练习14、如图,设抛物线C1:y?a?x?1??5, C2:y??a?x?1??5,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是(2,4),点B的横坐标是－2. （1）求a的值及点B的坐标；

（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的直线为l,且l与x轴交于点N.

① 若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2)，求点N的横坐标； ② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.

练习15、如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

（1）当x=0时，折痕EF的长为 ；当点E与点A重合时，折痕EF的长为 ； （2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；

22（3）令EF?y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断EAP与PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。

2

练习16、如图，已知 A(?4,0)，B(0,4)，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．

(1) 求C点坐标及直线BC的解析式;

(2) 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象; (3) 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为32的点P．

参考答案

例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为y?a(x?2)2?1 ∵抛物线过原点， ∴0?a(0?2)2?1 ∴a??1. 411抛物线的解析式为y??(x?2)2?1,即y??x2?x

44⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD∥＝OB,

yABO12由0??(x?2)?1得x1?0,x2?4, x4∴B(4,0),OB＝4. ∴D点的横坐标为6

DC12图1 将x＝6代入y??(x?2)?1,得y＝－3,

4∴D(6,－3);

根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),

当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1) ⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO. 若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO 设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)

y1A∴直线OP的解析式为y??x

2BOE112x由?x??x?x,

24A'得x1?0,x2?6

.∴P(6,－3)

过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3, ∴PB＝13≠4.

∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO与△BAO不相似,

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.

图2 P

练习1、解：（1）由已知可得：

?3a?3b?3?25353?75a??，b?，c?0． 解之得，a?b?0?332?4?c?0?因而得，抛物线的解析式为：y??（2）存在．

设Q点的坐标为(m，n)，则n??2253x?x． 332253m?m， 332533?m2?mm?3BQPB3?nm?333?要使△OCP∽△PBQ,，则有，即 ??3CPOC333解之得，m1?23，m2?2．

当m1?23时，n?2，即为Q点，所以得Q(23，2)

2533?m2?mm?3BQPB3?nm?333?要使△OCP∽△QBP,，则有，即 ??3OCCP333解之得，m1?33，m2?3，当m?3时，即为P点， 当m1?33时，n??3，所以得Q(33，?3)． 故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相似．

Q点的坐标为(23，，2)(33，?3)．

（3）在Rt△OCP中，因为tan?COP?CP3?．所以?COP?30． OC3当Q点的坐标为(23，2)时，?BPQ??COP?30． 所以?OPQ??OCP??B??QAO?90．

△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形． 因此，△OPC，又在Rt△OAQ中，因为tan?QOA?QA3?．所以?QOA?30． AO3