a?[证明] 范德瓦尔斯气体的状态方程为 ?p?2V?又由已知条件可得 dE?CVdT????V?b??RT （1） ?adV （2） 2V绝热过程 dQ?0，由热力学第一定律得 dE??dA??pdV （3）

由（2）、（3）式可得 CVdT?由 （1）式可得 p?adV??pdV （4） V2RTa?2 （5） V?bVaaRT将（5）代入（4）式有 CVdT?2dV?2dV?dV

V?bVVC1整理得 VdT??dV

RTV?bC积分得 VlnT?ln?V?b??常数

R即 ?V?b?TCVR?常数

这就是范德瓦尔斯气体的绝热过程方程．

11 如图所示是氮气循环过程，求：（1）一次循环气体对外作的功；（2）循环效率． [解] （1） 一次循环过程气体对外作功的大小为闭合曲线所包围的面积，由图知，其包围的面积为

1S??p2?p1??V4?V1?

??10?5???5?1??105?10?3?2.0?103J

该循环对外作功为正，所以 A?2.0?103J

（2） 该循环过程中，从1→2，2→3为吸收热量过程 1→2为等容过程，吸收热量为 Q1??CV?T2?T1??5?p2V2?p1V1? 2?5??10?1?5?1??105?10?3?1.25?103J 27?p3V3?p2V2? 22→3为等压过程，吸收热量为 Q2??Cp?T3?T2???7??10?5?10?1??105?10?3?1.4?104J 2因此吸收的总热量为 Q?Q1?Q2?1.525?104J

7-49

A2.0?103该循环的效率为 ????100%?13.1% 4Q1.525?10

12 一理想气体的循环过程如图所示，其中ca为绝热过程，点 a的状态参量为?T1,V1?，点b的状态参量为?T2,V2?，理想气体的热容比为?，求（1）气体在ab、bc过程中与外界是否有热交换? 数量是多少?（2）点c的状态参量；（3）循环的效率． [解] （1） ab过程是等温过程，系统吸收热量为

QT?A??RT1lnV2 V1因V2?V1，故该过程是吸热过程．

bc过程是等容过程，系统吸收热量为 QV??CV?Tc?T2? 因 Tc

?V1?又 ac为绝热过程，故根据绝热方程 Tc???V???c?又有 pcVc?p1V1

????1?V1?T1???V???2???1T1

?V1??V1??RT1?RT1?V1????得到 pc?p1??V??V??V?V??V??12?2??2??2?????1

（3） ??1?QVQT????1?C1??VV???1??CV?T2?TC?CVT2??V1V2?T112? ?1??1??1??V?VVV2?R??RT1ln2RT1ln2ln??V1V1V1????

13 图中闭合曲线为一理想气体的循环过程曲线，其中ab、cd为绝热线，bc为等体（积）

线，da为等压线，试证明其效率为

??1??Td?Ta

Tc?Tb式中Ta、Tb、Tc、Td分别为a、b、c、d各状态的温度，

??CpCV．

7-50