2009 --2010学年第二学期
《 数字信号处理 》试卷
开课单位： 电子工程学院 ，考试形式：闭卷，允许带 计算器 入场
题序 得分 评卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 一、填空题（每空3分，共30分）
?a(t) （1）模拟信号xa(t)的频谱为Xa(jΩ)，对xa(t)进行理想采样，采样间隔为T，得到其采样信号x??频谱为 X ? a ( j ) ，则 X a ( j ? ) 与 Xa(jΩ) 的关系为： 1 ? 2 ?
k????(j?)?XaT?Xa(j??jk?T)x(n)e??（2）序列x(n)的傅里叶变换FT［x(n)］定义为
X(e?j?)?FT[x(n)]??jnn???|x(n)|?? FT［x(n)］存在的充分必要条件是 ?
X(k)?x(n)e???k?? 周期序列 的离散傅里叶级数系数DFS为 ?
n???x(n)N?1n?0?j2πknN周期序列的傅里叶变换FT[
N?1x(n)N?12πX(k)?2π??j?X(e)?FT[x(n)]???k?2πr??? ?］为 k ?0 N r ? N?????（3）h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M。它们线性卷积和循环卷积分别表示如下：
n ) ? x y l ( n ) ? h ( ( n ) ? ? h ( m ) x ( n ? m ); yc(n)?h(n)L x(n)??h(m)x((n?m))LRL(n)? iL 循环卷积与线性卷积的关系是 y c (n ) ? ? y l( n ) R L ( n ) i???m?0?m?0L?1循环卷积等于线性卷积的条件是 L≥N＋M－1 (4) 已知x(n)长度为N，X(k)=DFT［x(n)］N， y(n)??
0?n?N?1?x(n)，?0，N?n?mN?1,m为自然数Y(k)?DFT[y(n)]mN，0?k?mN?1Y(k)与X(k)的关系为 Y(k)?X(k/m)k/m?整数
（5）脉冲响应不变法的主要缺点是会产生频谱混叠现象，使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器
的频响特性。产生的原因是 模拟低通滤波器不是带限于折叠频率π/T，在数字化后产生 了频谱混叠，再通过映射关系z = es T，使数字滤波器在ω=π附近形成频谱混叠现象。 （6）用窗函数法设计FIR滤波器，调整窗口长度N只能有效地控制过渡带的宽度，而要减少
《 数字信号处理 》试卷A 第1页 共6页
带内波动以及增大阻带衰减，只能从窗函数的形状上找解决问题的方法。但这样总是以 加宽 过渡带 为代价的。
二、（12分）已知线性因果网络用下面差分方程描述：y(n)=0.8y(n－1)+x(n)+0.8x(n－1)
（1） 求网络的系统函数H(z) （2分）及单位脉冲响应h(n) （6分）； （2） 写出网络频率响应函数H(ejω)的表达式（2分），并定性画出其幅频特性曲线（2分） 解：（1）Y(z)?0.8Y(z)z?1?X(z)?0.8X(z)z?1
1?0.8z?1,(2分） H(z)??11?0.8zh(n)?12?jn?1H(z)zdz ?c F(z)?H(z)zn?1?z?0.8n?1z z?0.8 n?1,c内有极点0.8
h(n)?Res[F(z),0.8]?(z?0.8) n?0,c内有极点0.8,0
z?0.8n?1zz?0.8z?0.8?2*0.8n
h(n)?Res[F(z),0.8]?Res[F(z),0]z?0.8?1z?0.8?1?(z?0.8)zz?0.8?zz
z?0.8z?0.8?2?1?1z?0
最后得到 h(n)?2*0.8nU(n?1)??(n) （2）H(ej?1?0.8z?1)?FT[h(n)]?1?0.8z?1z?ej?1?0.8e?j?? 1?0.8e?j? 幅频特性如下：
《 数字信号处理 》试卷A 第2页
共6页
业: 级专 年 别:) 系题 答 不 内 封 线 密 ( : 学号 姓名:三、（8分）证明DFT对称定理即假设X(k)=DFT［x(n)］,证明DFT［X(n)］=Nx(N－k)
N?1证明： 因 X(k)??x(n)WknN
n?0N?1N?1N?1N?1N?1 所以 DFT[X(n)]??X(n)WknmnN?N]Wkn?n?0?[?x(m)Wn?0?x(m)?Wn(m?k)NN m?0mn?0N?1 又
?Wn(m?k)?Nm?N?kN??
n?0?0m?N?k,0?m?N?1 有 DFT[X(n)]?Nx(N?k)k?0,1,...,N?1
四、（10分）已知序列x(n)=a n u(n)，0 l???由于 0?n?N?1，所以 u(n?lN)???1n?lN?0即l?0?0l?0 因此 IDFT[X(k)]N = an?[?alN]RanN(n)?RN(n) l?01?aN 《 数字信号处理 》试卷A 第3页 共6页 五、（12分）设x(n)是长度为N=2M的有限长序列,M为自然数，详述时域抽取法基2FFT基本原理；（10分）DIT-FFT算法的运算总共需要的复数乘次数、复数加次数各为多少？（2分） 解：设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列 Nx(r)?x(2r)，r?0，1，，?1 1 2 （1分） Nx(r)?x(2r?1)，r?0，1，， 2 ? 1 （1分） 2则x(n)的DFT为： knknX(k)?x(n)WN?x(n)WN n?偶数n?奇数 N/2?1N/2?1 2krk(2r?1)?x(2r)W?x(2r?1)WNN r?0r?0 N/2?1N/2?12krk2kr ?x1(r)WN?WNx2(r)WN r ? 0 r ? 0 （2分） 2π因为 2π?jkr?j2kr2krkrN2N WN?e?e?WN/2 N/2?1N/2?1krkkr所以 X(k)??x1(r)WN/2?WN?x2(r)WN/2r?0r?0 k? X? 0,2,N? 1 1 (k ) ? W N X 2 ( k ) k , 1 , ?? ? （1分） 其中Ｘ1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT, 即 N/2?1 krX(k)?x(r)W11N / 2 ? DFT[ x 1 ( r )] N 2 （1分） r?0 N/2?1 X ( k ) ? r kr （1分） x()W22N/2?DFT[x2(r)]N2 r?0Nk?2 k由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 W N ??WN ，因此X(k)又可表示为 NkX(k)?X(k)?WX(k)，k?0，1，?，?1N 2 1 2 (4.2.7) （1分） NN kX(k?)?X1(k)?WNX2(k)，k?0，1，?，?1 2 2 (4.2.8) （1分） 这样，就将N点DFT分解为两个N/2点DFT和(4.2.7)式以及(4.2.8)式的蝶形运算。依次类推， 经过M次分解，最后将N点DFT分解成N个1点DFT和M级蝶形运算，而1点DFT就是时 域序列本身。（1分） M级运算总共需要的复数乘次数为（1分） NNCM??M?lbN 22 复数加次数为 （1分） CA?N?M?NlbN ????????《 数字信号处理 》试卷A 第4页 共6页