24 真空管的线度为10?2m，其中真空度为1.33?10?3Pa，设空气分子的有效直径为
3?10?10m，求27℃时单位体积内的分子数，平均自由程和平均碰撞频率．
[解] 由 p?nkT 知
p1.33?10?3n???3.21?1017/m3 ?23kT1.38?10?300平均自由程 ??11?m?7.79m 22?d2n2?3.14??3?10?10??3.21?1017而真空管的线度为10?2m，所以分子间很难碰撞，空气分子只能与器壁碰撞，所以其自由程为 10?2m．
平均碰撞频率 由 ??v知 ZZ?v??8RT18?8.31?300??102?4.68?104s?1 ?3?Mmol?3.14?29?10第八章 相关习题
本章无习题解答,以下题目仅供练习.个别题目与作业题相同.
1 一系统由图示的状态a经acb到达状态b，系统吸收了320J热量，系统对外作功126J．（1）
若adb过程系统对外作功 42J，问有多少热量传入系统? （2）当系统由b沿曲线ba返回状态a，外界对系统作功84 J，试问系统是吸热还是放热? 热量是多少? [解] 由热力学第一定律Q??E?A 得 ?E?Q?A 在acb过程中，
Eb?Ea??E?Q1?A1?320?126?194J
在adb过程中，内能变化量与acb过程相同 因此 Q2??E?A2?194?42?236J 在ba过程中
Q3?Ea?Eb?A3???E?A3??194?84??278J
由于热量为负值，所以本过程中系统放热．
2 2mol氮气由温度为 300K，压强为1.013?105Pa （1atm）的初态等温地压缩到
2.026?105Pa（2atm）．求气体放出的热量．
[解] 在等温过程中气体吸收的热量等于气体对外做的功，所以
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QT?A??RTlnp11?2?8.31?300?ln??3.46?103J p22即气体放热为3.46?103J．
3 一定质量的理想气体的内能E随体积的变化关系为E- V图上的一条过原点的直线，如图所示．试证此直线表示等压过程． [证明] 设此直线斜率为k，则此直线方程为E?kV 又E随温度的关系变化式为 E?MCv?T?k?T Mmol所以 kV?k?T
Vk???C（C为恒量） TkpV又由理想气体的状态方程知，?C? （C?为恒量）
T因此
所以 p为恒量，即此过程为等压过程．
4 2mol氧气由状态1变化到状态2所经历的过程如图所示：（1）沿l→m→2路径．（2）1→2直线．试分别求出两过程中氧气对外作的功、吸收的热量及内能的变化．
[解] （1） 在1→m→2这一过程中，做功的大小为该曲线下的面积，氧气对外做负功．
A1??p2?V1?V2???20??50?10??1.013?105?10?3??8.10?104J
由气体的内能公式E??CVT和理想气体的状态方程pV??RT得
E??CVpVpVCV???RRpViR2?ipV R2对于氧气i?5，所以其内能的变化为 ?E1?5?p2V2?p1V1??5??20?10?5?50??1.013?105?10?3??1.27?104J 22此过程吸收的热量为 Q1??E1?A1??1.27?104?8.10?104??9.37?104J （2）在从1→2过程中，由图知氧气对外作功为
A2??1?p2?p1??V1?V2???1??20?5???50?10??1.013?105?10?3??5.07?104J 22内能的变化 ?E2??E1??1.27?104J
吸收的热量 Q2??E2?A2??1.27?104?5.07?104??6.34?104J
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5 10mol单原子理想气体在压缩过程中外界对它作功209J，其温度上升1K，试求：（1）气体吸收的热量与内能的增量．（2） 此过程中气体的摩尔热容量．
3?8.31?1?124.65J 2气体吸收的热量 Q??E?A?124.65?209??84.35J
[解] （1） 内能的增量为 ?E??CV?T?10?（2） 由气体摩尔热容量知 C?
6 将压强为1atm，体积为1?10?3m3的氧气（CV?5R2）从0℃加热到100℃．试分别求在等体（积）过程和等压过程中各需吸收多少热量．
1Q1????84.35???8.44J?mol?K? ??T10pVp0V?[解] 由理想气体状态方程 pV??RT ?? RTRT0在等容过程中吸收的热量为
p0V0551.013?105?1?10?3R?T???100?92.77J QV??CV?T?RT022273在等压过程中吸收的热量为
Qp??Cp?T??
777R?T?QV??92.77?129.88J 2557 已知氩气的定体（积）比热为cV?314J?kg?K?，若将氩气看作理想气体，求氩原子的质量．（定体（积）摩尔热容CV?MmolcV）．
i3R?R 223RCV2因此 Mmol? ?cVcV[解] 由定容摩尔热容量的定义知 CV?氩原子的质量为 m?
8 为测定气体的?（?CpCV）值有时用下列方法：一定量的气体的初始温度、体积和压强为T0、V0和p0，用一根电炉丝对它缓慢加热．两次加热的电流强度和时间相同，第一次保持体积V0不变，而温度和压强变为T1和p1．第二次保持压强p0不变，而温度和体积变为T2和V1．试证明 ??MmolNA3R38.312????6.59?10?26kg 23NAcV26.02?10?314?p1?p0?V0?V1?V0?p0
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[证明] 两次加热气体吸收的热量相同，等容过程吸收的热量为Q1??CV?T1?T0? 等压过程吸收的热量为 Q2??Cp?T2?T0? 由 Q1?Q2可得 ?CV?T1?T0???Cp?T2?T0? 所以 ??CpCV?T1?T0
T2?T0由理想气体状态方程 p0V0??RT0 p1V0??RT1 p0V1??RT2 因此 T1?T0?p1?p0V?V0V0 T2?T0?1p0 ?R?R所以得到 ??
?p1?p0?V0
?V1?V0?p09 已知1mol固体的状态方程为v?v0?aT?bp，内能E?cT?apT，式中v0、a、b、c均为常量，求该固体的Cp、CV．
[解] 由热力学第一定律可得 dQ?dE?dA?dE?pdV （1） 由已知条件可得 dV?adT?bdp （2） dE?cdT?aTdp?apdT （3） 将（2）、（3）代入（1）得 dQ?cdT?aTdp?apdT?p?adT?bdp? （4） 在等压过程中，dp?0
所以 dQ??c?2ap?dT 因此 Cp?在等容过程中 dV?0
代入（2）式得 adT?bdp?0 因此 dp??代入（4）式得
dQ?c?2ap dTadT b???dT ??a2T?a??a???adT?b???dT???c?ap? dQ?cdT?aT???dT?apdT?p????b?b??b????dQa2T所以 CV? ?c?ap?dTb
a10 已知范德瓦尔斯气体的内能E?CVT??E0．其中CV、a、E0为常数，试证明其绝
V热过程方程为T?V?b?RCV?常数
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