有限拍无纹波设计
计算机控制系统的设计,是指在给定系统性能指标的条件下,设计出数字调节器,使系统达到要求的性能指标。
计算机控制系统的设计一般要满足数字调节器的可实现性、零误差、无波纹。
1.1 有限拍调节器的设计
有限拍设计是系统在典型的输入作用下，设计出数字调节器，使系统的调节时间最短或者系统在有限个采样周期内结束过渡过程。有限拍控制实质上是时间的最优控制，系统的性能指标是调节时间最短（或者尽可能地短）。
有限拍随动系统如图1.1所示，图中D(z)是数字调节器模型，由计算机实现。H0(s)是零阶保持器的传递函数。
R(S) + E（Z） _ D(Z) H0(S) G(S) Y(Z) T T 零阶保持器 对象 T 有限拍调节器
图1-1 有限拍无波纹随动系统如图
G(s)是控制对象的传递函数。零阶保持器和控制对象离散化以后，成为广义对象的传递函数HG(z)
HG(z) = ?[ H0(s) G(s)] （式1-1）
有限拍随动系统的闭环Z传递函数
Gc(z) =
D(z)HG(z) （式1-2）
[1?D(z)HG(z)]有限拍随动系统的误差Z传递函数
Ge(z) =
E(z) = 1 － Gc(z) （式1-3） R(z)1
[1?D(z)HG(z)] =
A(z?1)其中，R(z)是典型输入的Z变换，具有R(z) = 的形式。 ?1m(1?z)有限拍随动系统的调节器由（式4-2）和（式4-3）可得
D(z) =
Gc(z) （式1-4）
Ge(z)HG(z)有限拍调节器D(z)=
Gc(z),它跟系统的闭环Z传递函数Gc(z)和输入型式
Ge(z)HG(z)[与选择的Ge(z)]有关,也跟对象的特性HG(z)有关。
当对象特性HG(z)中包含z?r因子以及单位圆上(z=1除外)和单位圆外的零点时,有限拍调节器将可能无法实现。
z?rl设 HG(z)=
?(1?zzii?1?1i?1) (1-15)
?(1?pzz则 D(z)=
r)?(1?pzii?1ni?1n?1)Gc(z) (1-16)
Ge(z)?(1?ziz?1)式中zi是HG(z)的零点,pi是HG(z)的极点.
经过对上式的分析可知,设计有限拍调节器时,必须顾及D(z)的可实现性要求,合理选择Ge(z)和Gc(z).
分析结论如下：
(1)D(z)必须时可实现的,D(z)不包含单位圆上(z=1除外)和单位圆外的极
点;D(z)不包含超前环节.
(2)选择Gc(z)时,应把HG(z)分子中z?r因子,作为Gc(z)分子的因子,即Gc(z)的
分
子部分必须包含HG(z)分子部分的因子 z?r(r=1,2,3,…);应把HG(z)的单位圆上(zi?1除外)和单位圆外的零点作为Gc(z)的零点.
(3) 选择Ge(z)时,必须考虑输入型式,并把HG(z)的所有不稳定极点,即单位圆上(pi?1除外)和单位圆的极点作为Ge(z)的零点.
求解D(z)的法如下：
(1) 首先根据以知条件，求出HG(z)，并求得其零点和极点；
(2) 根据分析结论（2）的要求确定Gc(z)的表达式，再根据分析结论（3）的要求及的阶次确定Ge(z)的表达式。
由
Ge(z) = 1 － Gc(z)
从而求得Gc(z)和Ge(z)表达式中的未知数，进而求出有限拍调节器D(z)=
Gc(z)。
Ge(z)HG(z)1.2 采样频率的选择
按照典型输入设计的有限拍系统,其调节时间ts为一个到几个采样周期T.也就
是说调节时间ts跟有限拍系统的采样周期T有关,那么,当系统的采样频率无限增加,也就是采样周期无限缩短时,系统的调节时间ts不是趋近于零了吗?事实上,从能量的角度来说,这是不可能的,因为,不可能提供无穷大的能量,使系统在一瞬间从一种状态进入另一种状态.
另外,由于采样频率fs的上限受饱和特性的限制,不可能无限提高fs. 设有限拍随动系统如图4.8所示.
单位阶跃输入时,有限拍系统的闭环Z传递函数.
?1 Gc(z)?z (4-21)
由式(4-4),开环Z传递函数为
Gc(z)z?1 D(z)HG(z)= （4-22) ?Ge(z)(1?z?1)由式(4-22),数字调节器
1z?1 D(z)= (4-23) ?1HG(z)(1?z)对于图4.8所示系统,广义对象的Z传递函数为
z?1(1?bz?1) HG(z)=?KmT (4-24) ?1?1(1?z)(1?az)式中 a=e?T/Tm?1?T/Tm?(T/Tm)2/2, T< Km为对象的放大系数,Tm为对象的惯性时间常数. 把式(4-24)代入式(4-23),并设数字调节器的比例系数Kp,可得 11?az?11?az?1 D(z)= (4-25) ?Kp?1?1?KmT1?bz1?bz已知??T/2Tm,由式(4-25)可得 Kp?1/?KmT ?2Tm/KmT2 ?fs(2Tm/Km) (4-26) 即数字调节器得比例系数Kp与采样频率fs的平方成正比. 设控制对象是电动机,电动机的最大转速nm,减速比i;计算机输出寄存器的最大数字量e2m;电机的放大系数 Km?nm/i e2m2电机最大转速nm对应于计算机寄存器的最大输出e2m,电机的静态特性n于e2的关系如图4.9(b)所示,要使电机工作在非线性区,必须使e2 对于数字调节器的比例系数 Kp?e2/e1 与e2m相对应的e1的最大值为e1m 2 e1m=e2m/Kp=(e2mKm/2Tm)(1/fs) (4-27) 式中e2m,Km和Tm是常数.当fs增大时,e1m急剧减小,当fs加大一倍时, e1m缩小到1/4.数字调节器的静态特性e2与e1的关系如图4.9(b)所示. '在图4.9(b)中时,Kp?2时,e1的最大值为e1m,当Kp=8时,e1m= e1m/4,即Kp增 加,系统的线性范围变窄,当Kp大到一定数值时,系统接近继电器状态,于是,系统处于非线性状态,前面讨论的有限拍设计就失去了根基,因此Kp不能无限增大,也就是系统的采样频率不能无限提高. 根据实践经验,通常选择T/Tm<1/16,或者大致选择采样周期T比时间常数Tm小一个数量级. 有限拍随动系统的设计方法是简便的,结构也是简单的,设计结果可以得到解析