13．已知sin α＋cos α＝解析：由sin α＋cos α＝
5
，则cos 4α＝________． 2
5522
，得sinα＋cosα＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，24
1?271?2
所以sin 2α＝，从而cos 4α＝1－2sin2α＝1－2×??＝.
4?4?8
7
答案：
8
14．l1，l2是不共线向量，且a＝－l1＋3l2，b＝4l1＋2l2，c＝－3l1＋12l2，若b，c为一组基底，则向量a＝________．
解析：设a＝xb＋yc，由题意可知－l1＋3l2＝x(4l1＋2l2)＋y(－3l1＋12l2)，整理得－l1
??4x－3y＝－1，
＋3l2＝(4x－3y)l1＋(2x＋12y)l2.由平面向量基本定理，得?
?2x＋12y＝3，?
??
解得?7
y＝??27
x＝－，
.
1
18
17
答案：－b＋c
1827
2??3?1??5π?15．设向量a＝?，sin α?，b＝?，cos α＋?，若a∥b，则sin?－2α?的值是
?2??6?3??2________．
2?π?11?3??5π?解析：由a∥b，可得?cos α＋?－sin α＝0，故sin?α－?＝.而sin?－2α?3?26?32???6?π?π?7?ππ??π??2?＝sin?＋－2α?＝cos?－2α?＝cos?2α－?＝1－2sin?α－?＝.
3?6?9?23??3???
7
答案：
9
16．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动→→→→
点Q(包含点B)满足|DP|＝|BQ|，则PA·PQ的最小值为________．
解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.
- 5 -
→→
因为|DP|＝|BQ|，
所以|x|＝|y|，所以x＝－y.
→→
因为PA＝(－x，－1)，PQ＝(2－x，y－1)， →→
所以PA·PQ＝－x(2－x)－(y－1)
＝x－2x－y＋1 ＝x－x＋1
22
?1?3＝?x－?＋， ?2?4
13→→
所以当x＝时，PA·PQ取得最小值为.
243
答案： 4
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知角α的终边经过点P(3，4)． (1)求tan(π－α)的值；
π??cos?α－?2??
(2)求·sin(α－2π)·cos(π－α)的值．
5π??sin?＋α??2?解：因为角α的终边经过点P(3，4)， 所以设x＝3，y＝4，则r＝3＋4＝5，
2
2
2
y4x3y4
所以sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝. r5r5x3
4
(1)tan(π－α)＝－tan α＝－. 3
π??cos?α－?2??
(2)·sin(α－2π)·cos(π－α)
5π??sin?＋α??2?＝
sin α·sin α·(－cos α) cos α2
2
16?4?＝－sinα＝－??＝－. 25?5?
18．(本小题满分12分)已知a，b，c是同一平面的三个向量，其中a＝(1，3)． (1)若|c|＝4，且c∥a，求c的坐标；
- 6 -
?5?(2)若|b|＝1，且(a＋b)⊥?a－b?，求a与b的夹角θ. ?2?
解：(1)因为c∥a，所以存在实数λ(λ∈R)，使得c＝λa＝(λ，3λ)， 又|c|＝4，即λ＋3λ＝4，解得λ＝±2. 所以c＝(2，23)或c＝(－2，－23)．
2
2
?5?(2)因为(a＋b)⊥?a－b?， ?2??5?所以(a＋b)·?a－b?＝0， ?2?
3522
即a－a·b－b＝0，
22
35
所以4－×2×1×cos θ－＝0，
221
所以cos θ＝，
2
π
因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 3
?ππ?且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)
19．(本小题满分12分)已知角α∈?，?，
?42?
＝0.
π??(1)求tan?α＋?的值； 4??
?π?(2)求cos?－2α?的值． ?3?
解：因为(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0，
?ππ?又α∈?，?， ?42?
所以4cos α－3sin α＝0，
443
所以tan α＝，sin α＝，cos α＝. 355π4
tan α＋tan＋1
43π??(1)tan?α＋?＝＝＝－7.
4?π4?
1－tan αtan1－
43
7242
(2)cos 2α＝2cosα－1＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝，
2525
ππ1?7?324243－7?π?cos?－2α?＝coscos 2α＋sinsin 2α＝×?－?＋×＝. 332?25?22550?3?
- 7 -
20．(本小题满分12分)已知向量a＝(cos 2x，sin 2x)，b＝(3，1)，函数f(x)＝a·b＋m.
(1)求f(x)的最小正周期；
?π?(2)当x∈?0，?时，f(x)的最小值为5，求m的值．
2??
解：(1)由题意知：f(x)＝(cos 2x，sin 2x)·(3，1)＋m ＝3cos 2x＋sin 2x＋m π??＝2sin?2x＋?＋m， 3??
所以f(x)的最小正周期为T＝π. π??(2)由(1)知：f(x)＝2sin?2x＋?＋m，
3??π?π4π??π?当x∈?0，?时，2x＋∈?，?.
2?3?3?3?
π4π
所以当2x＋＝时，f(x)取得最小值－3＋m.
33又f(x)的最小值为5，所以－3＋m＝5，即m＝5＋3.
21．(本小题满分12分)已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ)．
π
(1)如图是I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据
2求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
1
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，
150那么ω的最小正整数值是多少？
1?11?1
解：(1)由图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，则周期T＝2(t2－t1)＝2?＋?＝
900180?180900?1
， 75
2π
所以ω＝＝150π.
Tt＝－
1??1??时，I＝0，即sin?150π·?－?＋φ?＝0， 900??900??
π?ππ?sin?φ－?＝0.而|φ|<，所以φ＝. 6?26?
- 8 -