..
(2)解 作PH⊥EF,垂足为H.
由(1)得,PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点,
的方向为y轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=可得PH=则H(0,0,0),P,EH= ,D为平面ABFD的法向量.
又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.
设DP与平面ABFD所成角为θ,则sin θ=所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
二、思维提升训练
9.D 解析 当点E不是线段AB的中点时,如图,点G是AB的中点,SH⊥底面ABCD,过点H作HF∥AB,过点E作EF∥BC,连接SG,GH,EH,SF.
可知θ1=∠SEF,θ2=∠SEH,θ3=∠SGH. 由题意可知EF⊥SF, 故tan θ1==tan θ3.
∴θ1>θ3.
又tan θ3==tan θ2,∴θ3>θ2.∴θ1>θ3>θ2.
当点E是线段AB的中点时,即点E与点G重合,此时θ1=θ3=θ2. 综上可知,θ1≥θ3≥θ2. 精品
..
10.(1)证明 ①因为C1B1∥A1D1,C1B1?平面ADD1A1,
所以C1B1∥平面ADD1A1.
因为平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF, 所以C1B1∥EF.所以A1D1∥EF.
②因为BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥B1C1.
因为B1C1⊥B1A1,所以B1C1⊥平面ABB1A1, 所以B1C1⊥BA1.
在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点, 即tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,即∠A1B1F=∠AA1B.故BA1⊥B1F.
又B1F∩B1C1=B1,所以BA1⊥平面B1C1EF. (2)解 设BA1与B1F的交点为H,连接C1H(如图).
由(1)知BA1⊥平面B1C1EF,
所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角. 在矩形ABB1A1中,AB=在Rt△BHC1中,BC1=2得sin∠BC1H=,AA1=2,得BH=,BH=,
所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是11.
(1)解 线段AB上存在一点K,且当AK=AB时,BC∥平面DFK.
证明如下:设H为AB的中点,连接EH,则BC∥EH. 精品
又因为AK=AB,F为AE的中点,
所以KF∥EH,所以KF∥BC. 因为KF?平面DFK,BC?平面DFK, 所以BC∥平面DFK.
(2)证明 因为F为AE的中点,DA=DE=1,
所以DF⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE, 所以DF⊥平面ABCE.
因为BE?平面ABCE,所以DF⊥BE.
又因为在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1, 所以在折起后的图形中AE=BE=,
从而AE2
+BE2
=4=AB2
,所以AE⊥BE. 因为AE∩DF=F,所以BE⊥平面ADE.
因为BE?平面BDE,所以平面BDE⊥平面ADE.
12.(1)证明 因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以△ABC是正三角形.
因为D是AC的中点,所以BD⊥AC. 又平面ABC⊥平面CAA1C1,所以BD⊥DE. 因为AE∶EA1=1∶2,AB=2,AA1=,
所以AE=,AD=1,
所以在Rt△ADE中,∠ADE=30°. 在Rt△DCC1中,∠C1DC=60°, 所以∠EDC1=90°,即DE⊥DC1. 因为C1D∩BD=D,所以DE⊥平面BC1D, 所以DE⊥BC1.
(2)解 假设存在点E满足题意.
设AE=h,则A1E=-h,
所以-S△AED-=2
h-(
精品
-h)-..
h.
..
因为BD⊥平面ACC1A1, 所以所以
h,又V棱柱=h=1,解得h=,
2=3,
故存在点E,当AE=,即E与A1重合时,三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的
13.
(1)证明 如图,取BD的中点M,连接AM,ME.
∵AB=AD=,DB=2,
∴AM⊥BD.
∵DB=2,DC=1,BC=满足DB2+DC2=BC2
,
∴△BCD是以BC为斜边的直角三角形,BD⊥DC, ∵E是BC的中点,
∴ME为△BCD的中位线,ME??CD,
∴ME⊥BD,ME=,
∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角, ∴∠AME=60°.
∵AM⊥BD,ME⊥BD,且AM,ME是平面AME内两相交于M的直线,∴BD⊥平面AEM. ∵AE?平面AEM,∴BD⊥AE. ∵△ABD为等腰直角三角形, ∴AM=BD=1.在△AEM中,
∵AE2=AM2+ME2-2AM·ME·cos∠AME=1+-2×1
cos 60°=,∴AE=∴AE2+ME2=1=AM2,∴AE⊥ME.
∵BD∩ME=M,BD?平面BDC,ME?平面BDC,∴AE⊥平面BDC.
精品
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