→→→→→
无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝1，∴DE·CB＝|CB|·1＝1，
→→
当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大即为DC＝1，
→→→
∴(DE·DC)max＝|DC|·1＝1. 热点三 平面向量与三角函数
平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与
三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件． 例3 已知函数f(x)＝2cosx＋23sin xcos x(x∈R)．
π
(1)当x∈[0，)时，求函数f(x)的单调递增区间；
2
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sin
A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值．
π2
解 (1)f(x)＝2cosx＋3sin 2x＝cos 2x＋3sin 2x＋1＝2sin(2x＋)＋1，
6
πππ
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
262
ππ
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
36
π
因为x∈[0，)，
2
π
所以f(x)的单调递增区间为[0，]．
6π
(2)由f(C)＝2sin(2C＋)＋1＝2，
6
2
9 / 23
π1
得sin(2C＋)＝，
62
ππ13π
而C∈(0，π)，所以2C＋∈(，)，
666
π5π
所以2C＋＝π，解得C＝.663
因为向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，
sin A1
所以＝.sin B2
a1
由正弦定理得＝，①
b2
π222
由余弦定理得c＝a＋b－2abcos，
3
即a＋b－ab＝9.②
联立①②，解得a＝3，b＝23.
思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角
函数的知识解决问题．
跟踪演练3 已知平面向量a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，－cos x)，c＝(－cos x，－sin
x)，x∈R，函数f(x)＝a·(b－c)． (1)求函数f(x)的单调递减区间；2?α? (2)若f??＝，求sin α的值．
?2?2
解 (1)因为a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，－cos x)，
c＝(－cos x，－sin x)，
所以b－c＝(sin x＋cos x，sin x－cos x)，
f(x)＝a·(b－c)＝sin x(sin x＋cos x)＋cos x(sin x－cos x)．
则f(x)＝sinx＋2sin xcos x－cosxπ?? ＝sin 2x－cos 2x＝2sin?2x－?.4??
ππ3π
则当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
242
3π7π
即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)为减函数．
88
2
2
2
2
10 / 23
3π7π?? 所以函数f(x)的单调递减区间是?kπ＋，kπ＋?，k∈Z.88??
π?? (2)由(1)知，f(x)＝2sin?2x－?，
4??
2?α? 又f??＝，?2?2
π?π?12?? 则2sin?α－?＝，sin?α－?＝.4?24?2??π?π?2?2? 因为sin?α－?＋cos?α－?＝1，
4?4???
π?3? 所以cos?α－?＝±.4?2?π?π???α－ 又sin α＝sin???＋4?4????
π?π?ππ?? ＝sin?α－?cos ＋cos?α－?sin ，
4?4?44??
π?3? 所以当cos?α－?＝时，
4?2?
12322＋6
sin α＝×＋×＝；22224
π?312322－6?当cos?α－?＝－时，sin α＝×－×＝.
4?222224?
→1→→
1．如图，在△ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设AB＝a，
3
→→→
AC＝b，用a，b表示向量AN.则AN等于( )
11 / 23
1
B.(a＋b)
31
D.(a＋b)
8
1
A.(a＋b) 21
C.(a＋b) 6
押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应
用的基础． 答案 C
解析 因为DE∥BC，所以DN∥BM，
ANAD
则△AND∽△AMB，所以＝.AMAB
→1→ 因为AD＝AB，
3→1→ 所以AN＝AM.
3
因为M为BC的中点，
→1→→1
所以AM＝(AB＋AC)＝(a＋b)，
22
→1→1
所以AN＝AM＝(a＋b)．
36
故选C.
→→→→
2．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于( )
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