全优好卷

∴PQ∥平面BCD；

（Ⅱ）解：在平面DFC内，过F作FC的垂线，则∠DFC=

，建立坐标系，

），A（2，

则E（2，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），D（0，﹣1，﹣﹣1，∴

），

），

=（0，2，﹣

），

=（﹣2，﹣2，=（0，1，0），

，取=（0，，

设平面DAB的一个法向量为=（x，y，z），则），

同理平面DBE的一个法向量为=（，0，∴cos＜，＞=

=，

），

∴二面角A﹣DB﹣E的余弦值为．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查向量方法的运用，是中档题．

20．（12分）（2017?内蒙古模拟）已知椭圆C：率为

+

=1（a＞b＞0）的离心

，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．

，

），求椭圆C的方程；

（Ⅰ）若椭圆V过点（﹣

（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R，

=．

【考点】直线与椭圆的位置关系．

【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a和b的关系，将（﹣

，

）代入

全优好卷

全优好卷

椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得P的横坐标，求得丨BP丨，利用直线垂直的斜率关系求得丨BQ丨，由

=．

【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率e==将点（﹣

，

）代入椭圆方程

，

=，

=

，则a2=2b2，

=，根据函数零点的判断即可存在k∈R，

，解得：a2=4，b2=2，

∴椭圆的标准方程为：

（Ⅱ）由题意的对称性可知：设存在存在k＞0，使得由a2=2b2，椭圆方程为：

，

将直线方程代入椭圆方程，整理得：（1+2k2）x2+4kbx=0， 解得：xP=﹣

，则丨BP丨=

×

，

由BP⊥BQ，则丨BQ丨=×丨丨=?，

由=．，则2×=?，

整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，

设f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（）＜0，f（）＞0， ∴函数f（x）存在零点， ∴存在k∈R，

=．

【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题．

21．（12分）（2017?内蒙古模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a＞0． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

全优好卷

全优好卷

（Ⅱ）证明：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e

（n∈N*，n≥2）．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）求出lnx＜x﹣，令x=1+（n≥2），得到ln（1+）＜（﹣

），累加即可证明结论．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=

，令h（x）=﹣ax2+x﹣a，

记△=1﹣4a2，当△≤0时，得a≥， 若a≥，则﹣ax2+x﹣a≤0，f′（x）≤0， 此时函数f（x）在（0，+∞）递减， 当0＜a＜时，由﹣ax2+x﹣a=0，解得：x1=

，x2=

，

显然x1＞x2＞0，故此时函数f（x）在（

，）递增，

在（0，）和（，+∞）递减；

综上，0＜a＜时，函数f（x）在（，）递增，

在（0，）和（，+∞）递减，

a≥时，函数f（x）在（0，+∞）递减；

（Ⅱ）证明：令a=，由（Ⅰ）中讨论可得函数f（x）在区间（0，+∞）递减，

又f（1）=0，从而当x∈（1，+∞）时，有f（x）＜0，即lnx＜x﹣令x=1+

（n≥2），

，

全优好卷

全优好卷

则ln（1+=（

+

）＜（1+）＜

）﹣=（

﹣

=），

从而：ln（1+）+ln（1+）+ln（1+

﹣

）+…+ln（1++

﹣+

﹣

）

）

＜（1﹣+﹣+﹣+…+=（1+﹣﹣则有ln（1+可得（1+

）＜（1+）=，

）+ln（1+

）+…+ln（1+

）＜e

）＜，

）+ln（1+）（1+

）（1+）…（1+

（n∈N*，n≥2）．

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，是一道中档题．

四、选修4-4：极坐标与参数方程

22．（10分）（2017?内蒙古模拟）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为

（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．

（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线θ=

（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（I）曲线C1的参数方程为

（φ为参数），利用平方关

系消去φ可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程． （II）把直线θ=

（ρ∈R）代入

ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ

即可得出．

（φ为参数），利用平

x+2y﹣5=0，

﹣5=0，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=

【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为方关系消去φ可得：

+（y+1）2=9，展开为：x2+y2﹣2

全优好卷