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单元一 简谐振动
一、 选择、填空题
1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？ 【 C 】
(A) 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值；
(B) 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； (C) 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零；
(D) 物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。
2. 一沿X轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，振动方程用余弦函数表示，如果该振子的初相为?，则t=0时，质点的位置在： 【 D 】
4311A处，向负方向运动； (B) 过x?A处，向正方向运动； 2211(C) 过x??A处，向负方向运动；(D) 过x??A处，向正方向运动。
22(A) 过x?
3. 将单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度?，然后由静止释放任其振动，从放手开始计时，若用余弦函数表示运动方程，则该单摆的初相为： 【 B 】
(A) ?； (B) 0； (C)?/2； (D) -?
4. 图(a)、(b)、(c)为三个不同的谐振动系统，组成各系统的各弹簧的倔强系数及重物质量如图所示，
(a)、(b)、(c)三个振动系统的? (?为固有圆频率)值之比为： 【 B 】
(A) 2：1：1； (B) 1：2：4； (C) 4：2：1； (D) 1：1：2
填空选择(4)填空选择(5)
5. 一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动，若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上如图，试判断下面哪种情况是正确的： 【 C 】
(A) 竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动；
(B) 竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动； (C) 两种情况都可作简谐振动； (D) 两种情况都不能作简谐振动。
6. 一谐振子作振幅为A的谐振动，它的动能与势能相等时，它的相位和坐标分别为： 【 C 】
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21?,?A;332?32(C)?,or??,?A;442(A)?,or??(B)?53?,?A;662
?23(D)?,??，?A332,??
7. 如果外力按简谐振动的规律变化，但不等于振子的固有频率。那么，关于受迫振动，下列说法正确的是： 【 B 】
(A) 在稳定状态下，受迫振动的频率等于固有频率；
(B) 在稳定状态下，受迫振动的频率等于外力的频率； (C) 在稳定状态下，受迫振动的振幅与固有频率无关；
(D) 在稳定状态下，外力所作的功大于阻尼损耗的功。
8. 关于共振，下列说法正确的是： 【 A 】
(A) 当振子为无阻尼自由振子时，共振的速度振幅为无限大；
(B) 当振子为无阻尼自由振子时，共振的速度振幅很大，但不会无限大； (C) 当振子为有阻尼振动时，位移振幅的极大值在固有频率处；
(D) 共振不是受迫振动。
9. 下列几个方程，表示质点振动为“拍”现象的是： 【 B 】
(A)y?Acos(ωt??1)?Bcos(ωt??2);(B)y?Acos(200t)?Bcos(201t??);(C)x1?A1cosωt,y2?A2sin(ωt??);
10. 一质点作简谐振动，周期为T，质点由平衡位置到二分之一最大位移处所需要的时间为由最大位移到二分之一最大位移处所需要的时间为
11. 两个同频率简谐交流电i1(t)和i2(t)的振动曲线如图所示，则位相差?2??1??
12. 一简谐振动用余弦函数表示，振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A=10 cm，
(D)x1?A1cosωt,y2?A2cos2ωt1T；121T。 6?2。
???6rad/s， ???3
填空选择(11)填空选择(12) Created by XCH Page 2 6/30/2019
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213. 一质量为m的质点在力F???x的作用下沿x轴运动(如图所示)，其运动周期为2m。
14. 试在图中画出谐振子的动能，振动势能和机械能随时间而变的三条曲线。(设t=0时物体经过平衡位置)
填空选择(13)填空选择(14)
15. 当重力加速度g改变dg时，单摆周期T的变化dT???lggdg，一只摆钟，在g=9.80 m/s2
2处走时准确，移到另一地点后每天快10s，该地点的重力加速度为9.8023m/s。
16. 有两个弹簧，质量忽略不计，原长都是10cm，第一个弹簧上端固定，下挂一个质量为m的物体后，长11cm，两第二个弹簧上端固定，下挂一质量为m的物体后，长13cm，现将两弹簧串联，上端固定，下面仍挂一质量为m的物体，则两弹簧的总长为0.24m。
1x1?6?10?2cos(5t??)(SI)217. 两个同方向同频率的简谐振动，振动表达式分别为：，它们
x2?2?10?2sin(??5t)(SI)的合振动的振幅为8?10?21m，初位相为??。
2x1?Acos(?t?)35?) 18. 一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别为：x2?Acos(?t?3x3?Acos(?t??)其合成运动的运动方程为x?0。
二、 计算题
1. 一物体沿x轴作简谐振动，振幅为10.0cm，周期为2.0 s。在t=0时坐标为5.0cm，且向x轴负方向运动，求在x=-6.0cm处，向x轴负方向运动时，物体的速度和加速度。
?? 物体的振动方程：x?Acos(?t??)，根据已知的初始条件得到： x?10cos(?t?)
3? Created by XCH Page 3 6/30/2019
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物体的速度：v??10?sin(?t?2?3)
物体的加速度：a??10?cos(?t??3)
3?4)??，sin(?t?)??
33535?4根据物体向X轴的负方向运动的条件，sin(?t?)?
35?22?22所以：v??8??10m/s，a?6??10m/s
当：x??6.0cm，?6?10cos(?t??)，cos(?t??
2. 一质点按如下规律沿X轴作简谐振动：x?0.1cos(8?t?2?/3)（SI）
(1) 求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加
速度最大值；
计算题(2)(2) 分别画出这振动的x-t图。
2?1? 周期：T??s；
?4振幅：A?0.1m； 初相位：??2?； 3?max?A?，x?max?0.8?m/s 速度最大值：x?max?A?2，??max?6.4?2m/s2 xx加速度最大值：?
3. 定滑轮半径为R，转动惯量为J，轻绳绕过滑轮，一端与固定的轻弹簧连接，弹簧的倔强系数为
K；另一端挂一质量为m的物体，如图。现将m从平衡位置向下拉一微小距离后放手，试证物体作
简谐振动，并求其振动周期。(设绳与滑轮间无滑动，轴的摩擦及空气阻力忽略不计)。
? 以物体的平衡位置为原点建立如图所示的坐标。
? x物体的运动方程：mg?T1?m???x R对于弹簧：T2?k(x?x0)，kx0?mg
滑轮的转动方程：(T1?T2)R?J??x由以上四个方程得到：?
令??2kJ(2?m)Rx?0
kJ(2?m)R
???x?0 x物体的运动微分方程：?2计算题(3) Created by XCH Page 4 6/30/2019
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m?物体作简谐振动。振动周期：T?2?
kJR2
4. 一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg。待静止后再把物体向下拉10cm，然后释放。问：
(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？
(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？二者在何位置开
始分离？
? 物体的振动方程：x?Acos(?t??)
根据题中给定的条件和初始条件得到：k?F?0，k?60?200N/m 0.3??k?52/s m选取向下为X轴的正方向，t?0：物体的位移为为正，速度为零。 所以初位相??0
物体的振动方程：x?0.1cos52t
22物体的最大加速度：amax?A??5m/s
小物体的运动方程：mg?N?ma，物体对小物体的支撑力：N?mg?ma 小物体脱离物体的条件：N?0
222即a?g?9.8m/s，而amax?5m/s?9.8m/s
(1) 此小物体停在振动物体上面;
(2) 如小物体与振动物体分离，小物体运动的加速度：a?g?9.8m/s2
有： A??g，A?2g?2
A?0.196m，两个物体在振动最高点分离。
5. 两个同振动方向，同频率的谐振动，它们的方程为x1=5cos?t (cm)和 x2=5cos(?t+?/2) (cm)，如有另一个同振向同频率的谐振动x3，使得x1，x2和x3三个谐振动的合振动为零。求第三个谐振动的振动方程。
? 已知x1?5cos?t，x2?5cos(?t?)
2x'?x1?x2?Acos(?t??)
2A?A12?A2?2A1A2cos(?2??1)，A?52cm
???arctgA1sin?1?A2sin?2?，??
A1cos?1?A2cos?24 Created by XCH Page 5 6/30/2019
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)，x?x'?x3?0，x3??x' 45?x3?52cos(?t?)
4
6. 已知两同振向同频率的简谐振动：x1?0.05cos(10t??),x2?0.06cos(10t??)(SI)
x'?52cos(?t??3515(1) 求合成振动的振幅和初相位；
(2) 另有一个同振动方向的谐振动x3?0.07cos(10t??3)(SI)，问?3为何值时x1?x3的振
幅为最大，?3为何值时x2?x3的振幅为最小;
(3) 用旋转矢量图示(1)、(2)的结果。
? (1) x1和x2合振动的振幅：
2A?A12?A2?2A1A2cos(?2??1)
计算题(6)A?0.09m
振动的初相位??arctgA1sin?1?A2sin?2
A1cos?1?A2cos?2??680
(2) 振动1和振动3叠加，当满足
3????3??1?2k?, 即?3?2k???时合振动的振幅最大。
5A?A12?A32?2A1A3cos(?3??1)?A1?A3
A?0.12m
振动2和振动3的叠加，当满足：????3??2?(2k?1)? 即?3?(2k?1)??1?振幅最小。 52A?A32?A2?2A3A2cos(?2??3)?A3?A2
A?0.01m
计算题(6)计算题(6) Created by XCH Page 6 6/30/2019
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单元二 简谐波 波动方程
一、选择题
?，则此两点3相距： 【 C 】
(A) 2m; (B) 2.19m; (C) 0.5m; (D) 28.6m 2 . 一平面余弦波在??0时刻的波形曲线如图所示 ，则O点的振动初位相?为： 【 D 】
1. 频率为100Hz ，传播速度为300m/s的平面简谐波 ，波线上两点振动的相位差为
(A)0;1(B)?;2(C)?;31(D)?,or??
22选择题(2)选择题(3)3. 一平面简谐波 ，其振幅为A ，频率为v ，波沿x轴正方向传播 ，设t?t0时刻波形如图所示 ，则x=0处质点振动方程为： 【 B 】
?(A)y?Acos[2?v(t?t0)?]2?(C)y?Acos[2?v(t?t0)?]2?(B)y?Acos[2?v(t?t0)?]2(D)y?Acos[2?v(t?t0)??]
4. 某平面简谐波在t=0时的波形曲线和原点(x=0处)的振动曲线如图 (a)(b)所示 ，则该简谐波的波动方程(SI)为： 【 C 】
选择题(6)选择题(4) Created by XCH Page 7 6/30/2019
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(A)y?2cos(?t?(C)y?2cos(?t??2x?x??2););(B)y?2cos(?t?(D)y?2cos(?t??2x?x?3?)2?2?2?2?2
)5. 在简谐波传播过程中 ，沿传播方向相距为
?，（?为波长）的两点的振动速度必定： 【 A 】 2(A) 大小相同 ，而方向相反 ； (B) 大小和方向均相同 ；
(C) 大小不同 ，方向相同； (D) 大小不同 ，而方向相反 。 6. 横波以波速u沿x轴负方向传播，t时刻的波形曲线如图，则该时刻： 【 D 】
(A) A点的振动速度大于零； (B) B点静止不动；
(C) C点向下运动； (D) D点振动速度小于零 7. 当机械波在媒质中传播时 ，一媒质质元的最大变形量发生在： 【 C 】
(A) 媒质质元离开其平衡位置最大位移处； (B) 媒质质元离开其平衡位置((C) 媒质质元在其平衡位置处； (D)媒质质元离开其平衡位置
2A)处； 2A处(A是振动振幅)。 28. 一平面简谐波在弹性媒质中传播 ，在媒质质元从最大位移处回到平衡位置过程中： 【 C 】
(A) 它的势能转换成动能；
(B) 它的动能转换成势能 ；
(C) 它从相邻的一段媒质质元获得能量 ，其能量逐渐增加；
(D) 它把自己的能量传给相邻的一段媒质质元 ，其能量逐渐减小 。
9. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时 ，在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处 ，则它的能量是： 【 B 】
(A) 动能为零 ，势能最大； (B) 动能为零 ，势能为零；
(C) 动能最大 ，势能最大； (D) 动能最大 ，势能为零 。
二、填空题
1. 一平面简谐波的波动方程为 y=0.25cos(125t-0.37x) (SI) ，其圆频率??125rad/s，波速
u?337.80m/s， 波长??16.97m 。
2. 一平面简谐波沿X轴正方向传播 ，波速u=100m/s ，t=0时刻的波形曲线如图所示 ，波长
??0.8m，振幅A?0.2m， 频率??125Hz 。
?u填空题(2)填空题(3) Created by XCH Page 8 6/30/2019
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3. 如图所示 ，一平面简谐波沿OX轴正方向传播 ，波长为? ，若P1点处质点的振动方程为
y1?Acos(2?vt??)，则P2点处质点的振动方程为y2?Acos(2??t?2?L1?L2??2)??]；与P1
点处质点振动状态相同的那些点的位置是x?k??L1, k??1,?2,?3,? 。 4. 一简谐波沿OX轴负方向传播，x轴上P1点处振动方程PP1?0.04cos(?t?点坐标减去P1点坐标等于
)(SI)， X轴P2
3?，（?为波长） ，则P2点振动方程： 41?处质点4yP2?0.04cos(?t??)。
5. 已知O点的振动曲线如图(a) ，试在图(b)上画出x?P的振动曲线 。
6. 余弦波y?Acos?(t?x)在介质中传播 ，介质密度为?0 ，波的传c播过程也是能量传播过程 ，不同位相的波阵面所携带的能量也不同 ，若在某一时刻去观察位相为
?处的波阵面 ，能量密度为2?A2?2；波阵面位相为?处能量密度为0 。
填空题(5)
三、计算题
1. 如图所示 ，一平面简谐波沿OX轴传播 ，波动方程为y?Acos[2?(vt?x)??] ，求 ?(1) P处质点的振动方程；
(2) 该质点的速度表达式与加速度表达式 。
L? P处质点的振动方程：y?Acos[2?(vt?)??]
?（x??L, P处质点的振动位相超前）
L???2A?vsin[2?(vt?)??] P处质点的速度：v?y?L???4A?vcos[2?(vt?)??] yP处质点的加速度：a???22计算题(1)
2. 某质点作简谐振动 ，周期为2s ，振幅为0.06m ，开始计时( t=0 ) ，质点恰好处在负向最大位移处 ，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度u=2 m/s沿x轴正方向传播时 ，形成的一维筒谐波的波动方程； (3) 该波的波长 。
t? 质点作简谐振动的标准方程：y?Acos(2???)，由初始条件得到：y?0.06cos(?t??)
T Created by XCH Page 9 6/30/2019
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一维筒谐波的波动方程：y?0.06cos[?(t?x)??], 波长：??uT，??4m 23. 一平面简谐波在介质中以速度u=20 m/s自左向右传播 ，已知在传播路径上的某点A的振动方程为
y?3cos(4?t??)(SI)，另一点D在A点右方9米处。
(1) 若取X轴方向向左 ，并以A为坐标原点 ，试写出波动方程 ，
并求出D点的振动方程 ;
(2) 若取X轴方向向右 ，以A点左方5米处的O点为x轴原
点 ，重新写出波动方程及D点的振动方程 。
? X轴方向向左，传播方向向右。
A的振动方程：y?3cos(4?t??)（坐标原点）
波动方程：y?3cos[4?(t?x)??] 2045计算题(3)将x??9m代入波动方程，得到D点的振动方程：yD?3cos(4?t??) 取X轴方向向右，O点为X轴原点，O点的振动方程：yO?3cos[4?(t?波动方程：y?3cos[4?(t?5)??] 20x5x?)??]，y?3cos4?(t?) 20202045将x?14m代入波动方程，得到D点的振动方程： yD?3cos(4?t??) 可见，对于给定的波动，某一点的振动方程与坐标原点以及X轴正方向的选取无关。 4. 一平面简谐波沿OX轴的负方向传播，波长为?，t=0时刻，P处质点的振动规律如图所示。
(1) 求P处质点的振动方程； (2) 求此波的波动方程。若图中d?处质点的振动方程。
?2，求坐标原点O
? P处质点的振动方程：yP?Acos[2?根据图中给出的条件：T?4s
t??] T计算题(4)由初始条件：t?0,yP??A，???，yP?Acos[原点O的振动方程： yO?Acos[(波动方程： y?Acos(如果：d??2t??]
?2t?2?d?)??]（O点振动落后于P点的振动）
?2t?2?(x?d)?)??]
11?，原点O的振动方程： yO?Acos?t 22 Created by XCH Page 10 6/30/2019
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单元三 波的干涉 驻波 多普勒效应
一、 选择、填空题
1. 如图所示，两列波长为?的相干波在P点相遇， S1点的初位相是?1，S1到P点的距离是r1， S2点的初位相是?2，S2到P点的
距离是r2，以k代表零或正、负整数，则P点是干涉极大的条件为：
【 D 】
(A)r2?r1?k?;(B)?2??1?2k?;(C)?2??1?(D)?2??1?2?(r2?r1)?2k?; ?2k?选择填空题(1)?2?(r1?r2)?2. 如图所示， S1，S2为两相干波源，其振幅皆为0.5m，频率皆
选择填空题(2)?1为100Hz，但当S1为波峰时， S2点适为波谷，设在媒质中的波速为10ms，则两波抵达P点的相位差和P点的合振幅为： 【 C 】
(A)200?,1m;(B)201?,0.5m;(C)201?,0;(D)200?,0;(E)201?,1m
3. 两相干波源S1和S2的振动方程是y1?Acos(?t??2)和y2?Acos?t， S1距P点6个波长，
S2距P点为13.4个波长，两波在P点的相位差的绝对值是15.3?。
x4?24. 在弦线上有一简谐波，其表达式为y1?2.0?10cos[100?(t?)?](SI)为了在此弦线上形成
203驻波，并在x=0处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为： 【 D 】
x?(A)y2?2.0?102cos[100?(t?)?](SI)
203x4(B)y2?2.0?102cos[100?(t?)??](SI)203 x?(C)y2?2.0?102cos[100?(t?)?](SI)203x4(D)y2?2.0?102cos[100?(t?)??](SI)2035. 如图所示，为一向右传播的简谐波在t时刻的波形图，BC为波密介质的反射面，波由P点反射，则反射波在t时刻的波形图为 【 B 】 6. 如果在固定端x=0处反射的反射波方程式是
y2?Acos2??(t?x?)，设反射波无能量损失，那么入射波
的方程式y1?Acos[2?(?t?x?)??]，形成驻波的表达式
y?2Acos(2?x???2)?cos(2??t??2)。
选择填空题(5) Created by XCH Page 11 6/30/2019
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7. 在绳上传播的入射波波动方程y1?Acos(?t?2?x?)，入射波在x=0处绳端反射，反射端为自
2?x由端，设反射波不衰减，则反射波波动方程y2?Acos(?t??)，形成驻波波动方程
y?2Acos2?x??cos?t。
8. 弦线上的驻波方程为y?Acos(2?x???2)cosωt，则振动势能总是为零的点的位置是
x?(2k?1)?4；振动动能总是为零的位置是x?k?2。其中
(A)k?0,?1,?2,?3?
9. 已知一驻波在t时刻各点振动到最大位移处，其波形如图(A)所示，一行波在t时刻的波形如图(B)所示，试分别在图(A)、图(B)上注明所示的a、b、c、d四点此时的运动速度的方向(设为横波)。
在图A中：va?vb?vc?vd?0
二、计算题
1. 两列相干平面简谐波沿X轴传播。波源S1与S2相距
选择填空题(9)(B)d=30 m，S1为坐标原点。已知x1=9 m和x2=12 m处的
两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波的波长和两波源的最小位相差。
? 选取X轴正方向向右，S1向右传播，S2向左传播。
两列波的波动方程：y1?A1cos[(?t?x2?)??10] ?计算题(1)d?x2?)??20] ?x1?9m和x2?12m的两点为干涉相消。 y2?A2cos[(?t?满足：?2??1?[(?t?d?x??2?)??20]?[(?t?)?(2k?1)?
x?2?)??10]?(2k?1)?
(?20??10)?2?((?20??10)?2?(两式相减：4?(x1?x2??d?x1d?x2???)?[2(k?1)?1]?
x1x2?x1)?2?，??6m。由(?20??10)?2?(??d?x1?)?(2k?1)?
1，2，3?，两波源的最小位相差：?20??10?? 得到(?20??10)?(2k?1)??4?, k?0，2. (1)一列波长为?的平面简谐波沿X轴正方向传播。已知在x??/2处振动方程y=Acos?t，试写出该平面简谐波的波动方程；
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(2) 如果在上述波的波线上x?L(L??/2)处放一和波线相垂直的波密介质反射面，如图，假
(t?设反射波的振幅为A'，试证明反射波的方程为 y'?A'cos?2?x??4?L?)
? 已知x??/2处振动方程：y?A cos?t
原点处O点的振动方程：
2???)，yO?A cos(?t??) ?22?x??) 平面简谐波的波动方程：y?A cos(?t?yO?A cos(?t??反射面处入射波的振动方程： y?A cos(?t?2?L?2?L)（波疏到波密介质，反射波发生?相变）反射面处反射波的振动方程： y'?A' cos(?t? ?2?L)（反射波沿X轴负方向传播，O点的反射波在原点O的振动方程：y'O?A' cos(?t?2??振动位相滞后）
反射波的方程： y'O?A' cos(?t???)
计算题(2)2?x??4?L?)
3. 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的方程为：
y1?0.06 cos?(x?4t)y2?0.06 cos?(x?4t)
(1) 证明细绳上作驻波振动，并求波节和波腹的位置; (2) 波腹处的振幅有多大？在x=1.2m处振幅有多大？
? y1?0.06 cos(?x?4t?)，y1?0.06 cos(4?t??x)向右传播的行波。
y2?0.06 cos(?x?4t?)，y2?0.06 cos(4t???x)向左传播的行波。
两列波的频率相等、且沿相反方向传播，因此细绳作驻波振动: y?2Acos?xcos4?t
A合?2Acos?x
1，k?0,?1,?2,?3?
22波幅满足：?x?k?，x?k，k?0,?1,?2,?3?
波节满足：?x?(2k?1)，x?k?波幅处的振幅：A合?2Acos?x，将x?k和A?0.06m代入得到：A?0.12m 在x?1.2m处，振幅：A?2Acos?x，A?0.12cos1.2?，A?0.097m
?tx?)，在x=0发生反射，反射点为一固定端，求： T?(1) 反射波的表达式；(2) 驻波的表达式；(3)波腹、波节的位置。
tx? 入射波：y1?A cos2?(?)，反射点x=0为固定点，说明反射波存在半波损失。
T?tx反射波的波动方程：y2?A cos[2?(?)??]
T?
4. 设入射波的表达式为y1?A cos2?( Created by XCH Page 13 6/30/2019
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（2?根据波的叠加原理， 驻波方程：y?2Acosx?＋?2??12x）cos(2?t??) T将?1?0和?2??代入得到：驻波方程：y?2Asin2?驻波的振幅：A合?2Asin2?波幅的位置：2?波节的位置：2??cos(2??t??2)
x?
3? ?(2k?1)，x?(2k?1)，k?0,1,2，?24xx????k?，x?xk?，k?0,1,2，3?（因为波只在x>0的空间，k取正整数） 2cos?t，求：
5. 一驻波的表达式y?2Acos2??(1) x?
?2
处质点的振动表达式；(2)该质点的振动速度。
? 驻波方程：y?2Acos2?cos?t，在x?
?振动表达式：y?2Acos(?t??)
x?2
处的质点，振幅：2Acos2?x??2A
???2A?sin(?t??)，v?2A?sin?t 该质点的振动速度：v?y6. 一固定波源在海水中发射频率为?的超声波，射在一艘运动的潜艇上反射回来，反射波与入射波的频率差为??，潜艇的运动速度V远小于海水中的声速u，试证明潜艇运动的速度为：V?u?? 2?? 根据多普勒效应，舰艇收到的信号频率：?'?(1?)?（波源静止，观察者背离波源运动）
潜艇反射回来的信号频率：?''?(vuu)?'（观察者静止，波源背离观察者运动） u?VuVu?''?()(1?)?，V?()(???'')，当V??u，???''?2?,??????''，
u?Vu???''uV???
2?7. 一个观测者在铁路边，看到一列火车从远处开来，他测得远处传来的火车汽笛声的频率为650 Hz，当列车从身旁驶过而远离他时，他测得汽笛声频率降低为540 Hz，求火车行驶的速度。已知空气中的声速为330 m/s。
? 根据多普勒效应, 列车接近观察者时，测得汽笛的频率：?'?(着观察者运动）
列车离开观察者时，测得汽笛的频率：?''?(由上面两式得到：
u)?0（观察者静止，波源朝 u?vsu)?0（观察者静止，波源背离观察者运动） u?vs?'u?vs?'??''?u, vs?30.5m/s ，列车行驶的速度：vs??''u?vs?'??'' Created by XCH Page 14 6/30/2019
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单元四 (一) 振动和波习题课
一、填空、选择题
1. 如图所示一平面简谐波在t=0时的波形图，则O点的振动方程y0波的波动方程
?0.04cos(0.4?t??2)，该
y?0.04cos(0.4?t?5?x?xu?2)
? 波的标准方程为y?Acos[?(t?)??]，将图中所示的数据代入即可得O点和波动方程。
选择填空题(1)
选择填空题(2)2. 如图一平面简谐波在t=0时刻的波形图，试在图(b)、(c)画出P处质点和Q处质点的振动曲线，并写出相应的振动方程。其中波速u?20m?s.x,y以米计，t以秒计。
?1? 平面简谐波的方程为y?Acos[?(t?)??]，
P点振动方程：yP?0.2cos[2?(0.5t?
xuy?0.2cos[2?(0.5t?x?)?] 40220??)?]?0.2cos[?t?] 402230?)?]?0.2cos[?t??] 402Q点振动方程：yQ?0.2cos[2?(0.5t?选择填空题(2)选择填空题(2)3. 如图为一平面简谐波在t时刻的波形曲线，其中质量元A、B的yA?yB若此时A点动能增大。
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则： 【 B 】
选择填空题(3)(A) A的弹性势能在减少； (B) 波沿x轴负方向传播； (C) B点振动动能在减少；
(D) 各质量元的能量密度都不随时间变化。
? A点动能增大，说明波沿X轴的负方向传播，答案A、
C和D与情况不符。
4.如图所示，P点距波源S1和S2的距离分别为3?和10?/3， ?为两列波在介质中的波长，若P点的合振幅总是极大值，则两波源应满足的条件是??0??2??1?2k??2?。 3? 根据两列波叠加，振幅具有最大值的条件为是两列波在P点振动的位相差：
???(?2??1)?2?r2?r1??2k?
r2?r1两列波源的初位相差：??0??2??1?2k??2?
??2k??2? 3选择填空题(5)选择填空题(4)
5. 如图所示，S1和S2为两相干波源，它们的振动方向均垂直图面，发出波长为?的简谐波。P点是两列波相遇区域一点，已知S1P=2?， S2P=2.2?，两列波在P点发生的相消干涉，若S1的振动方程为y1?Acos(2?t??2)，则S2的振动方程为： 【 D 】
(B)y2?Acos(2?t??);
?);2
?(C)y2?Acos(2?t?);2(A)y2?Acos(2?t?(D)y2?2Acos2(?t?0.1?)? 两列波在P合成振动振幅的最小值条件为
两列波在P点的位相差：???(?2??1)?2?两列波源的初位相差：??0r2?r1???(2k?1)?
??2??1??(2k?1)??2?r2?r1???(2k?1)??2? 5 Created by XCH Page 16 6/30/2019
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2?2?????1???????，所以：y2?Acos(2?t?0.1?) 55210tx6.如果入射波的方程式是y1?Acos2?(?)，在x=0处发生反射后形成驻波，反射点为波腹，
T?tx2?设反射后波的强度不变，则反射波的方程式y2?Acos2?(?)；在x?处质点合振动的振
T?3k?0，?2????幅等于A。
? 反射波沿X轴正方向，且反射点为波腹，无半波损失。
所以 y2?Acos2?(将x?txx?)，驻波方程：y?2Acos2?cos2??t T??2?代入驻波方程，得到该处质点振幅为A。 3
二、计算题
1. 一轻弹簧的倔强系数为k，其下悬有一质量为m的盘子，现有一质量为M的物体从离盘h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动
(1) 此时振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2) 此时的振动的振幅多大?
(3) 取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振
动时为计时起点，求初相，并写出物体与盘子的振动的方程。
? 研究对象为倔强系数为k的弹簧、质量为m的盘子和质量
为M的物体。
选取系统的平衡点O原点，物体振动在任一位置时满足的
? x方程：(m?M)g?k(x?x0?x'0)?(m?M)?式中：Mg?kx0,mg?kx'0
2计算题(1)???2x?0，式中：??x所以，?k
m?Mm k(1) 物体M未粘之前，托盘的振动周期：T0?2?物体M粘之后，托盘的振动周期：T?2?m?M，由此可见托盘振动的周期变长。 k (2) 物体M与托盘m碰撞，在X轴方向（垂直方向）动量近似守恒。
M2gh?(m?M)v0，v0?Mm?M2gh
2gh
MMgv?以物体粘上托盘开始运动为起始时刻：t?0，x0??，0m?Mk Created by XCH Page 17 6/30/2019
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M)22gh2v0Mg22)?m?M托盘和物体振动的振幅：A?x0?2?(
k?km?M(A?Mg2kh1? k(m?M)g (3) 振动的初位相：tg???2khv0， ????arctg（位移为负，速度为正，?x0?(m?M)g为第三象限），物体和托盘的振动方程：
x?
Mg2khk2kh1?cos(t???arctg) k(m?M)gm?M(m?M)g2. 如图所示，两根相同的弹簧与质点m联接，放在光滑水平面上。弹簧另一端各固定在墙上，两端墙之间距离等于弹簧原长二倍，令m沿水平面振动，当m运动到二墙中点时，将一质量为M的质点轻轻地粘在m上(设粘上m前，M的速度为O)。求M与m粘上前后，振动系统的圆频率。
??x? m质点振动的微分方程：?m质点振动的圆频率：??2kx?0 m2k m计算题(2)M与m粘上以后，系统振动的圆频率：?'?2k
m?MM与m粘上后，系统振动振幅的计算；
设原来的振动振幅为A，粘上以后系统的振动振幅为A'。 在水平方向系统的动量守恒（平衡位置）：mvmax?(m?M)v'max
v'max?mmvmax?A?
m?Mm?MmA?
m?M因为v'max?A'?'，所以：A'?'?M与m粘上后，系统振动振幅：A'?
mA
m?Mx3. 一平面简谐波沿X正方向传播，波函数??Acos[2?(vt??)??0]求
(1) x=L处媒质质点振动的初位相；
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(2) 与x=L处质点的振动状态在各时刻相同的其它质点位置；
(3) 与x=L处质点在各时刻振动速度大小均相同，而振动方向均相反的各点的位置。
? (1) x?L处振动方程：??Acos[2?(?t?)??0]
?L??Acos[2??t?(?2?L???0)]?Acos(2??t??), 初位相：???2?L???0
(2) x?L处质点在任意时刻的振动方程：??Acos[2?(?t?L?)??0]
x距离原点x处的一点在任意时刻的振动方程：?x?Acos[2?(?t?两各质点的振动状态一样，须满足：
?)??0]
[2?(?t?L?)??0]?[2?(?t?x?)??0]?2k?, x?k??L，k??1,?2,?3,?4,?
????2??Asin[2?(?t?L)??] (3) x?L处质点在任意时刻的振动速度方程：?0???2??Asin[2?(?t?距离原点x处的一点在任意时刻的速度振动方程：?x如果速度大小一样，振动方向相反，须满足：
x?)??0]
[2?(?t?L?)??0]?[2?(?t??2x?)??0]?(2k?1)?
x?(2k?1)
?L，k??1,?2,?3,?4,?
*4. 一平面余弦波沿X轴正向传播，已知a点的振动表示式为?a?Acos?t,在X轴原点O的右侧l处有一厚度为D的媒质2，在媒质1和媒质2中的波速为
u1和u2，且?1u1??2u2，如图所示。
(1) 写出1区沿X正向传播的波的波函数；
(2) 写出在S1面上反射波的波函数(设振幅为
A1R)； (3) 写出在S2面上反射波在1区的波函数(设回
到1区的反射波振幅为A2R)；
计算题(4)(4) 若使上两列反射波在1区内叠加后的合振幅A为最大，问媒质2的厚度D至少应为多厚?
? a点振动方程为：?a?Acos?t, 原点O处质点的振动方程：?O?Acos?(t?(1) 1区沿X正方向的波函数：?1?Acos?(t?d) u1x?d) u1(2) 在反射面S1上，波是从波疏媒质到波密媒质，有半波损失。
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反射波在反射面S1的质点振动方程：?1R?Acos[?(t?反射波在原点O的振动方程：?O1R?Acos[?(t?反射波在1区沿X轴负方向波函数：?1RL?d)??] u12L?d)??] u1
?A1Rcos[?(t?x?(2L?d))??]
u1
x?dD?) (3) 波传播到S2面上时的振动方程：?2?Acos?(t?u1u2在反射面S2上，波是从波密媒质到波疏媒质，无半波损失。 反射波在反射面S2的质点振动方程：?2R?Acos?(t?反射波在原点O的振动方程：
L?dD?) u1u2?O2R?Acos?(t?2L?d2D?) u1u2反射波在1区沿X轴负方向波函数：?2R?Acos?[t?x?(2L?d)2D?]
u1u2(4) 两列反射波在1区叠加，振幅A为最大，须满足：
????[x?(2L?d)2Dx?(2L?d)?]?[???]?2k?
u1u2u1????(?2D?2D?2k???，令k = 1 )???2k?，uu22媒质2的厚度至少为：D??u22?
单元四 (二) 杨氏双缝实验
一、填空题
1. 相干光满足的条件是1）频率相同；2）位相差恒定；3）光矢量振动方向平行，有两束相干光, 频率为?，初相相同，在空气中传播，若在相遇点它们几何路程差为r2?r1,则相位差
???2??(r2?r1)。 c2. 光强均为I0的两束相干光相遇而发生干涉时，在相遇区域内有可能出现的最大光强是4I0。可能出现的最小光强是0。
3. 在真空中沿Z轴负方向传播的平面电磁波，O点处电场强度Ex?300cos(2??t??3) (SI)，则
O点处磁场强度：Hy??300?0?cos(2??t?)。用图示表明电场强度、磁场强度和传播速度之?03 Created by XCH Page 20 6/30/2019
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间的关系。
填空题(3)
4. 试分析在双缝实验中，当作如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何变化?
填空题(4)(A) 双缝间距变小：条纹变宽； (B) 屏幕移近： 条纹变窄； (C) 波长变长： 条纹变宽；
(D) 如图所示，把双缝中的一条狭缝挡住，并在两缝垂直平分线上放一块平面反射镜： 看到的
明条纹亮度暗一些，与杨氏双缝干涉相比较，明暗条纹相反；
(E) 将光源S向下移动到S'位置：条纹上移。
二、计算题
1. 在双缝干涉的实验中，用波长??546nm的单色光照射，双缝与屏的距离D=300mm，测得中央明条纹两侧的两个第五级明条纹之间的间距为12.2mm，求双缝间的距离。
? 由在杨氏双缝干涉实验中，亮条纹的位置由x?Dk?来确定。 d用波长??546nm的单色光照射，得到两个第五级明条纹之间的间距：?x5?双缝间的距离：d?D10? dD10? ?x5d?
30010?546?10?9m，d?1.34?10?4m 12.22. 在一双缝实验中，缝间距为5.0mm，缝离屏1.0m，在屏上可见到两个干涉花样。一个由
??480nm的光产生，另一个由?'?600nm的光产生。问在屏上两个不同花样第三级干涉条纹间
的距离是多少?
? 对于??480nm的光，第三级条纹的位置：x?D3? dD对于?'?600nm的光，第三级条纹的位置：x'?3?'
dD?5那么：?x?x'?x?3(?'??)，?x?7.2?10m
d Created by XCH Page 21 6/30/2019
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单元五 双缝干涉（续）劈尖的干涉，牛顿环
一、 选择、填空题
1. 在相同的时间内，一束波长为?的单色光在空气中和在玻璃中： 【 C 】
(A) 传播的路程相等，走过的光程相等； (B) 传播的路程相等，走过的光程不相等；
(C) 传播的路程不相等，走过的光程相等； (D) 传播的路程不相等，走过的光程不相等。 2. 如图，如果S1、S2 是两个相干光源，它们到P点的距离分别为r1、r2和，路径S1P垂直穿过一块厚度为t1，折射率为n1的介质板，路径S2P垂直穿过厚度为t2，折射率为n2的另一介质板，其余部分可看作真空，这两条路径的光程差等于： 【 B 】
(A)(r2?n2t2)?(r1?n1t1);(B)[r2?(n2?1)t2]?[r1?(n1?1)t1];
(C)(r2?n2t2)?(r1?n1t1);(D)n2t2?n1t1
选择填空题(2)选择填空题(3)
3. 如图所示，在双缝干涉实验中SS1 = SS2用波长为?的光照射双缝S1、S2，通过空气后在屏幕E上形成干涉条纹，已知P点处为第三级明条纹，则S1、S2到P点的光程差为3?。若将整个装置放于某种透明液体中，P点为第四级明条纹，则该液体的折射率n?1.33。 4. 一双缝干涉装置，在空气中观察时干涉条纹间距为1.0mm，若整个装置放在水中，干涉条纹的间距将为0.75mm。(设水的折射率为4/3)
5. 如图所示，平行单色光垂直照射到薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，若薄膜厚度为e，而且n1?n2?n3，?1为入射光在折射率为n1的媒质中的波长，则两束反射光在相遇点的位相差为： 【 C 】
选择填空题(5)nene(A)2?n2e； (B) 4?n1e??； (C) 4?2??； (D) 4?2
n1?1n1?1n1?1n1?16. 两块平玻璃构成空气劈尖，左边为棱边，用单色平行光垂直入射，若上面的平玻璃慢慢地向上平移，则干涉条纹： 【 E 】
(A) 向棱边方向平移，条纹间隔变小；
(B) 向远离棱的方向平移，条纹间隔不变； (C) 向棱边方向平移，条纹间隔变大； (D) 向远离棱的方向平移，条纹间隔变小； (E) 向棱边方向平移，条纹间隔不变。
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7. 如图所示，一光学平板玻璃A与待测工件B之间形成空气劈尖，用波长?=500 nm的单色光垂直入射。 看到的反射光的干涉条纹如图所示。有些条纹弯曲部分的顶点恰好与其右边条纹的直线部分相切。 则工件的上表面缺陷是： 【 B 】
选择填空题(7)
8. 如图所示，用单色光垂直照射在观察牛顿环的装置上，当平凸透镜向上缓慢平移而远离平面玻璃时，可以观察到这些环状干涉条纹： 【 B 】
(A) 不平处为凸起纹，最大高度为500 nm；
(B) 不平处为凸起纹，最大高度为250 nm; (C) 不平处为凹槽，最大深度为500 nm；
(D) 不平处为凹槽，最大深度为250 nm
(A) 向右平移； (B) 向中心收缩； (C) 向外扩张； (D) 静止不动； (E) 向左平移
选择填空题(8)选择填空题(9)
9. 如图所示，平板玻璃和凸透镜构成牛顿环装置，全部浸入n=1.60的液体中，凸透镜可沿OO’移动，用波长?=500 nm的单色光垂直入射。从上向下观察，看到中心是一个暗斑，此时凸透镜顶点距平板玻璃的距离最少是 【 A 】
(A) 78.1 nm； (B) 74.4 nm； (C) 156.3 nm； (D) 148.8 nm； (E) 0 10. 在牛顿环装置的平凸透镜和平板玻璃间充以某种透明液体，观测到第10个明环的直径由充液前的14.8 cm变成充液后的12.7 cm，则这种液体的折射率：n?1.36。
二、计算题
1. 在双缝干涉的实验装置中，幕到双缝的距离D 远大于双缝之间的距离d。整个双缝装置放在空气中。对于钠黄光??589.3nm，产生的干涉条纹相邻两明纹的角距离（即相邻两明纹对双缝中心处的张角）为0.20。
?(1)
对于什么波长的光，这个双缝装置所得相邻
两明纹的角距离将比用钠黄光测得的角距离大10%？
(2) 假想将此整个装置浸入水中（水的折射率
n=1.33）， 相邻两明纹的角距离有多大？
xD? 第k级明条纹的位置：xk?k?，tg?k?k
dD因为D>>d，tg?k??k
计算题(1) Created by XCH Page 23 6/30/2019
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?1? (xk?1?xk)，???，d?Dd????'??已知??0.20，如果??'?0.22，入射光波长?'?d??'，?'??，?'?648.2nm
由图中可以得到： 明条纹的角距离????k?1??k，?????589.3nm，?'?443.1nm n?'443.1相邻两明纹的角距离：??'???，??'??0.200，??'?0.150
?589.3将此整个装置浸入水中，光在水中的波长：?'?
2. 在折射率为n=1.68的平板玻璃表面涂一层折射率为n=1.38的MgF2透明薄膜，可以减少玻璃表面的反射光。若有波长
计算题(2)??500nm的单色光垂直入射，为了尽量减少反射，则MgF2薄膜的最小厚度应是多少?
? MgF2透明薄膜上下两个表面反射光在相遇点的光程差：
??2en2（上下两个表面的反射光均有半波损失）。
要求反射最小，满足2en2?(2k?1)?2
MgF2薄膜的最小厚度：emin??4n2
?8将n2?1.38和??500nm带入得到：emin?9.058?10m
3. 在双缝干涉实验中，单色光源S0到两缝S1、S2的距离分别为l1、l2，并且l1?l2?3?,?为入射光的波长，双缝之间的距离为d，双缝到屏幕的距离为D，如图，求：
(1) 零级明纹到屏幕中央O点的距离； (2) 相邻明条纹
间的距离。
? 两缝发出的光在相遇点的位相差：
????10??20?2???
计算题(3)根据给出的条件：?10??20??所以，????6??2???3?
2???
明条纹满足：???2k?，?6??明条纹的位置：x?2????2k?，??(k?3)?
DD?，x?(k?3)? dd3D?，零级明条纹在O点上方。 令k?0，得到零级明条纹的位置：x0?d Created by XCH Page 24 6/30/2019
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相邻明条纹间的距离：?x?
D? d4. 用真空中波长?=589.3nm的单色光垂直照射折射率为1.50的劈尖薄膜，产生等厚干涉条纹，测得相邻暗条纹间距l?0.15cm，那么劈尖角?应是多少?
? 劈尖薄膜干涉中，条纹间距l??ek sin?1???(2k?1)，2nek?k? 22?ek??暗条纹的厚度差：?ek?，劈尖角：sin?? ?2nl2nl??sin??1.3?10?4rad
暗条纹的光程差满足：2nek?
5. 用波长为?的平行单色光垂直照射图中所示的装置，观察空气薄膜上下表面反射光形成的等厚干涉条纹，试在图中所示的装置下方的方框内画出相应的条纹，只画暗条纹，表示出它们的形状，条数和疏密。
? 劈尖空气薄膜干涉中，暗条纹的光程差满足：
1?2e???(2k?1)，2e?k?
227B点干涉级数：2???k?，k?3.5 计算题(5)4即：B点不是暗条纹。
11明条纹的光程差满足：2e???k?，2e?(k?)?, 将B点厚度带入得到：k?4。
22说明B点是第4级明条纹。暗条纹的形状，条数和疏密如图所示。
6. 在牛顿环装置的平凸透镜和平板玻璃之间充满折射率n=1.33的透明液体（设平凸透镜和平板玻璃的折射率都大于1.33），凸透镜的曲率半径为300cm，波长?=650nm
的平行单色光垂直照射到牛顿环装置上，凸透镜的顶部刚好与平玻璃板接触。求：
(1) 从中心向外数第十个明环所在处液体厚度e10；
(2) 第十个明环的半径r10。
1? 在牛顿环干涉实验中明环的光程差满足：2ne???k?
22k?1? 明环所在处液体的厚度：e?4n2?10?1?，e10?2.3?10?6m 第十个明环所在处液体厚度：e10?4n Created by XCH Page 25 6/30/2019
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r2?3由e?，可以得到第10 个明环的半径：r10?2Re10，r10?3.72?10m
2R单元六 牛顿环（续）单缝衍射， 光学仪器的分辨率
一、 选择、填空题
1. 惠更斯引进子波的概念提出了惠更斯原理，菲涅耳再用子波相干叠加的思想补充了惠更斯原理，发展成了惠更斯-菲涅耳原理。
2. 平行单色光垂直入射于单缝上，观察夫琅和费衍射，若屏上P点处为第二级暗纹，则单缝处波面相应地可划分为4个半波带，若将单缝缩小一半，P点将是1级暗纹，若衍射角?增加，则单缝被分的半波带数增加，每个半波带的面积减小（与4个半波带时的面积相比），相应明纹亮度减弱。
3. 测量未知单缝宽度a的一种方法是：用已知波长?的平行光垂直入射在单缝上，在距单缝的距离为D处测出衍射花样的中央亮纹宽度L，(实验上应保证D?10a，或D为几米)，则由单缝衍射的原理可标出a与?，D，L的关系为：a?2
4. 如果单缝夫琅和费衍射的第一级暗纹发生在衍射角30°的方向上，所用单色光波长??500nm，则单缝宽度为1?m。
5. 一束波长?的平行单色光垂直入射到一单缝AB上，装置如图，在屏幕D上形成衍射图样，如果
3D?。 LP是中央亮纹一侧第一个暗纹所在的位置，则BC的长度为 【 A 】
(A) ?； (B) ?/2； (C) 3?/2； (D) 2?
选择填空题(5)选择填空题(6)
6. 在单缝夫琅和费衍射示意图中，所画出的各条正入射光线间距相等，那末光线1与3在幕上P点上相遇时的位相差为2?，P点应为暗点（在该方向上，单缝可分为4个半波带）。
7. 当把单缝衍射装置放在水中时，衍射图样发生的变化是条纹收缩，条纹间距变窄。用公式
asin??(2k?1)?2来测定光的波长，测出光的波长是光在水中的波长。
8. 波长为?的单色平行光，经园孔(直径为D)衍射后，在屏上形成同心圆形状（或圆环）的明暗条
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纹，中央亮班叫爱里斑，根据瑞利判据，园孔的最小分辨角???1.22二、计算题
1. 一平凸透镜放在一平晶上，以波长为
?D。
??589.3nm单色光垂直照射于其上，测量反射光
的牛顿环，测得从中央数起第k个暗环的弦长为
Lk?3.00mm,第(k+5)个暗环的弦长为
Lk?5?4.60mm，如图所示，求平凸透镜的球面的
曲率半径R。
? 对于第k级暗环：rk?kR?
对于第k+5级暗环：rk?5?(k?5)R?
r2k?5?r2kR?
5?由几何关系得到：
计算题(1)r2k?(r2k?5Lk2L)?r2k?5?(k?5)2 222k?rLk?52Lk2L2k?5?L2k ?()?()，R?20?22将??589.3nm,Lk?3.00mm和Lk?5?4.60mm代入得到：R?1.03m
2. 波长为500nm的平行光垂直地入射于一宽为1mm的狭缝，若在缝的后面有一焦距为100cm的薄透镜，使光线会聚于一屏幕上，试求： 中央明纹宽度；第一级明纹的位置，两侧第二级暗纹之间的距离。
? 中央明纹宽度：?x0?f'2??3，?x0?10m a第一级明纹的位置：asin???(2k?1)?2，sin???3? 2a3?f'，x1?7.5?10?4m 2a2?f'，?x2?2.0?10?3m 两侧第二级暗纹之间的距离：?x?2?ax1?f'sin??
3. 今有白光形成的单缝夫琅和费衍射图样，若其中某一光波的第3级明纹和红光(??600nm)的第二级明纹相重合，求此这一光波的波长。
? 对于夫琅和费单缝衍射，明纹的位置：asin???(2k?1)根据题意：asin???(2?3?1)?2
?'2和asin???(2?2?1)?2
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(2?3?1)
?'2?(2?2?1)?2，?'?428.6nm
4. 如图所示，设有一波长为?的单色平面波沿着与缝面的法线成?角的方向入射于宽为a的单狭缝
AB上，试求出决定各极小值的衍射角?的条件。
? 将单缝上的波面分成宽度为?s，相邻?s上各对应点发出光的光程差为?，?s称为半波带。
如果衍射光与入射光不在同一侧（如左图所示），AB两点到P点的光程差：??AC?BD
12计算题(4)计算题(4)
??asin??asin?，平行于狭缝的半波带的数目：N?a(sin??sin?)a(sin??sin?)?2
衍射极小值满足：N??2?2k，a(sin??sin?)?k?
如果衍射光与入射光在同一侧（如右图所示），AB两点到P点的光程差：??AC?AD
??asin??asin?，平行于狭缝的半波带的数目：N?a(sin??sin?)a(sin??sin?)?2
衍射极小值满足：N??2?2k，a(sin??sin?)?k?
所以，各极小值的衍射角?的条件：
a(sin??sin?)?k?a(sin??sin?)?k?
(IncidencelightandDiffractionlightarenotinthesameside)
(IncidencelightandDiffractionlightareinthesameside)5. 通常亮度下，人眼瞳孔直径约3mm，人眼的最小分辨角是多大？远处两根细丝之间的距离为
2.0mm，问离开多远恰能分辨？（人眼视觉最敏感的黄绿光波长??550nm）
? 根据瑞利判据：人眼瞳孔的最小分辨角：???1.22?D
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2.0??1.22 xD2.0将??550nm，D?3.0mm代入得到：x?D，x?8.93m
1.22?单元七 光 栅
设两根细丝离开x远时人眼恰能分辨，则
一、选择、填空题
1. 波长为500nm单色光垂直入射到光栅常数为1.0?10cm的衍射光栅上，第一级衍射主极大所对应的衍射角??30?。
2. 用波长为589.3nm钠黄光垂直入射在每毫米有500条缝的光栅上，求第一级主极大的衍射角。
?4(A) 21.7° (B) 17.1° (C) 33.6° (D) 8.4° 【 B 】
3. 波长??550nm单色光垂直入射于光栅常数d?2?10cm的平面衍射光栅上，可能观察到的光谱线的最大级次为： 【 B 】
?4(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
4. 平面衍射光栅宽2cm，共有8000条缝。用钠黄光（589.3nm）垂直照射，可观察到光谱线最大级次4，对应衍射角70?。
5. 一束白光垂直照射在一光栅上，在形成的同一级光栅光谱中，偏离中央明纹最远的是： 【 D 】
(A) 紫光 (B) 绿光 (C) 黄光 (D) 红光
6. 设光栅平面、透镜均与屏幕平行。则当入射的平行单色光从垂直于光栅平面入射变为斜入射时，能观察到的光谱线的最高级数k： 【 B 】
(A) 变小 (B) 变大 (C) 不变 (D) 改变无法确定 7. 若光栅的光栅常数为(a+b)，透光缝宽为a，则同时满足asin??k'?和，(a?b)sin??k?时，
会出现缺级现象，如果b=a，则光谱中缺k??2,?4,?级。如果b=2a，缺k??3,?6,?级 8. 一束平行单色光垂直入射在光栅上，当光栅常数(a+b)为下列哪种情况时，(a代表每条缝的宽度)，
k=3、6、9等级次的主极大均不出现： 【 B 】
(A) a+b=2a (B) a+b=3a (C) a+b=4a (D) a+b=6a
二、计算题
1. 用一束具有两种波长?1?600nm,?2?400nm的平行光垂直入射在光栅上，发现距中央明纹5cm处，?1光的第k级主极大和?2光的第(k+1)级主极大相重合，放置在光栅与屏之间的透镜的焦距f=50 m，试问：
(1) 上述k=?；(2) 光栅常数d=?
? 根据题意对于两种波长的光有：
dsin??k?1和dsin??(k?1)?2
从上面两式得到：k??2?1??2
计算题(1)将?1?600nm,?2?400nm带入解得，k?2
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又x?fsin?，x?fk?1k?1，d?f dxd?50cm?2?600nm?5，d?1.2?10m
5cm?32. 一衍射光栅，每厘米有200条透光缝，每条透光缝宽为a?2?10cm，在光栅后放一焦距f=1m的凸透镜，现以??600nm单色平行光垂直照射光栅，求：
(1) 透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少? (2) 在该宽度内，有几个光栅衍射主极大?
? 单缝衍射中央明条纹的角宽度：??0?2?中央明条纹宽度：?x0?f???0?2f??a?4，??0?6?10rad
?a?2，?x0?6?10m
10?2m，d?5?10?5m 光栅常数：d?200单缝衍射的第一级暗纹的位置：asin??k'?，asin?1??
在该方向上光栅衍射主极大的级数：dsin?1?k?
d?5?5，将a?2?10m和d?5?10m带入：k?2.5 a
即单缝衍射中央明条纹宽度内有5个光栅衍射主极大：＋2，＋1，0，－1，－2
0
3. 波长为??600nm的单色光垂直入射到光栅上，测得第2级主极大的衍射角为30，且第三级缺
两式相比：k?级，问：
(1) 光栅常数(a+b)是多少?
(2) 透光缝可能的最小宽度a 是多少?
(3) 在选定了上述(a+b)与a值后，屏幕上可能出现的全部主极大的级数。
k?2?600nm? 由光栅衍射方程：dsin??k?，d?，d??2.4?10?6m 0sin?sin30光栅衍射缺级级数满足：k?dk' ad2.4?m?6，a?0.8?10m ?k3d0屏幕上光栅衍射谱线的可能最大级数：dsin90?k?，k?，k?4（该衍射条纹不可能观
如果第三级谱线缺级，透光缝可能的最小宽度：a??测到）。
屏幕上光栅衍射谱线的缺级级数：k??3
屏幕上可能出现的全部主极大的级数：?2,?1,0，共5个条纹
4. 以波长为??500nm的单色平行光斜入射在光栅常数a?b?2.10?m，缝宽a?0.70?m的光栅上，入射角i=30，问屏上能看到哪几级谱线?
0
? 在斜入射情况下，光栅方程：d(sini?sin?)?k?
入射光和衍射光在同一侧：令??90，d(sin30?sin90)?k?，最大谱线级数：k?6.3
000 Created by XCH Page 30 6/30/2019
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d(sin30?sin90)?k?，入射光和衍射光不在同一侧：令??90，最大谱线级数：k??2.1
000dk'，k?3k'，k??3,?6,?9? a屏上能看到的谱线级数：k??5,?4,?2,?1,0,?1,?2，共7条谱线。
缺级级数：k?单元八 （一）光的偏振
一、选择、填空题
21. 马吕斯定律的数学表达式为I?I0cos?。式中I为通过检偏器的透射光的强度，I0为入射线偏
振光的强度；?为入射光矢量的振动方向和检偏器偏振化方向之间的夹角。
2. 两个偏振片堆叠在一起，偏振化方向相互垂直，若一束强度为I0的线偏振光入射，其光矢量振动方向与第一偏振片偏振化方向夹角为光强为0。
3. 光强为I0的自然光依次通过两个偏振片P1和P2，P1和P2的偏振化方向的夹角??30,则透射偏振光的强度I是： 【 E 】
.?1?，则穿过第一偏振片后的光强为I0，穿过两个偏振片后的
24I03I;(E)0
4288P1和P2的偏振化方向与原入射光光矢4. 使一光强为I0的平面偏振光先后通过两个偏振片P1和P2，
(B);(C);(D)振动方向的夹角分别是?and90，则通过这两个偏振片后的光强I是： 【 C 】
?I(A)0;43I03I0(A)1I0cos2?;2(B)0;(C)11I0sin2(2?);(D)I0sin2?;44?E?I0cos2?
5. 当一束自然光在两种介质分界面处发生反射和折射时，若反射光为完全偏振光，则折射光为部分偏振光，且反射光线和折射光线之间的夹角为
1?。反射光的光矢量振动方向垂直于入射面。 26. 一束自然光自空气射向一块平玻璃（如图），设入射角等于布儒斯特角i0，则在界面2的反射光是： 【 B 】
(A) 自然光；
(B) 完全偏振光且光矢量振动方向垂直于入射面； (C) 完全偏振光且光矢量振动方向平行于入射面； (D) 部分偏振光。
选择填空题(6)选择填空题(8) Created by XCH Page 31 6/30/2019
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7. 一束平行的自然光，以60角入射到平玻璃表面上，若反射光束是完全偏振的，则透射光束的折射角是30?；玻璃的折射率为3。
8. ABCD为一块方解石的一个截面，AB为垂直于纸面的晶体平面与纸面的交线，光轴方向在纸面内且与AB成一锐角?，如图所示，一束平行的单色自然光垂直于AB端面入射，在方解石内折射光分解为o光和e光，o光和e光的： 【 C 】
?(A) 传播方向相同，电场强度的振动方向互相垂直；
(B) 传播方向相同，电场强度的振动方向不互相垂直； (C) 传播方向不同，电场强度的振动方向互相垂直；
(D) 传播方向不同，电场强度的振动方向不互相垂直。
9. 在光学各向异性晶体内部有一确定的方向，沿这一方向寻常光和非常光的传播速度相等，这一方向称为晶体的光轴，只具有一个光轴方向的晶体称为单轴晶体。
二、 计算题
1. 两偏振片叠在一起， 欲使一束垂直入射的线偏振光经过这两个偏振片之后振动方向转过了90，且使出射光强尽可能大，那么入射光振动方向和两偏振片的偏振化方向间的夹角应如何选择？这种情况下的最大出射光强与入射光强的比值是多少？
?? 设入射线偏振光的强度为I0，入射光振动方向A和两偏振片的偏振化方向如图所示。
根据题意：????90
2通过P1的偏振光强度：I1?I0cos?；通过P2的
0
22偏振光强度：I2?I0cos?cos?
将??90??代入得到：I2?001I0sin22? 41I0 4计算题(1)显然 当????45时，出射光强最大。I2?最大出射光强与入射光强的比值：
I21? I04
2. 将三块偏振片叠放在一起，第二个与第三个的偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成45和90角。(1)光强为
??I0的自然光垂直地射到这一堆偏振片上，试求经每一偏振
片后的光强和偏振状态；(2)如果将第二个偏振片抽走，情况又如何？
? 按照题意，三块偏振片的偏振化方向如图所示。
1I0，为线偏振光； 21120通过P2的光强：I2?I0cos45，I2?I0
24通过P1的光强：I1?为线偏振光；
计算题(2) Created by XCH Page 32 6/30/2019
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20通过P3的光强：I3?I2cos45，I3?1I0，为线偏振光； 820如果将第二个偏振片抽走，I3?I1cos90，I3?0
3. 三块偏振片P1、P2、P3平行地放置，P1的偏振化方向和P3的偏振化方向垂直，一束光强为I0的平行单色自然光垂直入射到偏振片P1上，若每个偏振片吸收10%的入射光，当旋转偏振片P2时(保持平面方向不变)，通过P3的最大光强I等于多少？
? 通过P1的光强：
111I0?I0?10%, I1?0.9?I0 222通过P2的光强： I1?1I2?I1cos2??I1cos2??10%, I2?0.81?I0cos2?
22020通过P3的光强：I3?I2cos(90??)?I2cos(90??)?10%
计算题(3)11I3?0.729?I0cos2?sin2?，I3?0.729?I0sin22?
2810显然当??45时，通过P3的最大光强：I3?0.729?I0，I3?0.091I0
8
单元八（二） 波动光学习题课
一、选择、填空题
1. 真空中波长为?的单色光，在折射率为n的均匀透明媒质中，从A点沿某一路径传播到B点，若 A、B两点位相差为3π，则路径AB的光程为： 【 A 】
(A)l?1.5?;(B)l?1.5n?;(C)l?3?;(D)l?1.5?/n
2. 用波长为?的单色光垂直照射如图的劈尖膜(n1>n2>n3)，观察反射光干涉。从劈尖顶开始算起，第二条明纹中心所对应的膜厚度e??2n2
? 亮条纹满足的光程差条件：??2n2e?k?
第二条（k?1）亮条纹对应膜的厚度：e??2n2
选择填空题(3)选择填空题(2) Created by XCH Page 33 6/30/2019
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3. 在图示三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直照射，在反射光中看到干涉条纹，则在接触点P处形成的圆斑为： 【 D 】
(A) 全明； (B) 全暗； (C) 右半部明，左半部暗； (D) 右半部暗，左半部明。
? 右半部份上下两个面的光程差：?R?2n2e?所以在e?0处，?R??2，左半部份上下两个面的光程差：?L?2n2e
?2和?L?0，P处形成的圆斑右半部暗，左半部明。
4. 惠更斯-菲涅耳原理的基本内容是：波阵面上各面积元所发出的子波在观察点P的相干叠加，决定了P点的合振动及光强。
5. 光在装满水的玻璃容器底部反射时的布儒斯特角ib?tg折射率1.33。
6. 一束光是自然光和线偏振光的混合光，让它垂直通过一偏振片，若以此入射光束为轴旋转偏振片，测得透射光强度最大值是最小值的5倍，那么入射光束中自然光和线偏振光的光强比值为
?1n2?48.4?。设玻璃折射率1.50， 水n1I01?。 Ip2? 设自然光强度为I0，线偏振光强度为IP
透射光最大时：I0?Ip，透射光最小时：I0，根据题意有：I0?Ip?5?0
121212I11所以0? I0，
Ip227. 自然光以60的入射角照射到某两介质交界面时，反射光为完全偏振光，则知折射光为：【 D 】
(A) (B)
(C) (D)
二、计算题
完全偏振光且折射角是30；
0
部分偏振光且只在该光由真空入射到折射率为3的介质时，折射角是30；
0
部分偏振光，但须知两种介质的折射率才能确定折射角； 部分偏振光且折射角是30。
0
? 因为反射光为偏振光时：ib???90?，折射光为部分偏振光，??30?
1. 一双缝的缝距d=0.40 mm，两缝宽度都是a=0.080 mm，用波长为??480nm的单色光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f=2.0 m的透镜，求：
(1) 在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距；
(2) 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目和相应的级数。
? (1) 由dsin??k?得相邻两个亮纹间距：?x?f(tg?k?1?tg?k)?f480nm?2.4mm，?x?2.4?10?3m 60.4?10nmd(2) 由于单缝衍射极小值而形成缺级的亮纹级数：k?k'?5k'
a所以单缝衍射中央亮条纹范围内的双缝干涉条纹的数目为9条
?d
?x?2000mm相应的级数：0?1?2?3?4
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2. 如图所示，牛顿环装置的平凸透镜与平面玻璃有一小缝 e0。现用波长为?单色光垂直照射，已知平凸透镜的曲率半径为R，求反射光形成的牛顿环的各暗环半径。
? 上下两个表面任意厚度两束光光程差为：
rk2???2(e0?)?
2R2rk2??)??(2k?1) 暗纹满足：??2(e0?2R22暗环的半径：rk?(k??2e0)R
计算题(2)3. (1) 在单缝夫琅和费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，?1?400nm,?2?760nm已知单缝宽度a?1.0?10cm，透镜焦距f=50 cm。求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。
?2(2) 若用光栅常数d?1.0?10?3cm的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级
主极大之间的距离。
? (1) 单缝衍射明纹满足：asin??(2k?1)对于?1?400nm，sin?1?3?2
f?1 2a2a?f?对于?2?760nm，sin?'1?32，x'1?fsin?'1?32
2a2afx'1?x1?3(?2??1)?2.7mm，x'1?x1?2.7mm
2a，x1?fsin?1?3?1(2) 两种光入射d?1.0?10?3cm的光栅，谱线的光栅方程dsin??k?
?f?对于?1?400nm，sin?1?1，x1?fsin?1?1
dd?f?对于?2?760nm，sin?'1?2，x'1?fsin?'1?2
ddfx'1?x1?(?2??1)?18mm，x'1?x1?18mm
d0
4. 以氢放电管发出的光垂直照射到某光栅上，在衍射角?=41的方向上看到?1?656.2nm和
?2?410.1nm的谱线相重合，求光栅常数最小是多少？
? 对于?1?656.2nm，满足dsin??k?1， 对于?2?410.1nm，满足dsin??k'?2
设?1?656.2nm的第k级谱线和?2?410.1nm的第k'级谱线重合。 则满足：k'?2?k?1，k'??28k?k，k和k’均为整数。 ?25?1?656.2nm发生重合的谱线级数：k?5,10,15,20? ?2?410.1nm发生重合的谱线级数：k'?8,16,24,32?
从光栅方程dsin??k?1可以看出，给定衍射角?和波长?，谱线级数越高，要求光栅常数越大。 所以k?5级?1?656.2nm谱线和k'?8级?2?410.1nm谱线重合所对应的光栅常数为最小：
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dmin?5?1?5.0?10?6m sin?5. 一光束由强度相同的自然光和线偏振光混合而成，此光束垂直入射到几个叠在一起的偏振片上。
(1) 欲使最后出射光振动方向垂直于原来入射光中线偏振光的振动方向，并且入射光中两种成分的
光的出射光强相等，至少需要几个偏振片？它们的偏振化方向应如何放置？
(2) 这种情况下最后出射光强与入射光强的比值是多少？
? (1) 设入射自然光强度为I0，入射线偏振光强度Ip0，根据题意I0?Ip0
为满足题目的要求，至少需要2片偏振片，放置位置如图所示。 自然光通过P1，光强为I1?1I0 21I0sin2? 22自然光通过P2出射光强为：I2?线偏振光通过P1，光强为：Ip1?Ip0cos线偏振光通过P2出射光强为：
?
Ip2?Ip1sin2??Ip0cos2?sin2?
根据题目要求：I2?Ip2
1I0sin2??Ip0cos2?sin2? 2102将I0?Ip0代入得到：?cos?，??45
2I/21I1?0? (2) 最后总的出射光强：I?I2?Ip2?I0，
I0?Ip0I0?I042计算题(5)6. 如图所示，A是一块有小圆孔S的金属挡板，B是一块方解石，其光轴方向在纸面内，P是一块偏振片，C是屏幕。一束平行的自然光穿过小孔S后，垂直入射到方解石的端面上，当以入射光线为轴，转动方解石时，在屏幕C上能看到什么现象？
? 自然光入射方解石晶体，在晶体中形成光振动相互垂直的o光和e光，出射光形成两个光点。
11I0和Ie1?A2e1?I0 22当方解石以入射光为轴旋转时，入射偏振片P之前，Io1传播方向不变，偏振方向变化；Ie1的传Io1?A在空气中：
2o1?播方向变化，偏振方向发生变化。
设开始时偏振片P偏振化方向与Io1和Ie1的传播方向在纸面内，偏振片P方向和Ie1的振动方向一致。将方解石转旋一个角度，即P和Ae1之间的角度为?，屏幕C两光的光强分别为：
11I1?I0cos2?和I2?I0sin2?
22计算题(6) Created by XCH Page 36 6/30/2019
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结果：1）I2光点的位置不变，强度发生周期性变化；
2）I1光点绕I2光点旋转，强度发生周期性变化； 3）I1?I2?I0/2，两束光的光强发生明暗交替的变化。
单元九 洛仑兹变换 狭义相对论的时空观
一、 选择、填空题 1. 下列几种说法:
(1) 所有惯性系对物理基本规律都是等价的；
(2) 在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关； (3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速度都相同。
其中哪些说法是正确的？ 【 D 】
(A) 只有(1)、(2)是正确的； (B) 只有(1)、(3)是正确的；
(C) 只有(2)、(3)是正确的； (D) 三种说法都是正确的。
2. 在一惯性系S中同一地点，同时发生的两个事件，在相对于它运动的任一惯性系S’中的观察者看
来，必定同时同地发生。
3. 如果两个事件在某惯性系中是在同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短。
如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的空间距离，只有在此惯性系中最短。
4. 宇宙飞船相对地面以匀速度u直线飞行，某一时刻宇航员从飞船头部向飞船尾部发出一光讯号，经?t时间(飞船上的钟)后传到尾部，则此飞船固有长度为: 【 A 】
c?tu;(D)1?()2c?t (c为真空中光速)
cu1?()2c5. 边长为a的正方形薄板静止于惯性系S的XOY平面内，且两边分别与X，Y轴平行，今有惯性系S’以0.8 c (c为真空中光速)的速度相对于S系沿X轴作匀速直线运动，则从S’系测得薄板的面积为： 【 B 】
(A)c?t;(B)u?t;(C)a2(A)a;(B)0.6a;(C)0.8a;(D)
0.66. 牛郎星距离地球约16光年，宇宙飞船若以0.97c的匀速度飞行，将用4年的时间(宇宙飞船的钟
222指示的时间)抵达牛郎星。
二、计算题
1. 观察者A测得与他相对静止的XOY平面上一个圆的面积是12cm，另一观察者B相对A以0.8c ( c为真空中光速)平行于XOY平面作匀速直线运动，B测得这一图形为一椭圆，面积是多少?
2? 观察者A测得XOY平面上一个圆的面积S??r2?12cm2
观察者B测得的面积：S'??ab，其中a?r（垂直于运动方向，长度不发生收缩）
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u2b?r1?2（运动方向上长度发生收缩）
cu2u2S'??r1?2，S'?S1?2，将S?12cm2和u?0.8c代入得到：S'?7.2cm2
cc2
2. 一宇宙飞船固有长度L0?90m，相对地面以u=0.8c匀速度在一观测站上空飞过，则观测站测得飞船船身通过观测站时间间隔是多少？宇航员测得船身通过观测站的时间隔是多少？
u2? 观测站测得飞船船身的长度：L?L01?2，L?54m
cL54?7，?t?，?t?2.25?10s u0.8cL90?7宇航员测得船身通过观测站的时间隔：?t'?0，?t'?，?t'?3.75?10s
u0.8c船身通过观测站时间间隔：?t?
3. 在惯性系S中，有两个事件同时发生在X轴上相距1000 m的两点，而在另一惯性系S’ (沿X轴方向相对于S系运动)中测得这两个事件发生的地点相距2000 m。求在S’系中测得这两个事件的时间间隔。
? 惯性系S中两个同时不同地事件：事件1：x1,t，事件2：x2,t
惯性系S’ 中测得这两个事件间隔：事件1：x'1,t'1，事件2：x'2,t'2
u?x2根据洛伦兹变换式，S’系中测得这两个事件的时间间隔：?t'?c
2u1?2c?3u2?x'21??()?x'?S’系中测得这两个事件的空间间隔：，由此式解得：，u?c 22c?x2u1?2c?xu?x23?6c将u?，得到?t'??5.67?10s c代入?t'?2u21?2c?
4. 观测者甲和乙分别静止于两个惯性参照系S和S’中，甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为5s，求:
(1) S’相对于S的运动速度； (2) 乙测得这两个事件发生的地点的距离。
? 根据时间膨胀计算公式：?t'??t1?uc22，4?51?uc22，u?0.6c
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乙测得这两个事件发生的地点的距离：?x'??x?u?t1?uc22，?x'??u?t1?uc22（S系中同地不同时的
两个事件）
将u?0.6c，?t?4s代入得到：?x'??9?10m
8
单元十 (一) 相对论动力学
一、 选择、填空题
4c的速度(c为真空中光速)相对于静止的观察者乙运动，若甲携带一长度为L、截面5积为S，质量为m的棒，这根棒安放在运动方向上，则
m(1) 甲测得此棒的密度为?0?；
LS1. 观测者甲以
(2) 乙测得此棒的密度为??25m。 9LS2. 匀质细棒静止时质量为m0，长度l0，当它沿棒长方向作高速匀速直线运动时，测得长为l，那么棒的运动速度v?c1?(ll2)；该棒具有的动能Ek?(?1)m0c2。
l0l03. 设电子静止质量为Me，若将一个电子从静止加速到速率0.6c ( c为真空中光速)，需做功
A?2Mec2。 3qEct22(qEt)2?m0c4. 一静止质量为m0，带电量为q的粒子，其初速为零，在均匀电场E中加速，在时刻t时它所获得的速度是
二、计算题
1. 已知电子的静能为0.511Mev，若电子动能为0.25Mev，则它所增加的质量?m与静止质量m0的比值近似等于多少
。如果不考虑相对论效应，它的速度是
qEt。 m0? 电子的相对论能量：E?Ek?E0，?E?E?E0?Ek
?E??mc2?Ek，?m?EkEkEk?m??， 22m0m0cE0c增加的质量?m与静止质量m0的比值:
?mm0?0.49
22. 某一宇宙射线中的介子的动能Ek?7M0c，其中M0是介子的静止质量，试求在实验室中观察
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到它的寿命是它的固有寿命的多少倍。
? 因为?E??mc2?Ek，(m?m0)c2?7m0c2，m?8m0，代入m?得到：
m01??2
11??2??0m1，, 得到：??8?0 ?8，代入??22m01??1??3. 设快速运动的介子的能量约为E?3000MeV，而这种介子在静止时的能量为E0?100MeV，
?68若这种介子的固有寿命是?0?2?10s，求它运动的距离(真空中光速c?2.9979?10m/s)。
? 设固定在介子上的参照系为S’。
2根据E?E0?(m?m0)c，将E?3000MeV，E0?100MeV和m?m01??2代入得到
11??2?30，即
11?uc22?30
由此式解出介子运动速度：u?c89930
根据洛伦兹变换, 介子在S参照系中运动的距离：?x?个事件，?x'?0） 将
u?01??2（S’参照系中同地不同时的两
11??2?30，u?c489930?6和?0?2?10s代入?x?u?01??2
得到：?x?1.8?10m
4. 求一个质子和一个中子结合成一个氘核时放出的能量(用焦耳和电子伏特表示)。已知它们的静止质量分别为：
质子mp?1.67262?10?27kg; 中子mn?1.67493?10?27kg; 氘核mD?3.34359?10?27kg;
? 结合前的系统的总能量为静止能量：E?E0?mpc2?mnc2
结合后系统的总能量：E'?E'0?mDc
一个质子和一个中子结合成一个氘核时放出的能量：?E?E'0?E0?(mD?mp?mn)c
22?E?2.224MeV
单元十 （二）狭义相对论习题课
一、 选择、填空题
1. 一宇航员要到离地球5光年的星球去旅行，现宇航员希望将这路程缩短为3光年，则他所乘火箭
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相对于地球速度是： 【 C 】
(A)1c;2(B)3c;5(C)4c;5(D)9c 10? 地球上测得星球的距离l0?5光年，在做相对运动的火箭上观察l?3光年，所以火箭的速度满
足：l?l0
2. 在O参照系中，有一静止的正方形，其面积为100cm2，以0.8c的匀速度沿正方形的对角线运动，所测得的该图形的面积是s'?60cm。
24v21??，3?51?2，解得：v?c
5c2? S参考系中，正方形对角线的长度为l0?2a，在S’参考系中为
l?l01??2?0.62a，所以在S’参考系看到的一个菱形。
面积为：s'?2?(
3. ?介子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测得平均寿命是2.6?10s，如果它相对实验室以0.8c的速度运动，那么实验室坐标系中测得?介子的寿命是??4.3?10s。
?
?811l?l0)?60cm2 22?8?? ??
?01??2?4.3?10?8s
4. S系与S’系是坐标轴相互平行的两个惯性系，S’系相对于S系沿OX轴正方向匀速运动。一根刚性尺静止在S’系中，与O’X’轴成30角，今在S系中观测得该尺与OX轴成45角，则S’系的速度是： 【 C 】
0
0
(A)2C3(B)1C3(C)2C3(D)1C 3? 刚性尺静止于S’中，在O’X’轴投影?x'?l0cos30?
在S中观测到刚性尺在O’X’轴投影长度?x?l0cos30?1?? 那么：tg45??
二、计算题
1. 一短跑选手在地球上以10 s时间跑完100 m，在与运动员同方向运动，飞行速度0.6c的飞船S’系中观测，这选手跑了多少距离？经历多长时间？速度的大小和方向如何？
2l0sin30?2?y??1，解得：v?c
3?xl0cos30?1??2? 飞船S’参考系上: ?x'??x?u?t1??2，?x'??2.25?10m,
9?t??t'?u?xc2, ?t'?12.5s 21?? Created by XCH Page 41 6/30/2019
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v'??x'??1.8?108m/s，方向沿X’的负方向。 ?t'2飞船S’测得的跑道的长度：?x'??x1???1001?(0.6c2), ?x'?84m c2. 远方的一颗星体，以0.8 c的速度离开我们，我们接收到它辐射出来的闪光按5昼夜的周期变化，求固定在这星体上的参照系测得的闪光周期。
? S参考系中两次闪光的周期：?t发射??t'发射5??t'发射
1??23S参考系中接受到信号1的时刻：t1接收?t1发射?S参考系中接受到信号2的时刻：t2接收?t2发射?S参考系中接受到两次信号的周期：
v?t发射?lc
?l?v?t发射c?t接收?t2接收?t1接收?t2发射?t1发射??t接收?(1?)?t发射vcv?(1?)?t发射 ccv?t'发射v5?(1?)?(1?)?t'发射?3?t'发射
c1??2c3固定在这星体上的参照系测得的闪光周期为: ?t'发射?3. 在实验室参照系中，某个粒子具有能量E?3.2?10?105 昼夜。 3J、动量P?9.4?10?19kg?m/s,求该粒
子的静止质量、速率和在粒子静止的参照系中的能量。
? 根据能量和动量的关系：E?pc?E02222，
E?mc2E0?m0c2
E2?p2c2?27m0??1.27?10kg 4c由质量和能量关系：E?mc，m?由质速关系：m?2E?3.56?10?27kg 2cm0v1?()2c
解得：v?1?(m02)c?0.934c m2?10在静止参考系中的能量：E0?m0c?1.143?10J
4. 粒子的静止质量为m0，当其动能等于其静能时，其质量和动量各等于多少？
? 根据题意：粒子的动能Ek?E?E0?E0
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E?2E0?mc2，m?2E0 c22m0c2?2m0 粒子的质量：m?c2根据能量和动量关系：E2?p2c2?E0
2E2?E0m2c4?m0c44m0c4?m0c4p???
c2c2c2粒子的动量：p?3m0c
2222单元十一（一）光的量子效应及光子理论
一、 选择题
1. 金属的光电效应的红限依赖于: 【 C 】
(A)入射光的频率； (B)入射光的强度；(C)金属的逸出功； (D)入射光的频率和金属的逸出功。 2. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U0（使电子从金属逸出需做功eU0），则此单色光的波长?必须满足： 【 A 】
(A)??hc;eU0(B)??hc;eU0(C)??eU0;hc(D)??eU0 hc3. 在均匀磁场B内放置一簿板的金属片，其红限波长为?0。今用单色光照射，发现有电子放出，放出的电子(质量为m，电量的绝对值为e)在垂直于磁场的平面内作半径为R的圆周运动，那么此照射光光子的能量是： 【 B 】
(A)hc?0;(eRB)2(B)?;?02mhc(C)hc?0?eRB;m(D)hc?0?2eRB
4. 关于光电效应有下列说法：
(1) 任何波长的可见光照射到任何金属表面都能产生光电效应；
(2) 对同一金属如有光电子产生，则入射光的频率不同，光电子的初动能不同； (3) 对同一金属由于入射光的波长不同，单位时间内产生的光电子的数目不同； (4) 对同一金属，若入射光频率不变而强度增加一倍，则饱和光电流也增加一倍。
其中正确的是： 【 D 】
(A) (1)，(2)，(3)； (B) (2)，(3)，(4)； (C) (2)，(3)； (D)(2)，(4)
5. 用强度为I，波长为?的X射线分别照射锂(Z=3)和铁(Z=26)，若在同一散射角下测得康普顿散
射的X射线波长分别为?L1和?Fe，(?L1,?Fe??)它们对应的强度分别为ILi和IFe，则： 【 C 】
(A)?Li??Fe,ILi?IFe;(C)?Li??Fe,ILi?IFe;
二、填空题
(B)?Li??Fe,ILi?IFe;(D)?Li??Fe,ILi?IFe
1. 当波长为300 nm光照射在某金属表面时，光电子的能量范围从0到4.0?10?19J.在作上述光电
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14效应实验时遏止电压为Ua?2.5V；此金属的红限频率?0?4?10Hz。
2. 频率为100MHz的一个光子的能量是6.63?10?26J，动量的大小是2.21?10?34N?s。
3. 如果入射光的波长从400nm变到300nm，则从表面发射的光电子的遏止电势增大（增大、减小）
?U?1.03V。
4. 某一波长的X光经物质散射后，其散射光中包含波长大于X光和波长等于X光的两种成分，其中大于X光波长的散射成分称为康普顿散射。 5. 在散射角?=90的康普顿试验中，如果要使
0
???1%，那么，入射光子的波长应为??0?0.2376nm。
三、计算题
1. 已知钾的红限波长为558 nm，求它的逸出功。如果用波长为400 nm的入射光照射，试求光电子的最大动能和遏止电压。
2? 由光电方程h??A?mvm，逸出功A?h?0，A?h12c?0，A?2.23eV
用波长为400nm的入射光照射，光电子的最大动能：
12mvm?h??A 2Ekm?hc??A，将??400nm和A?2.23eV代入得到：Ekm?0.88eV
1212，Ua?0.88V mvm?eUa，Ua?mvm22e2. 从铝中移出一个电子需要4.2 eV的能量，今有波长为200 nm的光投射至铝表面。试问： (1) 由此发出来的光电子的最大动能是多少? (2) 遏止电势差多大? (3) 铝的截止波长有多大?
1212? 由光电方程h??A?mvm，光电子的最大动能：mvm?h??A
22hc12将h???6.25eV和A?4.2eV代入得到：Ekm?mvm?2.05eV
?2遏止电压：
Ekm，Ua?2.05V ecc铝的截止波长：A?h?0，A?h，?0?h，?0?295.95nm
?0A遏止电势差：Ua?3. 在康普顿散射中，如果设反冲电子的速度为光速的60%，则因散射使电子获得的能量是其静止能量的多少倍？
? 散射后电子的质量m?m01?uc22，能量E?mc?2m0c21?uc22
散射后电子获得的能量：?E?E?m0c，?E?(21u21?2c?1)m0c2
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?EE0?11?uc22?1，将反冲电子的速度u?0.6c代入得到：
?EE0?0.25
4. 一个静止电子与一能量为4.0?10eV的光子碰撞后，它获得的最大能量是多少？
3
?? 作用前：光子能量h?0，光子动量p0?h?0?0n；电子的能量E0，电子的动量为零 c???h??作用后：光子能量h?，光子动量p?n；电子的能量E，电子的动量为pe?mv
ch?0?0h???根据能量和动量守恒定律得到：h?0?E0?h??E和n?n?pe
cch?02h2?0?h?2)?()?22cos? 碰撞后电子的动量：pe?(ccc?为入射光子和出射光子方向夹角。
从相对论能量和动量的关系E2?pec2?E0可以看出，电子的动量最大时，能量为最大。所以在???方向上反冲的电子获得的能量为最大。 将cos???1代入动量表达式得到：pe?22h(?0??)，E2?E02?h2(?0??)2 c2将E?E0??E和h??h?0??E代入上式得到：?E(2E0??E)?(2h?0??E)
2h2?02h2?0整理后得到反冲电子获得的最大能量：?E?, ?E?
m0c2?2h?0E0?2h?02(4.0?103)2?E?，?E?62eV
9.1?10?31?(3?108)2/1.6?10?19?(4.0?103)此外，电子获得的能量：?E?h(?0??)，?E?hc根据康普顿散射公式：???0?2?csin222???0 ?0??2，当???，???0?2?c，电子获得的能量最大。
?E?hc2?cch，将?c?和?0?代入整理后得到：
(?0?2?c)?0?0m0c22h2?0 ?E?m0c2?2h?05. 测量反冲电子的最大动能，是测定单色X射线束波长的一个方法。如果单色X射线束撞击金属靶时，反冲电子的最大动能是452 KeV，问X射线波长为多长？
? 从上一问题得到的结果，碰撞后电子获得的最大能量，就是电子的最大动能：
?E?Ek?hc???02?chc2?0 ，?0?2?c?0??0?2Ek将?c?0.0024nm和Ek?452KeV代入，求解上面方程得到：??0.00175nm
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单元十一 (二) 氢光谱 玻尔氢原子理论 波粒二象性
一、 选择题
1. 一个氢原子处于主量子数n=3的状态，那么此氢原子: 【 A 】
(A) 能够吸收一个红外光子；
(B) 能够发射一个红外光子；
(C) 能够吸收也能够发射一个红外光子；
(D) 不能吸收也不能发射一个红外光子。
2. 氢原子光谱的巴耳末系中波长最大的谱线用?1表示，其次波长用?2表示，则它们的比值?1/?2为： 【 C 】
(A) 9/8 (B) 16/9 (C) 27/20 (D) 20/27 3. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长?与速度v有如下关系： 【 C 】
11?;(D)??c2?v2 22vc4. 若?粒子(电量为2e)在磁感应强度为B均匀磁场中沿半径为R的圆形轨道运动，则?粒子的德布罗意波长是： 【 A 】
hh11 (A);(B);(C);(D)2eRBeRB2eRBheRBh5. 如图所示，一束动量为P的电子，通过缝宽为a的狭缝，在距离狭缝为R处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大宽选择题(5)度d等于： 【 D 】
(A)??v;(C)??1(B)??;v2a2(A);R2ha(C);RP(B)2ha;P 2Rh(D)ap 二、 填空题
1. 当一质子俘获一个动能Ek?13.6eV的自由电子，组成一基态氢原子时，所发出的单色光频率是
6.568?1015Hz。
2. 能量为15eV的光子从处于基态的氢原子中打出一光电子，则该电子离原子核时的运动速度为
7.02?105m/s。
?353. 一质量为40?10kg的子弹，以1000 m/s的速度飞行，它的德布罗意波长为1.6?10m。所
?3以子弹不显示波动性。
4. 一束带电粒子经206V电势差加速后，其德布罗意波长为0.002nm，已知此带电粒子的电量与电子电量值相等，则此粒子的质量为1.6?10
三、 计算题
?27kg。
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1. 氢原子光谱的巴耳末线系中，有一光谱线的波长为
??434nm，试求：
(1) 与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特； (2) 该谱线是氢原子由能级En跃迁到能级Ek产生
的，n和k各为多少?
(3) 最高能级为E5的大量氢原子，最多可以发射几个
谱线系、共几条谱线。请在氢原子能级图中表示出来，并说明波长最短的是哪一条谱线。
? 与波长为??434nm对应的光子的能量：
h??hc计算题(1)??2.86eV
11111，?)?R(?) H22222n?2n?1~?R(巴耳末光谱线系： ?H7将RH?1.0973731?10m，??434nm
代入得到：n?5，即该谱线是氢原子由能级E5跃迁到能级E2产生的。
~?T(k)?T(n)，n?k 根据里德伯—里兹并合原则：?能级为E5的大量氢原子，最多可以发射4个谱线系，即k?1,2,3,4，共10条谱线（如图所示）
波长最短的一条谱线（赖曼系）：
1?min?RH(11?) 1252?min?94.96nm
2. 当氢原子从某初始状态跃迁到激发能（从基态到激发态所需的能量）为?E=10.19 eV的状态时，发射出光子的波长是??486nm。该初始状态的能量和主量子数。
? 设激发能为?E?10.19eV的能级为Ek，?E?Ek?E1?10.19eV
E1??13.6eV，Ek??3.41eV
设初始状态的能级为En，根据题意En?Ek?hc?，En?hc??Ek
8?34将Ek??3.41eV，??486nm，h?6.6260755?10J?s和c?3?10m/s代入得到：
En??0.85eV
由En?E1E112n?n?E，可知，，n?4 1Enn2En氢原子初始状态的能量：En??0.85eV，主量子数n?4
3. 假设一个波长为300 nm的光子被一个处于第一激发态的氢原子所吸收，求发射电子的动能。
? 处于第一激发态的氢原子的电离能： ?E?E??E2??E2，E2?将E1??13.6eV代入得到：E2??3.4eV
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波长为??300nm的光子能量：h??4.13eV
处于第一激发态的氢原子吸收光子电离后，发射电子的动能Ek： h???E?Ek
Ek?h???E?h??E2，Ek?h???E?4.13eV?(?3.4eV)，Ek?0.73eV
4. 静止的氢原子从激发态k=5跃迁到基态 n=1时，氢原子的反冲速度是多少？
? 根据能量守恒：E5?E1?h??EHk，E5?E1?h??mv2（不考虑相对论效应）
由动量守恒定律：mv?12h?，mv?2(E5?E1)h?，v?(1??1)c
mc2c由于
2(E5?E1)(E5?E1)12(E5?E1)?4~10（约），所以：， ??1v?[(1?)?1]cv?22mc2mcmc-27将E5?E1?13.06eV, m?1.67?10kg代入得到：v?4.2m/s
5. 质量为me的电子被电势差U12?100KV的电场加速，如果考虑相对论效应，试计算其德布罗意波的波长。若不用相对论计算，则相对误差是多少?
?31?34J?s基本电荷e?1.60?10?19C) (电子静止质量me?9.11?10kg,普朗克常h?6.63?10? 考虑相对论效应，电子的德布罗意波满足：p?h?
222422由能量守恒得到： mc?m0c?eU12，mc?(eU12?m0c)
222422242224又由：mc?pc?m0c，pc?m0c?(eU12?m0c)
p2c2?(eU12)2?2m0c2(eU12)，p?(电子的德布罗意波：??
eU122)?2m0(eU12) ch
h
，??p
(eU122)?2m0(eU12)cp2hh不考虑相对论效应，电子的德布罗意波：?'?，E?，E?eU12，?'?
2mp2m0(eU12)????'???h?2m0(eU12)h(eU122)?2m0(eU12)c
????(eU122)?2m0(eU12)c2m0(eU12)?1，
eU12????1?1 2?2m0c?31?19将U12?100KV，me?9.11?10kg, e?1.60?10C代入得到：
???0.0477 ?6. ?粒子在磁感应强度为B?0.025T的均匀磁场中沿半径为R=0.83 cm的圆形轨道运动。
(1) 试计算其德布罗意波长；
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(2) 若使质量m=0.1 g的小球以与?粒子相同的速率运动。则其波长为多少?
(m??6.64?10?27kg,h?6.63?10?34J?s,e?1.6?10?19C)
v22eBR? 对于在磁场作圆周运动的?粒子：m??(2e)Bv，v?
m?R?粒子的德布罗意波长：??质量m=0.1 g，速率为v?hh?12m ，??，??9.98?10m?v2eBR2eBRhm?的小球，其德布罗意波长：?'? m?2eBRm?'?6.63?10?34m
单元十二 (一) 测不准关系 波函数 薛定谔方程 四个量子数
一、选择题
1. 关于不确定关系?x?px??(??h)有以下几种理解。 2?(1) 粒子的动量不可能确定； (2) 粒子的坐标不可能确定；
(3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定；
(4) 不确定关系不仅用于电子和光子，也适用于其它粒子。
其中正确的是： 【 C 】
(A) (1)、(2) (B) (2)、(4) (C) (3)、(4) (D) (4)、(1)
2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布几率将： 【 D 】
(A) 最大D2； (B) 增大2D； (C) 最大D； (D) 不变
3. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：?(x)?13?x?cos(?a?x?a)
2aa那么粒子在x=5a/6处出现的几率密度为： 【 A 】
(A)12a(B)1a(C)12a(D)1 a4. 直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是： 【 D 】
(A) 康普顿实验； (B) 卢瑟福实验； (C) 戴维逊-革末实验；(D) 斯特恩-盖拉赫实验。 5. 下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？ 【 B 】
(A) n=2，L=2，ml=0，ms=1/2； (B) n=3，L=1，ml=-1，ms=-1/2；
(C) n=1，L=2，ml=1，ms=1/2； (D) n=1，L=0，ml=1，ms=-1/2
二、填空题
1. 根据量子论，氢原子核外电子的状态，可由四个量子数来确定，其中主量数n可取值为1,2,3,4,5?正整数，它可决定原子中电子的能量。
2. 原子中电子的主量数n=2，它可能具有状态数最多为8个。
3. 钴(Z=27)有两个电子在4s态，没有其它n>4的电子，则在3d态的电子可有7个。
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4. 如果电子被限制在边界x与x??x之间，?x?0.05nm，则电子动量x分量的不确定量近似地
?23?34为?px?1.3?10N?s (不确定关系式?x??Px?h,普朗克常量h?6.63?10J?s)。
5. 德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是德布罗意波是粒子在空间分布的几率波，机械波是机械振动在介质中引起机械波，是振动位相的传播。
6. 泡利不相容原理的内容是一个原子中不能有两个电子具有完全相同的量子态
三、计算题
1. 同时测量能量为1KeV的作一维运动的电子位置与动量时，若位置的不确定值在0.1nm内，则动量的不确定值的百分比?p/p至少为何值?
?31?19?34(电子质量me?9.11?10kg,1eV?1.60?10J，普朗克常量h?6.63?10J?s)
? 根据测不准关系?x??p???h，?p? ?22?x4??x?p12?ph?0.031 E?p， p?2mE，?，p2mp4??x2mE62. 一电子的速率为3?10m/s，如果测定速度的不准确度为1%，同时测定位置的不准确量是多少?如果这是原子中的电子可以认为它作轨道运动吗?
? 根据测不准关系?x??p??，p?mv，?p?m?v 2???94，?x?，?v?0.01v?3?10m/s，?x?1.9?10m ?x??v?2m2m?v?x~r1?0.529?10?10m, 所以原子中的电子不能看作是做轨道运动。
3. 测定核的某一确定状态的能量时，不准确量为1eV，试问这个状态的最短寿命是多长？
? ?E?1eV
???16，?t?，?t?3.3?10s 22?E4. 电子被限制在一维相距?x的两个不可穿透壁之间，?x?0.05nm，试求
(1) 电子最低能态的能量是多少？
(2) 如果E1是电子最低能态的能量，则电子较高一级能态的能量是多少？ (3) 如果?x?0.05nm时E1是电子最低能态的能量，则?x?0.1nm时电子最低能态的
根据测不准原理：?E?t?能量是多少？
? 电子沿X轴作一维运动：
V(x)?0V(x)??20?x??x
0?x,x??x电子的定态薛定谔方程：??(x)?2m(E?U)?(x)?0 2?
?(x)?0
0?xx??x0?x??x?2?(x)?2mE?(x)?02? Created by XCH Page 50 6/30/2019