第六节 正弦定理、余弦定理
[最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
1．正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 内容 正弦定理 abc＝＝sin Asin Bsin C＝2R. 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； b2＋c2－a2cos A＝2bc； c2＋a2－b2变形 (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； cos B＝； 2ac(3)
2.三角形常用面积公式
1
(1)S＝2a·ha(ha表示边a上的高)； 111(2)S＝2absin C＝2acsin_B＝2bcsin_A； 1
(3)S＝2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． [常用结论]
1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B． 2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B． 3．内角和公式的变形 (1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C.
4．角平分线定理：在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，ABBD则AC＝DC.
222a＋b＋ca＝sin A＝2R. cos C＝a＋b－c sin A＋sin B＋sin C2ab
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编
ππ
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝6，B＝4，a＝1，则b＝( )
A．2 C.3
B．1 D.2
πsin 4
abasin B2
D [由＝得b＝＝＝×2＝2.]
sin Asin Bsin Aπ2
sin 6
2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( ) A．无解 C．一解
B．两解
D．解的个数不确定
B [∵bsin A＝24sin 45°＝122， ∴122＜18＜24，即bsin A＜a＜b.
∴此三角形有两解．]
3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________． 等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， π
即A＝B或A＋B＝2，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]
4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________． 23423 [因为＝sin B，所以sin B＝1，所以 B＝90°，
sin 60°1
所以AB＝2，所以S△ABC＝2×2×23＝23.]
考点1 利用正、余弦定理解三角形问题