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全国2002年10月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
第一部分 选择题
试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。
一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出的四个选项中只有
一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。错选或未选均无分。
?1．设矩阵A=(1,2,3)，B=?1??0??，则AB为（ ）
??2????A. ?123??000? B.?1?
?? ?0??246??
?? ?6??C.（1,0,6）
D.7
000???0ana100???002．n阶行列式0a20???00的值为（ ） ??????????????????000???an?10A.a1a2…an B.-a1a2…an C.(-1)n-1a1a2…an
D.(-1)na1a2…an
k213．设行列式2k0?0，则k的取值为（ ）
1?11A.2 B.-2或3 C.0 D.-3或2
4．设-2是3阶方阵A的一个特征值，则A2必有一个特征值为（ ） A.-8 B.-4 C.4 D.8
5．设A、B均为n阶矩阵，且A可逆，则下列结论正确的是（ ） A.若AB≠0，则B可逆 B.若AB=0，则B=0 C.若AB≠0，则B不可逆 D.若AB=BA，则B=E
6．向量组（Ⅰ）：?1,?2,…, ?r和向量组（Ⅱ）：?1，?2，…?s等价的定义是向量组（ A.（Ⅰ）和（Ⅱ）可互相线性表示
B.（Ⅰ）和（Ⅱ）中有一组可由另一组线性表示 C.（Ⅰ）和（Ⅱ）中所含向量的个数相等 D.（Ⅰ）和（Ⅱ）的秩相等
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7．下列矩阵中，不是二次型矩阵的为（ ） ．．
?000???A.?000? ?00?1????30?2???C.?046? ??265???
?100???B.?0?10? ?002????123???D. ?456?
?789???
8．设3阶方阵A的元素全为1，则秩(A)为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
9．设A为3阶方阵，且行列式|A|=1，则|-2A|之值为（ ） A.-8 B.-2 C.2 D.8 10．同阶方阵A、B相似的充分必要条件是（ ） A.存在可逆矩阵P，使P-1AP=B B.存在可逆矩阵P，使PTAP=B
C.存在两个可逆矩阵P和Q，使PAQ=B D.A可以经过有限次初等变换变成B
?x?x2?2x3?111．若线性方程组?1无解，则?等于（ ） ．．x?x??x?223?1A.2 B.1 C.0 D.-1 12．设?1、?2和?1、?2是方程组Ax=0的两个不同的基础解系，则下列结论中正确的是．．（ ）
A.向量组?1,?2,?B.向量组?1,?2,?C.向量组?1,?2,?D.向量组?1,?2,??1,?1的秩等于向量组?1,?1的秩大于向量组?1,?1,?2的秩大于向量组?1的秩小于向量组
2的秩 2的秩 2的秩 1,
?2的秩
13．设A为n(n≥2)阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，则|A*|等于（ ） A.a-1 B.a C.an-1 D.an 14．设向量?1=（1,a,a2），?2=(1,b,b2),?3=(1,c,c2)，则向量组?1,?2,?3线性无关的充分必
要条件是（ ） A.a,b,c全不为0 B.a,b,c不全为0 C.a,b,c不全相等 D.a,b,c互不相等
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第二部分 非选择题
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。
?111???
15．设矩阵A=?022?，则ATA= . ?003???
16．设A、B均为3阶方阵，且|A|=3，|B|=-2，则|ABT|= . 17．已知向量?=(3,2,4,5),?=(-1,5,1,-2),且?+ξ=?，则向量?= . 18．设?1,?2是n(n≥3)元齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则秩(A)= . 19．设向量?1=（1,2,-1）,?2=(3,2,1),则内积(?1,?2)= . 0??11??20．设矩阵A=?12?2?，则二次型xTAx= .
?0?25???21．设3阶方阵A的秩为2，矩阵
?010???P=?100?， ?001???
?100???Q=?010? ?101???若矩阵B=PAQ，则秩(B)= .
22．已知??0是方阵A的一个特征值，则|A|= . ?a00???
23．设A=?0b0?，则An= . ?00c???
2224．设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换化为标准形y1，则A的最小的特征值?5y2是 .
三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)
1225．计算行列式
222222223222的值. 24?132k???26．已知矩阵A=??11k1?，秩(A)=2，求k的值.
?1753????1?32???14??????3012527．试求矩阵方程??X=??中的未知矩阵X. ?1??1?1????1?3?
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28．求向量组?1=(2,-1,0,3),?2=(1,2,5,-1),?3=(7,-1,5,8)的秩，并说明这个向量组是线性相
关还是线性无关.
?x1?x2?x3?x4?1?29．当a为值何时，方程组?x1?2x2?x3?2x4?2 有解？在有解时，求出它的通解（用
?2x?3x?2x?3x?a234?1导出组的基础解系表出）.
30．已知向量?1=(1,1,1)T,?2=(1,-2,1)T正交，求一个3维列向量?3，使得?3与?1、?都正交.
2
2231．试用正交换将二次型f(x1,x2)=x1并写出标准形及所用的正交?2x2?4x1x2化为标准形，
变换.
四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分) 32．设向量组?1,?2,?3线性无关，且 ?1=?1-?2-?3， ?2=?1+?2-?3， ?3=?1-?2+?3，
试证明向量组?1,?2,?3线性无关.
33．设A为n阶矩阵，?1、?2是A的两个不同的特征值，x1、x2依次是属于?1、?2的特
征向量，试证明x1+x2不是A的特征向量.
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