又∠ACD＝180°－150°＝30°， 1113（3＋1）所以S△ACD＝2AC·CD·sin∠ACD＝2×23×(3＋3)×2＝. 2 1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内

π

角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝3，则△ABC的面积为____________．

π

63 [法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos

3π

B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos 3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的11π

面积S＝2acsin B＝2×43×23×sin 3＝63.

π

法二：因为a＝2c，b＝6，B＝3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，π

得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos 3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，π1

所以A＝2，所以△ABC的面积S＝2×23×6＝63.]

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B；

a2

(2)若△ABC的面积S＝4，求角A的大小．

[解] (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B， 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)

＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin(A－B)．

又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B. a21a2

(2)由S＝4，得2absin C＝4，

11

故有sin Bsin C＝2sin A＝2sin 2B＝sin Bcos B， 由sin B≠0，得sin C＝cos B. π

又B，C∈(0，π)．所以C＝2±B. ππ

当B＋C＝2时，A＝2； ππ

当C－B＝2时，A＝4. ππ

综上，A＝2或A＝4.

考点3 判断三角形的形状

判断三角形形状的2种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

设△ABC的内角A，B，C所对

的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )

A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．不确定

B [由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A，

即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1， π

即A＝2，∴△ABC为直角三角形．] [母题探究] 1．(变条件)本例中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状． [解] ∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin(A－B)＝0. 又A，B为△ABC的内角． ∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形． 2．(变条件)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状． a2＋b2－c21[解] ∵a＋b－c＝ab，∴cos C＝2ab＝2， 222

π又0＜C＜π，∴C＝3， 又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B， 故△ABC为等边三角形． 在判断三角形的形状时，一定要

注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．

1.在△ABC中，角A，B，C的

sin Aa

对边分别为a，b，c，若sin B＝c，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是( )

A．直角三角形

B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形

sin Aaaa

C [因为sin B＝c，所以b＝c.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以

222b＋c－abc1π

b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝2bc＝2bc＝2.因为A∈(0，π)，所以A＝3.所

以△ABC是等边三角形．]

ab

2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＋sin A＝2c，则△ABC的形状是( )

A．等边三角形 C．等腰直角三角形

B．锐角三角形 D．钝角三角形

absin Asin B

C [因为sin B＋sin A＝2c，所以由正弦定理可得sin B＋sin A＝2sin C，而sin Asin Bsin B＋sin A≥2sin Asin Bsin B·sin A＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号．所以2sin C

≥2，即sin C≥1.又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以C＝90°.又因为sin A＝sin B，所以A＝B.故三角形为等腰直角三角形．故选C.]