1→1→ B.AB＋AD

421→2→ D.AB－AD

23

1→1→

A.AB－AD231→1→C.AB＋DA32

答案 (1)D (2)D

→→→→1→

解析 (1)∵AD＝AB＋BD＝AB＋BC，

3

→→1→ ∴2AO＝AB＋BC，

3→1→1→ 即AO＝AB＋BC.

26112

故λ＋μ＝＋＝.263

→→→

(2)在△CEF中，有EF＝EC＋CF.→1→

因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.

2

→2→

因为点F为BC的一个三等分点，所以CF＝CB.

3

→1→2→1→2→ 所以EF＝DC＋CB＝AB＋DA2323

1→2→ ＝AB－AD，故选D.

23 热点二 平面向量的数量积

1．数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ.

2．三个结论

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(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则→ |AB|＝

x2－x12＋y2－y12.

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，

a·bx1x2＋y1y2

则cos θ＝＝.|a||b|x21＋y21x22＋y22

→→→→→→

例2 (1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD

的值是________．

π5π?? (2)若b＝?cos ，cos ?，|a|＝2|b|，且(3a＋b)·b＝－2，则向量a，b的夹角为( )1212??

B.

2π

3

A.C.π 3

π D.

65π 6

答案 (1)22 (2)C

→→→1→1→→→→→1→→→→→1→→

解析 (1)由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝AD＋AB－AB＝

4444→3→→→→1→→3→→21→→3→2

AD－AB.因为AP·BP＝2，所以(AD＋AB)·(AD－AB)＝2，即AD－AD·AB－AB＝2.

444216

→2→2→→

又因为AD＝25，AB＝64，所以AB·AD＝22.

(2)b＝cos ＝cos

22

2

π25π＋cos1212

π2π

＋sin＝1，1212

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所以|b|＝1，|a|＝2.

由(3a＋b)·b＝－2，可得3a·b＋b＝－2，

故a·b＝－3.

a·b－33

故cos〈a，b〉＝＝＝－.|a||b|2×12

5π

又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，故选C.

6

思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义； (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．→→跟踪演练2 (1)已知点A，B，C，D在边长为1的方格点图的位置如图所示，则向量AD在AB方

向上的投影为( )

2

B．－1

5 5

A．－

5 5

D.

213C．－

13

→→→→

(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC

的最大值为________． 答案 (1)A (2)1 1

→→

解析 (1)不妨以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得AD＝(－2,3)，AB＝

→→

AD·AB－25→→

(4,2)，所以向量AD在AB方向上的投影为＝＝－.→525|AB|

故选A.

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(2)方法一 分别以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，

→→

则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－

→→

1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.

→→→

因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，

→→

故DE·DC的最大值为1.

方法二 由图知，

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