】菱形的判定与性质．
【分析】（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP=∠EPA，得出AE=EP，即可得出结论；
（2）S菱形AEPQ=EP?h，S平行四边形EFBQ=EF?h，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP=EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ=S四边形EFBQ． 【解答】（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC， ∴四边形AEPQ为平行四边形． ∵AB=AC，AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠BAD， ∵∠BAD=∠EPA， ∴∠CAD=∠EPA， ∴EA=EP，
∴四边形AEPQ为菱形．
（2）解：P为EF中点时，S菱形AEPQ=S四边形EFBQ ∵四边形AEPQ为菱形， ∴AD⊥EQ， ∵AD⊥BC， ∴EQ∥BC， 又∵EF∥AB，
∴四边形EFBQ为平行四边形． 作EN⊥AB于N，如图所示：
则S菱形AEPQ=EP?EN=EF?EN=S四边形EFBQ．
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【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
26．光明初中学生中午用餐需长时间排队等候．经调查统计发现，每天开始售饭时，约有300名学生排队等候购饭，同时有新的学生不断进入餐厅等候购饭，新增购饭人数y（人）与售饭时间x（分）的函数关系如图①所示；每个窗口购完饭的人数y（人）与售饭时间x（分）的函数关系如图②所示．某天餐厅里等候购饭的人数y（人）与售饭时间x（分）的函数关系如图③所示，已知开始售饭后的a分钟内开放了两个窗口． （1）求a的值；
（2）求售饭到第60分钟时，餐厅排队等候购饭的学生数；
（3）该校本着“以人为本，方便学生”的宗旨，决定增设售饭窗口．若要在开始售饭后半小时内让所有排队购饭的学生都能购到饭，以便后来到餐厅的学生能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售饭窗口？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）a分钟新增4a人，两个窗口售出2×3a份饭，此时窗口有240人，据此得方程求解；（2）运用待定系数法求直线解析式，求x=60时的函数值； （3）根据题意列不等式求解．
【解答】解：（1）由图①②可知，每分钟新增购饭人数4人，每个售饭窗口每分钟售饭3人，则：300+4a﹣3×2a=240 解这个方程，得a=30；
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（2）设第30﹣78分钟时，餐厅排队等候售饭的人数y与售饭时间x的函数关系式y=kx+b（k≠0），则30k+b=240；78k+b=0． 解得k=﹣5，b=390． ∴y=﹣5x+390．
当x=60时，y=﹣5×60+390=90．
因此，售饭到第60分钟时，餐厅排队等候购饭有90人；
（3）设需同时开放n个售饭窗口，依题意得： 300+30×4≤30×3×n， 解得n≥
，
因此至少同时开放5个售饭窗口．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，是函数与实际问题的综合应用大题，要注意函数图象的运用及方程、不等式的联合运用．
27．如图，?ABCD中，AD=3cm，AB=5cm，BD⊥AD．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，同时点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，它们运动的速度为1cm/s．设运动的时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），当点Q运动到点A时，P，Q都停止运动． （1）若∠PCD=∠QCB时，求x的值； （2）求y与x的函数关系式；
（3）若4≤y≤5.5时，请直接写出x的取值范围．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据题意证明△CDP∽△CBQ，根据相似三角形的性质列出比例式，求出x的值； （2）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出DE，根据平行线的性质求出PH，结合图形用x表示出y；
（3）根据二次函数的性质求出函数y的最小值和当y=5.5时的自变量x，确定x的取值范围．
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【解答】解：（1）∵AP=BQ=x，AB=5，AD=3， ∴PD=3﹣x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDP=∠CBQ，CD=AB=5，BC=AD=3， ∵∠PCD=∠QCB， ∴△CDP∽△CBQ， ∴
，即
，
解得x=；
（2）作DE⊥AB于E，PH⊥AB于H， ∵AD=3cm，AB=5cm，BD⊥AD， ∴BD=∴DE=∵PH∥DE， ∴
=
，即=
，
=
=4， ，
解得，PH=x，
∴△CPQ的面积为y=S平行四边形ABCD﹣S△APQ﹣S△CBQ﹣S△PDC =12
（5﹣x）×x﹣×
x﹣
5×（
﹣x）
=x2﹣x+6；
（3）y=x2﹣x+6=（x﹣）2+5.1， 则y的最小值为5.1，
当y=5.5时， x2﹣x+6=5.5， 解得，x1=，x2=，
∴4≤y≤5.5时，x的取值范围为≤x≤．
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【点评】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质以及二次函数的最值的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、利用配方法求出二次函数的最小值是解题的关键．
28．已知抛物线y=ax2﹣4ax+3和直线y=bx﹣4b+3相交于一定点A． （1）求点A的坐标；
（2）设抛物线y=ax2﹣4ax+3与y轴的交点为B，直线y=bx﹣4b+3和直线OA分别与抛物线的对称轴相交于点C，D．问否存在一点C，使A，C，D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线y=ax2﹣4ax+3过点（2，﹣1），直线y=bx﹣4b+3与抛物线的另一个交点为P，若△POA的面积等于
，求a和b的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）直接用抛物线解析式和直线解析式联立方程组，求解即可；
（2）先求出C（2，﹣2b+3），D（2，），A（4，3），B（0，3），然后根据以A，C，D为顶点的三角形与△AOB相似，建立方程，求解即可；
（3）根据抛物线经过点（2，﹣1），求出a先求出P（b，b2﹣4b+3），分两种情况根据△AOP的面积求出b．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4ax+3和直线相交于一定点A， ∴
，
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∴，．
∴A（4，3）；
（2）存在，b1=0，b2=；如图1，
∵抛物线y=ax2﹣4ax+3与y轴的交点为B， ∴B（0，3），对称轴x=2， ∵点A（4，3），
∴直线OA解析式为y=x，
∵直线y=bx﹣4b+3和直线OA分别与抛物线的对称轴相交于点C，D， ∴C（2，﹣2b+3），D（2，）， ∵A（4，3），B（0，3），
∴△OBA为直角三角形，AB=4，OB=3， ∵使A，C，D为顶点的三角形与△AOB， ①当∠ACD=90°时，点在直线AB上， ∴点C1（2，3）， ∴﹣2b+3=3， ∴b=0
②当∠DAC=90°时，AC⊥OA， ∴直线AC解析式为 y=﹣x+
，
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∵点C（2，﹣2b+3）， ∴﹣2b+3=﹣×2+∴b=，
即：b1=0，b2=；
（3）∵抛物线y=ax2﹣4ax+3过点（2，﹣1）， ∴a=1， ∴y=x2﹣4x+3， ∴P（b，b2﹣4b+3），
∴直线AP的解析式为y=bx+3﹣4b， ∴直线AP与y轴的交点为M（0，3﹣4b）， ∴S△AOM=|3﹣4b|×4=2|3﹣4b|， S△POM=×|3﹣4b|×|b|，
①当b＞0时，S△AOP=S△AOM﹣S△POM=2|3﹣4b|﹣|3﹣4b|×b=Ⅰ、0＜b＜时，b1=﹣1（舍），b2=Ⅱ、b＞时，方程无解， ②当b＜0时，3﹣4b＞0，
∴S△AOP=S△AOM+S△POM=2|3﹣4b|+|3﹣4b|×（﹣b）=∴2（3﹣4b）+（3﹣4b）×b=∴4b2﹣19b﹣23=0， b1=﹣1，b2=∴b=﹣1， 即：a=1，b=﹣1
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了求两个函数图象的交点坐标，三角形相似的性质，三角形面积的计算，求点的坐标是解本题关键．
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，
，
（舍），
，
，
（舍），