2019年

考点 机械能守恒定律及应用1.机械能守恒定律的表达式

2.用机械能守恒定律解题的基本思路 考向1 单个物体的机械能守恒

[典例3] (2017·甘肃兰州一模)(多选)如图所示，竖直面内光滑的圆形导轨固定在一水平地面上，半径为R.一个质量为m的小球从距水平地面正上方h高处的P点由静止开始自由下落，恰好从N点沿切线方向进入圆轨道.不考虑空气阻力，则下列说法正确的是( )

A.适当调整高度h，可使小球从轨道最高点M飞出后，恰好落在轨道右端口N处 B.若h＝2R，则小球在轨道最低点对轨道的压力为5mg C.只有h大于等于2.5R时，小球才能到达圆轨道的最高点M

D.若h＝R，则小球能上升到圆轨道左侧离地高度为R的位置，该过程重力做功为mgR

[解析] 小球到达最高点时速度至少应满足mg＝m，解得v＝，小球离开最高点后做平抛运动，下落高度为R时，运动的水平距离为x＝vt＝＝R，故A错误；从P到最低点过程由机械能守恒可得2mgR＝mv2，由向心力公式得FN－mg＝m，解得FN＝5mg，由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力为5mg，故B正确；由机械能守恒得mg(h－2R)＝mv2，代入v＝解得h＝2.5R，故C正确；若h＝R，则小球能上升到圆轨道左侧离地高度为R的位置，该过程重力做功为0，D错误.

[答案] BC

[变式2] (2017·安徽第三次联考)如图所示，光滑轨道由AB、BCDE两段细圆管平滑连接组成，其中AB段水平，BCDE段为半径为R的四分之三圆弧，圆心O及D点与AB等高，整个轨道固定在竖直平面内.现有一质量为m、初速度v0＝的光滑小球水平进入圆管AB，设小球经过轨道交接处无能量损失，圆管孔径远小于R，则(小球直径略小于管内径)( )

A.小球到达C点时的速度大小vC＝

3gR

2

2019年

B.小球能通过E点且抛出后恰好落至B点

C.无论小球的初速度v0为多少，小球到达E点时的速度都不能为零 D.若将DE轨道拆除，则小球能上升的最大高度与D点相距2R

答案：B 解析：对小球从A点至C点过程，由机械能守恒有mv＋mgR＝mv，解得vC＝，选项A错误；A点至E点的过程，由mv＝mv＋mgR，解得vE＝，又由x＝vEt＝vE＝R，小球能正好平抛落回B点，选项B正确；因为内管壁可提供支持力，所以小球在E点速度可以为零，选项C错误；若将DE轨道拆除，设小球能上升的最大高度为h，由mv＝mgh，解得h＝R，选项D错误.

考向2 多个物体的机械能守恒

[典例4] 一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘内外两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱面边缘处由静止释放，如图所示.已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：

(1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小； (2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移.

[解题指导] (1)A球沿绳方向的分速度与B球速度大小相等. (2)A球沿圆柱内表面运动的位移大小与B球上升高度相等. (3)A球下降的高度并不等于B球上升的高度.

[解析] (1)设A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为v，B球的质量为m，则根据机械能守恒定律有2mgR－mgR＝×2mv2＋mv2B

由图甲可知，A球的速度v与B球速度vB的关系为vB＝v1＝vcos 45° 联立解得v＝2.

甲 乙

(2)当A球的速度为零时，A球沿圆柱内表面运动的位移最大，设为x，如图乙所示，由几何关系可知A球下降的高度h＝2R

根据机械能守恒定律有2mgh－mgx＝0

x

4R2－x2

2019年

解得x＝R.

[答案] (1)2 (2)R

[变式3] (2017·陕西商洛模拟)(多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点正下方距离为d处.现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( )

A.环到达B处时，重物上升的高度h＝2 B.小环到达B处时，环与重物的速度大小相等

C.环从A到B，环减少的机械能等于重物增加的机械能 D.环能下降的最大高度为d

答案：CD 解析：环到达B处时，对环的速度进行分解，可得v环cos θ＝v物，由题图中几何关系可知θ＝45°，则v环＝v物，B错；因环从A到B，环与重物组成的系统机械能守恒，则环减少的机械能等于重物增加的机械能，C对；当环到达B处时，由题图中几何关系可得重物上升的高度h＝(－1)d，A错；当环下落到最低点时，设环下落高度为H，由机械能守恒有mgH＝2mg(－d)，解得H＝d，故D正确.

机械能守恒定律是解答能量问题的基本方法之一，分析运动过程物体的机械能是否守恒是解题的关键，在解决物体的运动问题时应优先考虑用能量方法，如曲线运动、含弹簧类运动问题等.应用时首先要对研究对象进行受力分析和运动分析，以确定在所研究的过程中机械能是否守恒，再选合适的表达式求解.应用机械能守恒定律求解多过程问题时可对全过程应用机械能守恒定律列式求解.

1.[机械能守恒的条件]关于机械能是否守恒，下列说法正确的是( ) A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒 B.做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒 C.做变速运动的物体机械能可能守恒

D.合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒

答案：C 解析：做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，其动能不变，

d

2019年

但物体的重力势能可能变化，所以机械能可能不守恒，如物体在竖直平面内运动，选项A、B错误；物体做变速运动时，受到的合力不为零，但如果运动过程中只有重力做功，则机械能守恒，选项C正确；合外力做功不为零，物体的动能改变，但如果运动过程中只有重力做功，则物体的机械能守恒，选项D错误.

2.[系统机械能守恒]如图所示，一辆小车静止在光滑的水平导轨上，一小球用细绳悬挂在车上，由图中虚线位置无初速释放，则小球在下摆过程中，下列说法正确的是 ( )

A.绳子的拉力对小球不做功，小球机械能守恒 B.绳子的拉力对小球做正功，小球机械能增加 C.绳子的拉力对小球做负功，小球机械能减小 D.小球所受到的合力不做功，小球机械能不变

答案：C 解析：由于小车位于光滑的水平导轨上，小球在下摆过程中，小车向左运动，即悬点也在移动，绳子拉力方向与小球位移的夹角大于90°，拉力对小球做负功.或者从系统考虑，因只有重力做功，机械能守恒，由于小车机械能增加，则小球机械能减小，故绳子的拉力对小球做负功.所以，本题正确答案为C.本题摆球的悬点不同，绳子拉力与速度方向不垂直而对摆球做功，不注意这一点，易错选A.

3.[功的计算与机械能守恒]长为L的轻质细绳悬挂一个质量为m的小球，其下方有一个倾角为θ的光滑斜面体，放在水平面上，开始时小球与斜面刚刚接触且细绳恰好竖直，如图所示，现在用水平推力F缓慢向左推动斜面体，直到细绳与斜面平行，则下列说法中正确的是( )

A.由于小球受到斜面的弹力始终与斜面垂直，故对小球不做功 B.细绳对小球的拉力始终与小球的运动方向垂直，故对小球不做功 C.小球受到的合外力对小球做功为零，故小球在该过程中机械能守恒 D.若水平面光滑，则推力做功为mgL(1－cos θ)

答案：B 解析：小球受到斜面的弹力沿小球的运动方向有分量，故对小球做正功，A错误；细绳的拉力方向始终和小球的运动方向垂直，故对小球不做功，B正确；