即有?POQ??QOA??QPB??COP?30． 所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA， 又因为QP⊥OP，QA⊥OA?POQ??AOQ?30， 所以△OQA≌△OQP．
练习2 解：（1）△OCD与△ADE相似。 理由如下：
由折叠知，?CDE??B?90°，
∴?1??2?90°，?1??3?90，??2??3. 又∵?COD??DAE?90°，
∴△OCD∽△ADE。
（2）∵tan?EDA?AE3AD?4，∴设AE=3t， 则AD=4t。
由勾股定理得DE=5t。
∴OC?AB?AE?EB?AE?DE?3t?5t?8t。
由（1）△OCD∽△ADE，得
OCCDAD?DE， ∴8tCD4t?5t， ∴CD?10t。
在△DCE中，∵CD2?DE2?CE2，
∴(10t)2?(5t)2?(55)2，解得t=1。
∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8）， 点E的坐标为（10，3）， 设直线CE的解析式为y=kx+b，
∴??10k?b?3，??k?1b?8，解得???2，
??b?8，y C B 3 E 1 2 O D A x 图1
y l N C M B G E P O D A x F 图2
1。 ∴y??x?8，则点P的坐标为（16，0）
2（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12， y=2x－12。
如图2：准确画出两条直线。
练习3 解：（1）
二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和(?3，?12)，
?b??2a?1，?a??1，???由?4a?2b?c?3， 解得?b?2，
?c?3.?9a?3b?2??12.????此二次函数的表达式为 y??x2?2x?3．
（2）假设存在直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．
22在y??x?2x?3中，令y?0，则由?x?2x?3?0，解得x1??1，x2?3
?A(?1，，0)B(3，0)．
3)． 令x?0，得y?3．?C(0，设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．
x l 0)，点C的坐标为(0，3)，点A的坐标为(?1，0)． 点B的坐标为(3，C D ?AB?4，OB?OC?3，?OBC?45. ?BC?32?32?32．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC， 已有?B??B，则只需
A O E B y BDBC?BOBA， ①
x?1 BOBD或?. BCBA成立．
若是①，则有BD? ②
BOBCBA?3?3292?． 44而?OBC?45，?BE?DE．
?92?2222?在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE?DE?2BE?BD???4??．
??9解得 ． BE?DE?（负值舍去）
493?OE?OB?BE?3??．
44?点D的坐标为?，?．
将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?3．
2?39??44??满足条件的直线l的函数表达式为y?3x．
［或求出直线AC的函数表达式为y?3x?3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y?3x．此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为y??x?3．联立y?3x，y??x?3求得点D
的坐标为?，?．］
?39??44?若是②，则有BD?BOBA3?4??22．
BC32而?OBC?45，?BE?DE．
?在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE?DE?2BE?BD?(22)2．
解得
． BE?DE?2（负值舍去）
2222?OE?OB?BE?3?2?1．
?点D的坐标为(1，2)．
将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?2．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y?2x．
?存在直线l:y?3x或y?2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三
，2)． 角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为?，?或(1?39??44?3)E(1，0)的直线y?kx?3(k?0)与该二次函数的图象交于点P． （3）设过点C(0，，将点E(1，0)的坐标代入y?kx?3中，求得k??3．
?此直线的函数表达式为y??3x?3．
设点P的坐标为(x，?3x?3)，并代入y??x?2x?3，得x2?5x?0．
2解得x1?5，x2?0（不合题意，舍去）．
?x?5，y??12． ?点P的坐标为(5，?12)．
此时，锐角?PCO??ACO． 又二次函数的对称轴为x?1，
x C · C? ?点C关于对称轴对称的点C?的坐标为(2，3)． ?当xp?5时，锐角?PCO??ACO；
当xp?5时，锐角?PCO??ACO； 当2?xp?5时，锐角?PCO??ACO．
练习四
2解：（1）令y?0，得x?1?0 解得x??1 令x?0，得y??1
∴ A(?1,0) B(1,0) C(0,?1)
（2）∵OA=OB=OC=1 ∴?BAC=?ACO=?BCO=45 ∵AP∥CB， ∴?PAB=45
过点P作PE?x轴于E，则?APE为等腰直角三角形 令OE=a，则PE=a?1 ∴P(a,a?1)
2∵点P在抛物线y?x?1上 ∴a?1?a?1
2A O E B x?1 P y P A o C B 图1 x 解得a1?2，a2??1（不合题意，舍去） ∴PE=3
∴四边形ACBP的面积S=(3)． 假设存在
∵?PAB=?BAC =45 ∴PA?AC
1111AB?OC+AB?PE=?2?1??2?3?4 2222